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【赢在课堂】2015-2016学年高二数学北师大版必修5课件:3.2.1 一元二次不等式的解法


§ 2 一元二次不等式 2 .1 一元二次不等式的解法 知识能力目标引航 1.理解一元二次不等式与一元二次函数、 一元二次方程的关系,能借 助二次函数的图像解一元二次不等式. 2.对给定的一元二次不等式,能设计求解的程序框图. 1.一元二次不等式 含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一 元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫这个一元二 次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元 二次不等式的解集. 2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表: 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2} ? 有两相等实根 x1=x2=-2 | ≠ 2 没有实数根 R ? Δ>0 Δ=0 Δ<0 【做一做 1】不等式 x2<3x 的解集为( A.{x|x>3} B.{x|x<0 或 x>3} C.R D.{x|0<x<3} 答案:D ). 【做一做 2】不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( A. x|x ≠ 1 1 -3 ). B. x|- 3 ≤ x ≤ 3 C.? D. 1 3 1 -3 1 解析:Δ=0,则方程 9x 解集为 . 答案:D 2 1 +6x+1=0 的根为 x1=x2=-3,所以原不等式的 用二次函数的图像解一元二次不等式 剖析:我们知道以自变量的取值为横坐标,对应的函数值作为纵 坐标,在平面直角坐标系中描出所有的点,这些点就构成了函数的图 像.因此函数图像上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值,纵坐 标是对应的函数值.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像上的点的坐标的 意义也是一样.由于位于 x 轴上方的点的纵坐标大于 0,位于 x 轴上的 点的纵坐标等于 0,位于 x 轴下方的点的纵坐标小于 0,所以二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像上位于 x 轴上方的点的横坐标的取值范围是 不等式 f(x)=ax2+bx+c>0 的解集,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像上位 于 x 轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式 f(x)=ax2+bx+c<0 的 解集.所以可以用二次函数的图像解一元二次不等式.当然,对于任意 函数 y=f(x),只要能画出它的图像,那么就可以解不等式 f(x)>0 或 f(x)<0. 题型一 解一元二次不等式 【例 1】求下列不等式的解集: (1)2x2+7x+4>0; (2)-x2+8x-3>0. 分析:求出对应的一元二次方程的根,结合对应的二次函数图像写出 解集. 解:(1)因为 Δ=72-4× 2× 4>0,所以方程 2x2+7x+4=0 有两个实数根 -7- 17 -7+ 17 x1= 4 ,x2= 4 . 二次函数 y=2x2+7x+4 的图像如图所示. 所以原不等式的解集为 x|x > -7+ 17 或 4 x< -7- 17 4 . (2)原不等式可化为 x2-8x+3<0. 因为 Δ=(-8)2-4× 1× 3>0,所以方程 x2-8x+3=0 有两个实数根 x1=4- 13,x2=4+ 13. 二次函数 y=x2-8x+3 的图像如图所示, 所以原不等式的解集为{x|4- 13<

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