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高中数学必修2


第三节

圆_的_方_程

[知识能否忆起] 1.圆的定义及方程

定义 标准 方程 一般 方程

平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0) x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圆心:(a,b),半径:r D E? 圆

心:? ?- 2 ,- 2 ?, 1 半径: D2+E2-4F 2

2.点与圆的位置关系 点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件是( 1 A. <m<1 4 1 C.m< 4 1 B.m< 或 m>1 4 D.m>1 )

1 解析:选 B 由(4m)2+4-4×5m>0 得 m< 或 m>1. 4 2.(教材习题改编)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 内,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:选 A ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4, ∴-1<a<1. B.(0,1) D.(1,+∞) )

3.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1

)

解析:选 A 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ?0-1?2+?b-2?2=1,解得 b=2,故 圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 4 . (2012· 潍坊调研 ) 圆 x2 - 2x + y2 - 3 = 0 的圆心到直线 x + 3 y - 3 = 0 的距离为 ________. 解析:圆心(1,0),d= 答案:1 5.(教材习题改编)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为 ____________________. 解析:设圆的方程为 x2+y2=a2(a>0) ∴ |2| =a,∴a= 2, 1+1 |1-3| =1. 1+3

∴x2+y2=2. 答案:x2+y2=2 1.方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是: (1)B=0;(2)A=C≠0;(3)D2+E2-4AF>0. 2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上. (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

圆的方程的求法

典题导入 [例 1] (1)(2012· 顺义模拟)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长 之比为 1∶2,则圆 C 的方程为( 4 3 A.?x± ?2+y2= 3 ? 3? 4 3 C.x2+?y± ?2= ? 3? 3 ) 1 3 B.?x± ?2+y2= 3 ? 3? 1 3 D.x2+?y± ?2= ? 3? 3

(2)已知圆 C 经过 A(5,1), B(1,3)两点, 圆心在 x 轴上, 则圆 C 的方程为________________. 2π [自主解答] (1)由已知知圆心在 y 轴上, 且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 , 设圆心(0, 3 π π 2 3 3 b),半径为 r,则 rsin =1,rcos =|b|,解得 r= ,|b|= ,即 b=± . 3 3 3 3 3 4 3 故圆的方程为 x2+?y± ?2= . 3 ? ? 3 (2)圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+F=0,
? ?26+5D+F=0, 则? ? ?10+D+F=0, ? ?D=-4, 解得? ?F=-6. ?

圆 C 的方程为 x2+y2-4x-6=0. [答案] (1)C (2)x2+y2-4x-6=0 由题悟法 1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组. 2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形 结合思想的运用. 以题试法 1.(2012· 浙江五校联考)过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为 A, B,则△ABP 的外接圆的方程是( A.(x-4)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+1)2=5 ) B.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5

解析:选 D 易知圆心为坐标原点 O,根据圆的切线的性质可知 OA⊥PA,OB⊥PB, 因此 P,A,O,B 四点共圆,△PAB 的外接圆就是以线段 OP 为直径的圆,这个圆的方程是 (x-2)2+(y-1)2=5. 与圆有关的最值问题

典题导入 [例 2] (1)(2012· 湖北高考)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部 分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A.x+y-2=0 C.x-y=0 B.y-1=0 D.x+3y-4=0 )

(2)P(x,y)在圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 上移动,则 x2+y2 的最小值为________. [自主解答] (1)当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件.圆心 O 与 P 点

连线的斜率 k=1,∴直线 OP 垂直于 x+y-2=0. (2)由 C(1,1)得|OC|= 2,则|OP|min= 2-1,即( x2+y2)min= 2-1.所以 x2+y2 的最小 值为( 2-1)2=3-2 2. [答案] (1)A (2)3-2 2 由题悟法 解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如 u= 题(如 A 级 T9); y-2 9.(2012· 南京模拟)已知 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最小值为________. x-1 y-2 y-2 解析: 表示圆上的点 P(x,y)与点 Q(1,2)连线的斜率,所以 的最小值是直线 PQ x-1 x-1 与圆相切时的斜率. 设直线 PQ 的方程为 y-2=k(x-1)即 kx-y+2-k=0.由 y-2 3 3 3 = ,结合图形可知, ≥ ,故最小值为 . 4 4 4 x-1 3 答案: 4 |2-k| =1 得 k k2+1 y-b 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问 x-a

(2)形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法 2(2)); (3)形如(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2)). 以题试法 2.(1)(2012· 东北三校联考)与曲线 C:x2+y2+2x+2y=0 相内切,同时又与直线 l:y= 2-x 相切的半径最小的圆的半径是________. (2)已知实数 x,y 满足(x-2)2+(y+1)2=1 则 2x-y 的最大值为________,最小值为 ________. 解析:(1)依题意,曲线 C 表示的是以点 C(-1,-1)为圆心, 2为半径的圆,圆心 C(- |-1-1-2| 1,-1)到直线 y=2-x 即 x+y-2=0 的距离等于 =2 2,易知所求圆的半径等 2 2 2+ 2 3 2 于 = . 2 2 (2)令 b=2x-y, 则 b 为直线 2x-y=b 在 y 轴上的截距的相反数, 当直线 2x-y=b 与圆 |2×2+1-b| 相切时,b 取得最值.由 =1.解得 b=5± 5,所以 2x-y 的最大值为 5+ 5,最 5 小值为 5- 5.

3 2 答案:(1) 2

(2)5+ 5 5- 5

与圆有关的轨迹问题

典题导入 [例 3] (2012· 正定模拟)如图,已知点 A(-1,0)与点 B(1,0),C 是圆 x2 +y2=1 上的动点,连接 BC 并延长至 D,使得|CD|=|BC|,求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程. [自主解答] 设动点 P(x,y),由题意可知 P 是△ABD 的重心. 由 A(-1,0),B(1,0),令动点 C(x0,y0), 则 D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得 2x -1 , ?x=-1+1+ 3 ? 2y ?y= 3 ,
0 0

1 , ?x =3x+ 2 则? 3y ?y = 2 ?y ≠0?,
0 0 0

1?2 2 4 代入 x2+y2=1,整理得? ?x+3? +y =9(y≠0), 1 4 x+ ?2+y2= (y≠0). 故所求轨迹方程为? 3 ? ? 9

由题悟法 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 以题试法 3.(2012· 郑州模拟)动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的 轨迹方程为( ) B.x2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16

A.x2+y2=32 C.(x-1)2+y2=16

解析:选 B 设 P(x,y),则由题意可得 2 ?x-2?2+y2= ?x-8?2+y2,化简整理得 x2 +y2=16.

与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点, 这类问题,要特别注意圆的定义及其性质的运用. 同时,要根据条件,合理选择代数方法或几何方法, 凡是涉及参数的问题,一定要注意参数的变化对问 题的影响,以便确定是否分类讨论.同时要有丰富 的相关知识储备,解题时只有做到平心静气地认真 研究,不断寻求解决问题的方法和技巧,才能真正 把握好问题.

? ? m ≤?x-2?2+y2≤m2,x,y∈R ?,B={(x, [典例] (2011· 江苏高考)设集合 A=??x,y?? ?2 ? ?

y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是________. m 1 [解析] 由题意知 A≠?,则 ≤m2,即 m≤0 或 m≥ .因为 A∩B≠?,则有: 2 2 |2-2m-1| 1 (1)当 2m+1<2, 即 m< 时, 圆心(2,0)到直线 x+y=2m+1 的距离为 d1= ≤|m|, 2 2 化简得 2m2-4m+1≤0, 解得 1- 2 2 2 1 ≤m≤1+ ,所以 1- ≤m≤ ; 2 2 2 2

1 (2)当 2m≤2≤2m+1,即 ≤m≤1 时,A∩B≠?恒成立; 2 (3)当 2m>2,即 m>1 时, |2-2m| 圆心(2,0)到直线 x+y=2m 的距离为 d2= ≤|m|, 2 化简得 m2-4m+2≤0, 解得 2- 2≤m≤2+ 2, 所以 1<m≤2+ 2. 1 ? 综上可知:满足题意的 m 的取值范围为? ?2,2+ 2?. 1 ? [答案] ? ?2,2+ 2? [题后悟道] 该题是圆与集合,不等式交汇问题,解决本题的关键点有: ①弄清集合代表的几何意义; ②结合直线与圆的位置关系求得 m 的取值范围.

?针对训练 若直线 l:ax+by+4=0(a>0,b>0)始终平分圆 C:x2+y2+8x+2y+1=0,则 ab 的最 大值为( A.4 C.1 ) B.2 1 D. 4

解析:选 C 圆 C 的圆心坐标为(-4,-1), 则有-4a-b+4=0,即 4a+b=4. 1 1 4a+b?2 1 ?4?2 所以 ab= (4a· b)≤ ? = × =1. 4 4? 2 ? 4 ?2? 1 当且仅当 a= ,b=2 取得等号. 2

1.圆(x+2)2+y2=5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为( A.(x-2)2+y2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 B.x2+(y-2)2=5 D.x2+(y+2)2=5

)

解析: 选 A 圆上任一点(x, y)关于原点对称点为(-x, -y)在圆(x+2)2+y2=5 上, 即(- x+2)2+(-y)2=5.即(x-2)2+y2=5. 2.(2012· 辽宁高考)将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 B.x+y+3=0 D.x-y+3=0 )

解析:选 C 要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A,B, C,D 四个选项中,只有 C 选项中的直线经过圆心. 3.(2012· 青岛二中期末)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是( 7?2 A.(x-3)2+? ?y-3? =1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 ) B.(x-2)2+(y-1)2=1 3?2 2 D.? ?x-2? +(y-1) =1

|4a-3| 解析: 选 B 依题意设圆心 C(a,1)(a>0), 由圆 C 与直线 4x-3y=0 相切, 得 =1, 5 解得 a=2,则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 4. (2012· 海淀检测)点 P(4, -2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 )

C.(x+4)2+(y-2)2=4

D.(x+2)2+(y-1)2=1
0

解析:选 A

x , ?x=4+ 2 设圆上任一点为 Q(x ,y ),PQ 的中点为 M(x,y),则? -2+y ?y= 2 ,
0 0 0



? ?x0=2x-4, 得? 因为点 Q 在圆 x2+y2=4 上,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+ ?y0=2y+2. ?

1)2=1. 5.(2013· 杭州模拟)若圆 x2+y2-2x+6y+5a=0,关于直线 y=x+2b 成轴对称图形, 则 a-b 的取值范围是( A.(-∞,4) C.(-4,+∞) ) B.(-∞,0) D.(4,+∞)

解析:选 A 将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且 10-5a>0,即 a<2.∵圆关于直线 y=x+2b 对称,∴圆心在直线 y=x+2b 上,即-3=1+ 2b,解得 b=-2,∴a-b<4. 6.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点, 则|MN|的最小值是( 9 A. 5 4 C. 5 ) B.1 13 D. 5

解析:选 C 圆心(-1,-1)到点 M 的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离 d= |-3-4-2| 9 4 = ,故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1= . 5 5 5 7 .如果三角形三个顶点分别是 O(0,0) , A(0,15) , B( - 8,0) ,则它的内切圆方程为 ________________. |OA|+|OB|-|AB| 15+8-17 解析: 因为△AOB 是直角三角形, 所以内切圆半径为 r= = = 2 2 3,圆心坐标为(-3,3),故内切圆方程为(x+3)2+(y-3)2=9. 答案:(x+3)2+(y-3)2=9 8.(2013· 河南三市调研)已知圆 C 的圆心与抛物线 y2=4x 的焦点关于直线 y=x 对称, 直线 4x-3y-2=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为__________. 解析:设所求圆的半径是 R,依题意得,抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(1,0),则圆 C 的 圆心坐标是(0,1), 圆心到直线 4x-3y-2=0 的距离 d=
2

|4×0-3×1-2| |AB|? 则 R2=d2+? 2 2 =1, 2 ? ? 4 +?-3?

=10,因此圆 C 的方程是 x2+(y-1)2=10.

答案:x2+(y-1)2=10 y-2 9.(2012· 南京模拟)已知 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最小值为________. x-1 y-2 y-2 解析: 表示圆上的点 P(x,y)与点 Q(1,2)连线的斜率,所以 的最小值是直线 PQ x-1 x-1 与圆相切时的斜率. 设直线 PQ 的方程为 y-2=k(x-1)即 kx-y+2-k=0.由 y-2 3 3 3 = ,结合图形可知, ≥ ,故最小值为 . 4 4 x-1 4 3 答案: 4 10.过点 C(3,4)且与 x 轴,y 轴都相切的两个圆的半径分别为 r1,r2,求 r1r2. 解:由题意知,这两个圆的圆心都在第一象限, 且在直线 y=x 上,故可设两圆方程为 (x-a)2+(y-a)2=a2,(x-b)2+(y-b)2=b2, 且 r1=a,r2=b.由于两圆都过点 C, 则(3-a)2+(4-a)2=a2,(3-b)2+(4-b)2=b2 即 a2-14a+25=0,b2-14b+25=0. 则 a、b 是方程 x2-14x+25=0 的两个根. 故 r1r2=ab=25. 11.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于 点 C 和 D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 解:(1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2). 则直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1), 即 x+y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0.① 又∵直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10, ∴(a+1)2+b2=40.②
?a=-3, ?a=5, ? ? 由①②解得? 或? ?b=6 ?b=-2. ? ?

|2-k|

=1 得 k k2+1

∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2). ∴圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40.

12.(2012· 吉林摸底)已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆; (2)在(1)的条件下,若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M、N 两点,且|MN|= 求 m 的值. 解:(1)方程 C 可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,显然只要 5-m>0,即 m<5 时方程 C 表示圆. (2)因为圆 C 的方程为(x-1)2+(y-2)2=5-m,其中 m<5,所以圆心 C(1,2),半径 r= 5-m, |1+2×2-4| 1 则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离为 d= = , 5 12+22 因为|MN|= 4 5 1 2 5 ,所以 |MN|= , 5 2 5 1 ?2 ?2 5?2 + , ? 5? ? 5 ? 4 5 , 5

所以 5-m=? 解得 m=4.

x2 y2 1. (2012· 常州模拟)以双曲线 - =1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的 6 3 方程是( ) B.(x-3)2+y2=3 D.(x-3)2+y2=9

A.(x- 3)2+y2=1 C.(x- 3)2+y2=3 解析:选 B |3| 1 +?± 2?
2 2

双曲线的渐近线方程为 x± 2y=0,其右焦点为(3,0),所求圆半径 r=

= 3,所求圆方程为(x-3)2+y2=3.

2.由直线 y=x+2 上的点 P 向圆 C:(x-4)2+(y+2)2=1 引切线 PT(T 为切点),当|PT| 最小时,点 P 的坐标是( A.(-1,1) C.(-2,0) ) B.(0,2) D.(1,3)

解析: 选 B 根据切线长、 圆的半径和圆心到点 P 的距离的关系, 可知|PT|= |PC|2-1, 故|PT|最小时,即|PC|最小,此时 PC 垂直于直线 y=x+2,则直线 PC 的方程为 y+2=-(x
?y=x+2, ? -4),即 y=-x+2,联立方程? 解得点 P 的坐标为(0,2). ?y=-x+2, ?

3.已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程;

(2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求 四边形 PAMB 面积的最小值. 解:(1)设圆 M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). ?1-a? +?-1-b? =r , ? ? 2 2 2 根据题意,得??-1-a? +?1-b? =r , ? ?a+b-2=0. 解得 a=b=1,r=2, 故所求圆 M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)因为四边形 PAMB 的面积 S=S△PAM+S△PBM 1 1 = |AM|· |PA|+ |BM|· |PB|, 2 2 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以 S=2|PA|, 而|PA|= |PM|2-|AM|2= |PM|2-4, 即 S=2 |PM|2-4. 因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P,使得|PM|的值最小, 所以|PM|min= =2 32-4=2 5. |3×1+4×1+8| =3,所以四边形 PAMB 面积的最小值为 S=2 |PM|2 min-4 32+42
2 2 2

1.在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四 边形 ABCD 的面积为( A.5 2 C.15 2 ) B.10 2 D.20 2

解析:选 B 由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内, 故过点 E(0,1)的最短弦长|BD|=2 10-?12+22?=2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以该点 为中点的弦),过点 E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2 10,且 AC⊥BD,因此四 1 1 边形 ABCD 的面积等于 |AC|×|BD|= ×2 10×2 5=10 2. 2 2 2.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的 最小值是________. 解析:lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到 l 的距离 d= 则 AB 边上的高的最小值为 3 -1. 2 3 , 2

3 1 故△ABC 面积的最小值是 ×2 2×? -1?=3- 2. 2 ? 2 ? 答案:3- 2 3.(2012· 抚顺调研)已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆 上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90° ,求线段 PQ 中点的轨迹方程. 解:(1)设 AP 的中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x-2,2y). 因为 P 点在圆 x2+y2=4 上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y),在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|,设 O 为坐标原点,连接 ON, 则 ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以 x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0.

第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系

[知识能否忆起] 一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d,圆的半径为 r) 相离 相切 相交

图形

量 化

方程观点 几何观点

Δ<0 d>r

Δ=0 d=r

Δ>0 d<r

二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2 半径 r1、r2,d=|O1O2|) 相离 图形 外切 相交 内切 内含

量化

d>r1+r2

d=r1+r2

|r1-r2|<d <r1+r2

d=|r1-r2|

d<|r1-r2|

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 C.相交过圆心 B.相交但直线不过圆心 D.相离 )

解析:选 B 由题意知圆心(1,-2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d= 5,0<d< 6,故 该直线与圆相交但不过圆心. 2.(2012· 银川质检)由直线 y=x+1 上的一点向圆 x2+y2-6x+8=0 引切线,则切线长 的最小值为( A. 7 C.3 ) B.2 2 D. 2

解析:选 A 由题意知,圆心到直线上的点的距离最小时,切线长最小.圆 x2+y2-6x +8=0 可化为(x-3)2+y2=1,则圆心(3,0)到直线 y=x+1 的距离为 小值为 ?2 2?2-1= 7. 3.直线 x-y+1=0 与圆 x2+y2=r2 相交于 A,B 两点,且 AB 的长为 2,则圆的半径为 ( ) 3 2 A. 2 C.1 B. 6 2 4 =2 2,切线长的最 2

D.2 1 1 6 ?2 2 3 .则 r2=? ?2|AB|? +d =2,r= 2 . 2

解析:选 B 圆心(0,0)到直线 x-y+1=0 的距离 d=

4. (教材习题改编)若圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有公共点, 则实数 k 的取值范围是 ________. 解析:由题意知 答案:(- 3, 2 >1,解得- 3<k< 3. 1+k2 3)

5.已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦 所在的直线方程是____________. 解析:两圆相减即得 x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0 1.求圆的弦长问题,注意应用圆的几何性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性 质,可用勾股定理或斜率之积为-1 列方程来简化运算.

2.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的情况.

直线与圆的位置关系的判断

典题导入 [例 1] (2012· 陕西高考) 已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离 B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能 )

[自主解答] 将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程,得 32+02-4×3=9-12=-3<0, 所以点 P(3,0)在圆内. 故过点 P 的直线 l 定与圆 C 相交. [答案] A

本例中若直线 l 为“x-y+4=0”问题不变. 解:∵圆的方程为(x-2)2+y2=4, ∴圆心(2,0),r=2. 又圆心到直线的距离为 d= ∴l 与 C 相离. 6 =3 2>2. 2

由题悟法 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系. (2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交. 以题试法 1. (2012· 哈师大附中月考)已知直线 l 过点(-2,0), 当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点 时,其斜率 k 的取值范围是( A.(-2 2,2 2) C.?- ) B.(- 2, 2) 1 1? D.? ?-8,8?

?

2 2? , 4 4?

解析:选 C 易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是 1,直线 l 的方程是 y=k(x+2),即 kx -y+2k=0,根据点到直线的距离公式得 |k+2k|
2

1 2 2 <1,即 k2< ,解得- <k< . 8 4 4 k +1 直线与圆的位置关系的综合

典题导入 [例 2] (1)(2012· 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2 =4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于( A.3 3 C. 3 B.2 3 D.1 )

(2)(2012· 天津高考)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2 =1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3 ] B.(-∞,1- 3 ]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2 ] D.(-∞,2-2 2 ]∪[2+2 2,+∞) [自主解答] (1)圆 x2+y2=4 的圆心(0,0),半径为 2,则圆心到直线 3x+4y-5=0 的距 离 d= 5 =1. 3 +42
2

)

故|AB|=2 r2-d2=2 4-1=2 3. (2)圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离为 = 1, 所以 m+n ?m+1?2+?n+1?2 |m+n|

1 +1=mn≤ (m+n)2,整理得[(m+n)-2]2-8≥0,解得 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2. 4 [答案] (1)B (2)D

由题悟法 1.圆的弦长的常用求法: l ?2 2 2 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ?2? =r -d . (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式: |AB|= 1+k2|x1-x2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题. 2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无解; 若点在圆上,有一解;若点在圆外,有两解.

以题试法 2.(2012· 杭州模拟)直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若 |MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( 3 ? A.? ?-4,0? C.[- 3, 3] ) B.?-

?

3 3? , 3 3?

2 - ,0? D.? ? 3 ?

解析:选 B 如图,设圆心 C(2,3)到直线 y=kx+3 的距离为 d,若 1 |2k|2 3 |MN|?2≤4-3=1,即 |MN|≥2 3,则 d2=r2-? ≤1,解得- ≤k≤ ?2 ? 3 1+k2 3 . 3

圆与圆的位置关系

典题导入 [ 例 3] ( ) A.内切 C.外切 B.相交 D.相离 (1)(2012· 山东高考 ) 圆 (x+ 2)2+ y2 =4 与圆(x - 2)2 + (y - 1)2=9 的位置关系为

(2)设两圆 C1、 C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1), 则两圆心的距离|C1C2|=________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(-2,0), (2,1), 半径分别为 2 和 3, 圆心距 d= 42+1= 17.∵3-2<d<3+2,∴两圆相交. (2)由题意可设两圆的方程为(x-ri)2+(y-ri)2=r2 i ,ri>0,i=1,2.由两圆都过点(4,1)得(4 -ri)2+(1-ri)2=r2 整理得 r2 此方程的两根即为两圆的半径 r1, r2, 所以 r1r2 i, i -10ri+17=0, =17, r1+r2=10, 则|C1C2|= ?r1-r2?2+?r1-r2?2= 2× ?r1+r2?2-4r1r2= =8. [答案] (1)B (2)8 由题悟法 两圆位置关系的判断常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系, 一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到. 以题试法 3.(2012· 青岛二中月考)若⊙O:x2+y2=5 与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、 B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长是________. 1 |AB| 解析:依题意得|OO1|= 5+20=5,且△OO1A 是直角三角形,S△O O1A= · · |OO1| 2 2 1 2· |OA|· |AO1| 2× 5×2 5 = · |OA|· |AO1|,因此|AB|= = =4. 2 |OO1| 5 答案:4 2× 100-68

[典例] (2012· 东城模拟)直线 l 过点(-4,0) 且与圆(x+1)2+(y-2)2=25 交于 A,B 两点,如 果|AB|=8,那么直线 l 的方程为( A.5x+12y+20=0 B.5x-12y+20=0 或 x+4=0 C.5x-12y+20=0 D.5x+12y+20=0 或 x+4=0 )

[尝试解题] 过点(-4,0)的直线若垂直于 x 轴,经验证符合条件,即方程为 x+4=0 满 足题意;若存在斜率,设其直线方程为 y=k(x+4),由被圆截得的弦长为 8,可得圆心(-1, 2)到直线 y=k(x+4)的距离为 3,即 |3k-2| 1+k
2=3,解得

5 k=- ,此时直线方程为 5x+12y+ 12

20=0,综上直线方程为 5x+12y+20=0 或 x+4=0. [答案] D ——————[易错提醒]————————————————————————— 1.解答本题易误认为斜率 k 一定存在从而错选 A. 2.对于过定点的动直线设方程时,可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率 k 是否存 在,以避免漏解. ————————————————————————————————————— — ?针对训练 1.过点 A(2,4)向圆 x2+y2=4 所引切线的方程为__________________. 解析:显然 x=2 为所求切线之一.当切线斜率存在时,设切线方程为 y-4=k(x-2), 即 kx-y+4-2k=0,那么 |4-2k|
2

3 =2,k= ,即 3x-4y+10=0. 4 k +1

答案:x=2 或 3x-4y+10=0 2.已知直线 l 过(2,1),(m,3)两点,则直线 l 的方程为________________. 解析:当 m=2 时,直线 l 的方程为 x=2;

y-1 x-2 当 m≠2 时,直线 l 的方程为 = , 3-1 m-2 即 2x-(m-2)y+m-6=0. 因为 m=2 时,方程 2x-(m-2)y+m-6=0, 即为 x=2, 所以直线 l 的方程为 2x-(m-2)y+m-6=0. 答案:2x-(m-2)y+m-6=0

一、选择题 1.(2012· 人大附中月考)设 m>0,则直线 2(x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关 系为( ) B.相交 D.相交或相切

A.相切 C.相切或相离

1+m 1+m 1 解析:选 C 圆心到直线 l 的距离为 d= ,圆半径为 m.因为 d-r= - m= 2 2 2 1 (m-2 m+1)= ( m-1)2≥0,所以直线与圆的位置关系是相切或相离. 2 2.(2012· 福建高考)直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的 长度等于( A.2 5 C. 3 ) B.2 3 D.1

解析: 选 B 因为圆心(0,0)到直线 x+ 3y-2=0 的距离为 1, 所以 AB=2 4-1=2 3. 3.(2012· 安徽高考)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值 范围是( ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

A.[-3,-1] C.[-3,1]

解析:选 C 欲使直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,只需使圆心到直线的 距离小于等于圆的半径 2即可,即 |a-0+1| ≤ 2,化简得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 12+?-1?2

4.过圆 x2+y2=1 上一点作圆的切线与 x 轴,y 轴的正半轴交于 A,B 两点,则|AB|的最 小值为( A. 2 ) B. 3

C.2

D.3

解析:选 C 设圆上的点为(x0,y0),其中 x0>0,y0>0,则切线方程为 x0x+y0y=1.分别 1 1 ,0?,B?0, ?,则|AB|= 令 x=0,y=0 得 A? ?x ? ? y?
0 0

? 1 ?2+? 1 ?2= 1 ≥ 2 1 2=2.当且仅当 ?x0? ?y0? x0y0 x0+y0
2

x0=y0 时,等号成立. 5.(2013· 兰州模拟)若圆 x2+y2=r2(r>0)上仅有 4 个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1, 则实数 r 的取值范围为( A.( 2+1,+∞) C.(0, 2-1) ) B.( 2-1, D.(0, 2+1)

2+1) 2 = 2 2>1,如图.直

解析:选 A 计算得圆心到直线 l 的距离为

线 l:x-y-2=0 与圆相交,l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1, 故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线 l2 的距离 2+1.

6.(2013· 临沂模拟)已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C: x2+y2-2y=0 的两条切线, A, B 是切点, 若四边形 PACB 的最小面积是 2, 则 k 的值为( A. 2 C.2 2 B. 21 2 )

D.2 5 , k +1
2

解析:选 D 圆心 C(0,1)到 l 的距离 d=

1 2 ? 所以四边形面积的最小值为 2×? ?2×1× d -1?=2, 解得 k2=4,即 k=± 2. 又 k>0,即 k=2. 7. (2012· 朝阳高三期末)设直线 x-my-1=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、 B 两点, 且弦 AB 的长为 2 3,则实数 m 的值是________. |1-2m-1| 解析:由题意得,圆心(1,2)到直线 x-my-1=0 的距离 d= 4-3=1,即 = 1+m2 3 1,解得 m=± . 3 答案:± 3 3

8.(2012· 东北三校联考)若 a,b,c 是直角三角形 ABC 三边的长(c 为斜边),则圆 C:x2 +y2=4 被直线 l:ax+by+c=0 所截得的弦长为________. 解析: 由题意可知圆 C : x2 + y2 = 4 被直线 l : ax + by + c = 0 所截得的弦长为 2

4-?

? c ?2 ? ,由于 a2+b2=c2,所以所求弦长为 2 3. ? a2+b2?

答案:2 3 9.(2012· 江西高考)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切 线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是________. 解析:∵点 P 在直线 x+y-2 2=0 上,∴可设点 P(x0,-x0+2 2),且其中一个切点 为 M.∵两条切线的夹角为 60° ,∴∠OPM=30° .故在 Rt△OPM 中,有 OP=2OM=2.由两点 间的距离公式得 OP= 答案:( 2, 2)
2 x2 0+?-x0+2 2? =2,解得 x0= 2.故点 P 的坐标是(

2,

2).

10.(2012· 福州调研)已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙ M 于 A,B 两点. (1)若|AB|= 4 2 ,求|MQ|及直线 MQ 的方程; 3

(2)求证:直线 AB 恒过定点. 解: (1)设直线 MQ 交 AB 于点 P, 则|AP|= = 8 1 12- = , 9 3 又∵|MQ|= |MA|2 ,∴|MQ|=3. |MP| 2 2 , 又|AM|=1, AP⊥MQ, AM⊥AQ, 得|MP| 3

设 Q(x,0),而点 M(0,2),由 x2+22=3,得 x=± 5, 则 Q 点的坐标为( 5,0)或(- 5,0). 从而直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0. (2)证明:设点 Q(q,0),由几何性质,可知 A,B 两点在以 QM 为直径的圆上,此圆的方 程为 x(x-q)+y(y-2)=0,而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可得 AB 的方程为 qx 3? -2y+3=0,所以直线 AB 恒过定点? ?0,2?. 2? 11. 已知以点 C? ?t, t ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B, 其中 O 为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 解:(1)证明:由题设知,圆 C 的方程为 2?2 2 4 (x-t)2+? ?y- t ? =t +t2, 4 化简得 x2-2tx+y2- y=0, t

当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0); 4? 4 当 x=0 时,y=0 或 ,则 B? ?0, t ?, t 1 所以 S△AOB= |OA|· |OB| 2 1 ?4? = |2t|· =4 为定值. 2 ?t? (2)∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN, ∴C、H、O 三点共线,则直线 OC 的斜率 2 t 2 1 k= = 2= ,∴t=2 或 t=-2. t t 2 ∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不 满足直线与圆相交,故舍去,∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2), 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由. 解:(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为 Q(6,0).过 P(0,2)且斜率为 k 的直线 方程为 y=kx+2,代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0, 整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A、 B 等价于 Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0, 3 3 - ,0?. 解得- <k<0,即 k 的取值范围为? ? 4 ? 4 (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2), 4?k-3? 由方程①得 x1+x2=- .② 1+k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③ 因 P(0,2)、Q(6,0), PQ =(6,-2), 所以 OA + OB 与 PQ 共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2), 将②③代入上式, 解得 k=- 3 . 4 3 ? 而由(1)知 k∈? ?-4,0?,故没有符合题意的常数 k.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1.已知两圆 x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,则它们的公共弦所在直线 的方程为________________;公共弦长为________. 解析:由两圆的方程 x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,相减并整理得公 共弦所在直线的方程为 2x+y-5=0.圆心(5,5)到直线 2x+y-5=0 的距离为 的一半为 50-20= 30,得公共弦长为 2 30. 答案:2x+y-5=0 2 30 2. (2012· 上海模拟)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0, a1, a2, ?, a11 是该圆过点(3,5) 的 11 条弦的长, 若数列 a1, a2, ?, a11 成等差数列, 则该等差数列公差的最大值是________. 解析:容易判断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的 10-4 6 5-2 6 弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为 10,最短为 4 6,故公差最大为 = . 10 5 5-2 6 答案: 5 3.(2012· 江西六校联考)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l, 焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,圆 M 与 y 轴相切,过原点 π O 作倾斜角为 的直线 n,交直线 l 于点 A,交圆 M 于不同的两点 O、 3 B,且|AO|=|BO|=2. (1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; 10 =2 5,弦长 5

PF ,的最小值; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ,·
(3)过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点分别为 S、T,求证:直线 ST 恒过一个定 点,并求该定点的坐标. 解:(1)易得 B(1, 3),A(-1,- 3),设圆 M 的方程为(x-a)2+y2=a2(a>0), 将点 B(1, 3)代入圆 M 的方程得 a=2, 所以圆 M 的方程为(x-2)2+y2=4, 因为点 A(- p 1,- 3)在准线 l 上,所以 =1,p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. 2 (2)由(1)得,M(2,0),F(1,0),设点 P(x,y),则 PM ,=(2-x,-y), PF ,=(1-x,-

???? ??? ?

????

??? ?

PF ,=(2-x)(1-x)+y2=x2-3x+2+4x=x2+x y),又点 P 在抛物线 y2=4x 上,所以 PM ,·

???? ??? ?

PF ,≥2,即 PM ,·PF ,的最小值为 2. +2,因为 x≥0,所以 PM ,·
(3)证明:设点 Q(-1,m),则|QS|=|QT|= m2+5,以 Q 为圆心, m2+5为半径的圆 的方程为(x+1)2+(y-m)2=m2+5,即 x2+y2+2x-2my-4=0,① 又圆 M 的方程为(x-2)2+y2=4,即 x2+y2-4x=0,② 由①②两式相减即得直线 ST 的方程 3x-my-2=0,

???? ??? ?

???? ??? ?

2 ? 显然直线 ST 恒过定点? ?3,0?.

1.两个圆:C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅 有( ) A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条

解析:选 B 由题知 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,则圆心 C1(-1,-1),C2:(x-2)2+(y -1)2=4,圆心 C2(2,1),两圆半径均为 2,又|C1C2|= ?2+1?2+?1+1?2= 13<4,则两圆相 交?只有两条外公切线. 2.(2012· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直 线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的 最大值是________. 解析:设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d,则 d= 为 d≤2,即 d= 4 答案: 3 3.过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 斜率为________. 解析:将圆的方程化成标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1),半径 r=1.由弦 长为 2得弦心距为 |2k-3| 2 2 .设直线方程为 y+2=k(x+1),即 kx-y+k-2=0,则 2 = , 2 2 k +1 2,则直线 l 的 |4k-2|
2

|4k-2|

,由题意知,问题转化 k2+1

4 4 ≤2,得 0≤k≤ ,所以 kmax= . 3 3 k +1

17 化简得 7k2-24k+17=0,得 k=1 或 k= . 7 17 答案:1 或 7 4.圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心为 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 2,求圆 O2 的方程. 解:(1)设圆 O2 的半径为 r2, ∵两圆外切, ∴|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2( 2-1), 故圆 O2 的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( 2-1)2.

(2)设圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2 2, 又圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4, 此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程:4x+4y+r2 2-8=0. 因为圆心 O1(0,-1)到直线 AB 的距离为 |r2 2-12| = 4 2 2 2?2 4-? = 2, ? 2 ?

2 解得 r2 2=4 或 r2=20.

故圆 O2 的方程为 (x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20.


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