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湖北省宜昌市三峡高级中学、宜昌金东方高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题 文


宜昌金东方高级中学 2016 年春季学期期中考试 高二数学试题(文科)
本试题卷共 4 页,三大题 22 小题。全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 一.选择题(本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分。 ) 1.复数

2?i 表示复平面内点位于 2?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

r />
A.第一象限

2.如图所示是某学校 一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比 赛中得分的方差为 0 8 9 1 0 3 5 A.6.6 3.已知双曲线 C : 程为 A. y ? ? B.6.7 C.6.8 D.6.9

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率 为错误!未指定书签。,则 C 的渐近线方 a 2 b2
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

4.“ (2 x ? 1) x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据:

x y

3 2.5

4

5 4

6 4.5

t

^ 根据上表提供的数据,求得 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.7x+0.35,那么表中 t 的值为 A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5
2 2

6. 已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x,y),则当 x,y∈Z 时,P 满足(x-2) +(y-2) ≤4 的概率为 A. 8 25 7 B. 25 6 C. 25 D. 4 25

7.设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,P 是 a 2 b2


C 上的点, PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为(

1

A.

3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

8.如右图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 9、已知过点 P( 2,2) 的直线与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 相切, 且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则 a ? A. ?
1 2

B.1

C.2

D.

1 2

10、若事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为

1 ,则 2

AD = AB
A.

1 2

B.

1 4

C.

3 2

D.

7 4

11 、已知不等式

x?2 ? 0 的解集为 ? x a ? x ? b? ,点 A( a, b) 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 x ?1 2 1 mn ? 0 ,则 ? 的最小值为 m n
A.9 B.10 C.11 D.12

12. 函数 y ? f ( x) 图像上不同两点 A( x 处的切线的斜率分别是 k A , kB ,规定 1, y 1 ), B ( x 2 ,y 2 )

? ( A, B) ?

| k A ? kB | 叫做曲线 y ? f ( x) 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度” ,给出以下命题: | AB |

①函数 y ? x3 ? x 2 ? 1 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2 ,则 ? ( A, B) ? 3; ②存在这样的函数,图像上任意 两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A 、 B 是抛物线 y ? x2 ? 1 上不同的两点,则 ? ( A, B) ? 2 ; ④设曲线 y ? e 上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ? 1 ,若 t ? ? ( A, B) ? 1 恒成立,则实
x

数 t 的取值范围是 (??,1) .以上正确命题的序号为 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置) 13 . 若 关 于

| |2 x ? 1? | |x2? 的 3解 | 集非空,则实数 a 的取值范围 x 的不等式 |a?1 ?

是 . 14、为了了解某校高三男生的身体状况,抽 查了部分男生的体重,将 所得数据整理后,画出了频率分布直方图(如右图) .已知图中从左到 右的前 3 个小组的频率之比为 1︰2︰3,第 2 小组的频数为 12,则被 抽查的男生的人数是 . 15.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15 =0,若直线 y =kx-2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是_ __
2 2

2

16. 对一块边长为 1 的正方形进行如下操作:第一步,将它分割成 3x3 方格, 接着用中心和四个角 的 5 个小正方形,构成如图①所示的几何图形,其面积 S1=

5 ;第二步,将图①的 5 个小正方形中 9

的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推,到第 n 步,所得图形的面积 Sn=(

5 n ) .若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中,则 9

(I)当 n = 1 时,所得几何体的体积 V1 =______. (II)到第 n 步时,所得几何体的体积 Vn =______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10 分)为预防某种流感病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗 的有效性(若疫苗有效的概率小于 90%,则认为测试没有通过) ,公司选定 2000 个流感样本分成 三组,测试结果如下表:

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0. 33. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 36 0 个测试结果,问应在 C 组抽取多少个?

18.(12 分) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的 ? y ? 5 ? 5sin t

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ). 19、 (12 分)已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 . (1)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (2)设 a ? ?1 ,且当 x ? [?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

2 2 20 、 ( 12 分)命题 p : y ? (a ? 4a ? 5) x ? 4(a ?1) x ? 3 的图象全在 x 轴的上方,命题 q :函数

3

f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3 在 ?0, a ? 的值域为 [?1,3] ,若 p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

21. (12 分)过椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点 F2 的直线交椭圆于 A , B 两点,F1 为其左 a 2 b2
3 . 2

焦点,巳知 Δ AF1B 的周长为 8,椭圆的离心 率为

(1)求橢圆 ? 的方程; (2) 是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 ? 恒有两个交点 P , Q, 且

uu u r uuu r OP ? OQ . 若存在,求出该圆的方程; 若不存在, 请说明理由.

22.(12 分)已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数,e =2. 71828?是自然对数的底数) ,曲线 ex

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.
( 1 ) 求 k 的值; ( 2 ) 求 f ( x) 的单调区间; ( 3 ) 设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

4

高二数学(文科)答案 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、C 7、D 8、B 9、A 10、D 11、A 12、B 13、 (??, ?3] U[5, ??) 17、 (1)660 18、p: [1,19) (2)90 q: [2, 4] 14、48 15、

4 3

16、 (1)

1 3

(2) ( ) n

1 3

(??,1) U[19, ??)

19、 (1) ? 2 ? 8 ? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 (2) ( 2,

?

)或(2, ) 4 2

?

20、 【答案】当 a =-2 时,不等式 f ( x) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,







y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ?

?

?5 x,

x?

1 2

,

1 ? ? x ?1 ?? x ? 2, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?

其图像如图所示

从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集是 {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ)当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x) = 1 ? a ,不等式 f ( x) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 4 a 1 a , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2
4 ]. 3

∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ?

∴ a 的取值范围为(-1,

21、

5

22、

6

7


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