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2008年全国高中数学联合竞赛试题参考答案


2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标 准(A 卷)
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 函数 f ( x) ? A.0

5 ? 4 x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x
B.1 C.2 D.3





2.设 A

? [?2,4) ,B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3)





3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

2 ,乙在每局中获胜的概率为 3
( )

1 , 且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为 3
A.

241 670 266 274 B. C. D. 81 243 81 81 2 4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm ,则这三个正方体
的体积之和为 A. 764 cm3 或 586 cm3 C. 586 cm3 或 564 cm3 B. 764 cm3 D. 586 cm3 ( )

? x ? y ? z ? 0, 5. 方程组 ? 的有理数解 ( x, y, z ) 的个数为 ? xyz ? z ? 0, ? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4





6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则

sin A cot C ? cos A 的取值范围是 sin B cot C ? cos B
( )

A. (0, ??)

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
C. (

5 ?1 ) 2 5 ?1 D. ( , ??) 2
B. (0, ,若

7.设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a , b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , fn?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,

f7 ( x) ? 128x ? 381 ,则 a ? b ?

.

8.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ?

1 ,则 a ? 2



9.将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分 配方法共有 种.

10.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? an ?

n ?1 , n ? 1, 2, n(n ? 1)

,则通项 an =



11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足

)= f ( x? 2 )? f ( x ) ? 3 ?x , 2 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008



12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标 的最大值为 ? ,求证: .

cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4?
14.解不等式

log2 ( x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ?1) ? 1 ? log2 ( x4 ?1) .
15.如题 15 图, P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上,圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内切于

?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值.

题 15 图

二试 一、 (本题满分 50 分) 如 题 一 图 , 给 定 凸 四 边 形 ABCD , ?B ? ?D ? 180 , P 是 平 面 上 的 动 点 , 令 f ( P) ? PA ? BC ? PD ? CA ? PC ? AB . (Ⅰ)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P,A,B,C 四点共圆; (Ⅱ)设 E 是 ?ABC 外接圆 O 的 AB 上一点,满足:

AE 3 , ? AB 2

BC 1 ? 3 ? 1 , ?ECB ? ?ECA , 又 DA, DC是 EC 2 AC ? 2 ,求 f ( P ) 的最小值.

O 的切线,

二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x) 的周期且 0 ? T ? 1 .证明: (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

1 是 f ( x) 的周期; p

( Ⅱ ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 {an } 满 足 1 ? an ? an?1 ? 0

(n ? 1 , 2? ,? ? )且每个 an ,
三、 (本题满分 50 分) 设 ak ? 0 ,k ? 1, 2,

(n ? 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.

证明: 当且仅当 ? ak ? 1 时, 存在数列 {xn } 满足以下条件: , 2008 .
k ?1

2008

(ⅰ) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3, (ⅱ) lim xn 存在;
n ??



(ⅲ) xn ? xn ?1 ? ? ak xn ? k ? ? ak ?1 xn? k , n ? 1, 2,3,
k ?1 k ?0

2008

2007



1.[解] 当 x ? 2 时,2 ? x ? 0 ,因此 f ( x) ?

1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2? x

1 ? 2, 当且仅当 而此方程有解 x ? 1? (??, 2) , 因此 f ( x) 在 (??, 2) ? 2 ? x 时上式取等号. 2? x
上的最小值为 2. 2.[解] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根

x1 ?

a a2 a a2 , , x2 ? ? 4 ? ? 4? 2 4 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即

a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ? 4, 2 4 2 4
解之得 0 ? a ? 3 . 3.[解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? . 3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果 对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
P(? ? 2) ? 5 , 9

4 5 20 , P(? ? 4) ? ( )( ) ? 9 9 81 4 16 P (? ? 6) ? ( ) 2 ? , 9 81
5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
[解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )

2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81

P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
4.[解] 设这三个正方体的棱长分别为 a, b, c ,则有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 564 , a2 ? b2 ? c2 ? 94 , 不妨设 1 ? a ? b ? c ? 10 ,从而 3c ? a ? b ? c ? 94 ,c ? 31 .故 6 ? c ?10 .c 只能取 9,
2 2 2 2 2

8,7,6. 若 c ? 9 ,则 a 2 ? b2 ? 94 ? 92 ? 13 ,易知 a ? 2 , b ? 3 ,得一组解 (a, b, c) ? (2,3,9) .

b ? 5. 0 ,b ? 4 , 若c ? 8, 则 a2 ? b2 ? 94 ? 64 ? 30 , 但 2b ?3 从而 b ? 4 或 5. 若b ? 5,
2

则 a ? 5 无解,若 b ? 4 ,则 a ? 14 无解.此时无解.
2 2

若 c ? 7 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 49 ? 45 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 . 若 c ? 6 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 36 ? 58 ,此时 2b ? a ? b ? 58 , b ? 29 .故 b ? 6 ,但
2 2 2 2

b ? c ? 6 ,故 b ? 6 ,此时 a 2 ? 58 ? 36 ? 22 无解.

? a ? 2, ? a ? 3, ? ? 综上,共有两组解 ?b ? 3, 或 ?b ? 6, ? c ? 7. ?c ? 9 ? ?
体积为 V1 ? 23 ? 33 ? 93 ? 764 cm3 或 V2 ? 33 ? 63 ? 73 ? 586 cm3.

? x ? ?1, ? x ? y ? 0, ? x ? 0, 5[解] 若 z ? 0 ,则 ? 解得 ? 或? ? xy ? y ? 0. ? y ? 0 ? y ? 1.
若 z ? 0 ,则由 xyz ? z ? 0 得 xy ? ?1 . 由 x ? y ? z ? 0 得 z ? ?x ? y . ① ② ③

将② 代入 xy ? yz ? xz ? y ? 0 得 x2 ? y 2 ? xy ? y ? 0 . 由① 得x??

1 ,代入③ 化简得 ( y ?1)( y3 ? y ?1) ? 0 . y

易知 y3 ? y ?1 ? 0 无有理数根,故 y ? 1 ,由① 得 x ? ?1 ,由② 得 z ? 0 ,与 z ? 0 矛盾,

? x ? 0, ? x ? ?1, ? 故该方程组共有两组有理数解 ? ? y ? 0, 或 ? y ? 1, ? z ? 0. ?z?0 ? ?

6[解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq2 ,而

sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C

?

sin A( ? C ) ? sin B( ? C )

?s?i nB( ? ?s?i nA (

)B s i bn ? ?q. )A s i an

因此,只需求 q 的取值范围.

因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且 只需 a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组

?a ? aq ? aq 2 , ? ?q 2 ? q ? 1 ? 0, ? 即? 2 ? 2 ? ?aq ? aq ? a ? ?q ? q ? 1 ? 0.

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ? 2 2 解得 ? ?q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2
从而

5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,因此所求的取值范围是 ( ?q? , ). 2 2 2 2
? a ?1)b

7[解] 由题意知 fn ( x) ? an x ? (an?1 ? an?2 ?

? an x ?

an ?1 ?b, a ?1
a7 ?1 ? b ? 381 ,因此 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? 5 . a ?1

由 f7 ( x) ? 128x ? 381 得 a 7 ? 128 ,

8[解] f ( x) ? 2cos2 x ?1 ? 2a ? 2a cos x

a 1 ? 2(cos x ? ) 2 ? a 2 ? 2a ? 1 , 2 2
(1) a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ? 1 时取最小值 1 ? 4a ; (2) a ? ?2 时, f ( x) 当 cos x ? ?1 时取最小值 1; (3) ?2 ? a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ?

a 1 时取最小值 ? a 2 ? 2a ? 1 . 2 2
1 , 2

又 a ? 2 或 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值不能为 ?

1 1 故 ? a 2 ? 2a ? 1 ? ? ,解得 a ? ?2 ? 3 , a ? ?2 ? 3 (舍去). 2 2
9[解法一] 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如

|? ? ? ? | ?

|? ?| ?

表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额. 若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方 法相当于 24 ? 2 ? 26 个位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”. “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插 入“|”,故有 C2 种. 23 ? 253 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. [解法二] 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1 , x2 , x3 ,则每校至少有一个名额的分法数为 不定方程

x1 ? x2 ? x3 ? 24 .
的正整数解的个数,即方程 x1 ? x2 ? x3 ? 21的非负整数解的个数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合:
21 2 . H3 ? C21 23 ? C23 ? 253

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. 10[解] an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 即 2 a n ?1 ? =

n n ?1 ? an ?1 ? ? an , (n ? 1)(n ? 2) n( n ? 1)

n?2?2 1 1 ? ? ? an (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n(n ? 1)
?2 1 , ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)
1 1 . ) ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)

由此得 2 (a n ?1 ? 令 bn ? an ? 有 bn ?1 ?

1 1 1 , b1 ? a1 ? ? ( a1 ? 0 ), 2 2 n(n ? 1)

1 1 1 1 . bn ,故 bn ? n ,所以 a n ? n ? 2 2 n(n ? 1) 2

11[解法一] 由题设条件知

f ( x ? 2) ? f ( x) ? ?( f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x)) ? ?3 ? 2x?2 ? 3 ? 2x?4 ? 63 ? 2x ? 3 ? 2 x ,
因此有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x ,故

f (2008) ? f (2008) ? f (2006) ? f (2006) ? f (2004) ?

? f (2) ? f (0) ? f (0)

? 3 ? (22006 ? 22004 ?
? 3? 41003?1 ? 1 ? f (0) 4 ?1

? 22 ? 1) ? f (0)

? 22008 ? 2007 .
[解法二] 令 g ( x) ? f ( x) ? 2x ,则

g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2x?2 ? 2x ? 3 ? 2x ? 3 ? 2x ? 0 , g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2x?6 ? 2x ? 63 ? 2x ? 63 ? 2x ? 0 ,
即 g ( x ? 2) ? g ( x), g ( x ? 6) ? g ( x) , 故 g ( x) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) , 得 g ( x) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) ? g (2008) ? 22008 ? g (0) ? 22008 ? 22008 ? 2007 . 12[解] 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A1 B1C1 //平面

ABC ,与小球相切于点 D ,则小球球心 O 为正四面体 P ? A1 B1C1 的中心, PO ? 面A1B1C1 ,
垂足 D 为 A1 B1C1 的中心.

1 因 VP ? A B C ? S ?A B C ? PD 1 1 1 3 111

? 4 ?VO? A1B1C1
1 ? 4 ? ? S?A1B1C1 ? OD , 3
故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1
2 2 PP (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 ? PO ? OP 1 ?

考虑小球与正四面体的一个面 ( 不妨取为 PAB ) 相 切时的情况,易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的 轨迹仍为正三角形,记为 P ,如答 12 图 2.记正四面体 1 EF 答 12 图 1

的棱长为 a ,过 P1 作 PM ? PA 于 M . 1 因 ?MPP 1 ?

?
6

, 有 PM ? PP 1 ? cos MPP 1 ? 2 2r ?

3 ? 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 2

PE ? PA ? 2PM ? a ? 2 6r . 1
小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分)

S?PAB ? S?PEF ? 1

3 2 2 (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4

又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以

S?PAB ? S?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 .

答 12 图 2

由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 . 13[证] 且在 (? , f ( x) 的图象与直线 y ? kx (k ? 0) 的三个交点如答 13 图所示,
3? ). 2 3? ) 内相切, 2

其切点为 A(? , ? sin ? ) , ? ? (? ,

…5 分

3 由于 f ?( x) ? ? cos x , x ? (? , ? ) , 2
所 以
?c ? o s ? i n s ? ? ,

?



答 13 图

? ?t

? a .n
因此

…10 分

cos ? cos ? ? sin ? ? sin 3? 2sin 2? cos ?

?

1 4sin ? cos ?

…15 分

? ?

cos 2 ? ? sin 2 ? 4sin ? cos ? 1 ? tan 2 ? 4 tan ?

?

1? ? 2 . 4?

…20 分

14[解法一] 由 1 ? log2 ( x4 ? 1) ? log2 (2 x4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式等

价于

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .
即 分组分解

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 2 x4 ? 1 ? 0 . x12 ? x10 ? x8

…5 分

?2 x10 ? 2 x8 ? 2 x6
?4 x8 ? 4 x6 ? 4 x4

? x6 ? x 4 ? x 2
? x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

( x8 ? 2x6 ? 4x4 ? x2 ? 1)( x4 ? x2 ?1) ? 0 ,
所以

…10 分

x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

( x2 ?
分 所以 x 2 ?

?1 ? 5 2 ?1 ? 5 )( x ? )?0. 2 2

…15

?1 ? 5 ?1 ? 5 或 ?1 ? 5 . ,即 x ? ? x? 2 2 2

故原不等式解集为 (??, ?

5 ?1 ) ( 2

5 ?1 , ??) . 2

…20 分

[解法二] 由 1 ? log2 ( x4 ? 1) ? log2 (2 x4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式等价 于

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .


…5 分

2 1 ? ? x 6 ? 3x 4 ? 3x 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1)3 ? 2( x 2 ? 1) , x2 x6

(

1 3 1 ) ? 2( 2 ) ? ( x 2 ? 1) 3 ? 2( x 2 ? 1) , 2 x x

…10 分

令 g (t ) ? t 3 ? 2t ,则不等式为

g(

1 ) ? g ( x 2 ? 1) , x2

显然 g (t ) ? t 3 ? 2t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于

1 ? x 2 ? 1, 2 x


…15

即 ( x2 )2 ? x2 ?1 ? 0 ,解得 x 2 ? 故原不等式解集为 (??, ?

5 ?1 2

( x2 ? ?

5 ?1 舍去), 2
…20 分

5 ?1 ) ( 2

5 ?1 , ??) . 2

15[解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C(0, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b , x x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

?1 ,

…5 分

2 2 2 故 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2x0b( y0 ? b) ? x0 b ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? …10 分

? x0 ?2 y0 , ,则 bc ? x0 ? 2 x0 ? 2
2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8x0 . ( x0 ? 2)2

(b ? c)2 ?

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则

(b ? c)2 ?

2 2 x0 . 4 x0 ,b ?c ? 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2)

…15 分

所以 S?PBC ?

x 1 4 (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ?4 2 x0 ? 2 x0 ? 2

?2

4 ? 4 ?. 8

当 ( x0 ? 2)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 . 因此 S?PBC 的最小值为 8. 一[解法一] (Ⅰ)如答一图 1,由托勒密不等式,对平面上的任意点 P ,有 PA ? BC ? PC ? AB ? PB ? AC . 因此 f ( P) ? PA ? BC ? PC ? AB ? PD ? CA ? P B ? C A? P D ? C ?A ( PB ? PD) ? CA . 因为上面不等式当且仅当 P, A, B, C 顺次共圆时取等号,因此当 且仅当 P 在 ?ABC 的外接圆且在 AC 上时, …20 分

…10 分 f ( P) ? ( PB ? PD) ? CA . 又因 PB ? PD ? BD ,此不等式当且仅当 B, P, D 共线且 P 在 BD 上时取等号.因此当且仅 当 P 为 ?ABC 的外接圆与 BD 的交点时, f ( P ) 取最小值 f ( P)min ? AC ? BD . 故当 f ( P ) 达最小值时, P, A, B, C 四点共圆. ( Ⅱ ) 记 ?E C B ? 2? , 由 正 弦 定 理 有 ? ? , 则 ?E C A …20 分

3 sin ?3 ?

AE sin 2? 3 ,从而 ? ? AB sin 3? 2 2s ?i ,即 n 2 3(3sin ? ? 4sin3 ? ) ? 4sin ? cos ? ,所以
…30

3 3 ? 4 3(1 ? cos2 ? ) ? 4cos ? ? 0 ,
整理得 4 3 cos2 ? ? 4cos? ? 3 ? 0, 分

3 1 或 cos ? ? ? (舍去) , 2 2 3 故 ? ? 30 , ?ACE ? 60 .
解得 cos ? ?

sin ?EAC ? 30 BC 由已知 , 有 sin(?EAC ? 30 ) ? ( 3 ?1)sin ?EAC ,即 ? 3 ?1 = EC sin ?EAC 3 1 2? 3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC ? ( 3 ? 1)sin ?EAC ,整理得 sin ?EAC ? cos?EAC , 2 2 2 2 1 故 tan ?EAC ? …40 分 ? 2 ? 3 ,可得 ?EAC ? 75 , 2? 3 从而 ?E ? 45 , ?DAC ? ?DCA ? ?E ? 45 , ?ADC 为等腰直角三角形.因 AC ? 2 ,则 CD ? 1 . 又 ?ABC 也 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 故 BC ? 2 , BD2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos135 ? 5 , BD ? 5 .
0

?

?

故 f (P)min ? BD ? AC ? 5 ? 2 ? 10 . …50 分 [解法二] (Ⅰ)如答一图 2,连接 BD 交 ?ABC 的外接圆 O 于 P 点(因为 D 在 O 外,故 0 . P0 在 BD 上) 过 A, C, D 分别作 P 的垂线,两两相交得 ?A1B1C1 ,易知 P 在 ?ACD 内,从而 0 A, P 0C, P 0D 0 在 ?A1B1C1 内 , 记 ?ABC 之 三 内 角 分 别 为 x,y,z , 则 ?APC ? 180? ? y ? z ? x , 又 因 0 , B1 A1 ? PC ,得 ?B1 ? y ,同理有 ?A1 ? x , ?C1 ? z , B1 C1 ? P 0A 0 所以 ?A1B1C1 ∽ ?ABC . …10 分 设 B1C1 ? ? BC , C1 A1 ? ?CA , A1B1 ? ? AB ,则对平 面上任意点 M ,有 ? f ( P0 ) ? ? ( P0 A ? BC ? P0 D ? CA ? PC 0 ? AB)

?P 0 A? B 1C1 ? P 0 D ? C1 A 1 ? PC 0 ?A 1B 1

? 2S?A1B1C1
? MA ? B1C1 ? MD ? C1 A1 ? MC ? A1B1 ? ? (MA ? BC ? MD ? CA ? MC ? AB) ? ? f (M ) , 从而 f ( P . 0 )? f ( M ) 由 M 点的任意性, 知P 点是使 f ( P ) 达最小值的点. 0

由点 P 在 O 上,故 P0 , A, B, C 四点共圆. 0 (Ⅱ)由(Ⅰ) , f ( P ) 的最小值 2 f ( P0 ) ? S?A1B1C1

…20 分

? ? 2? S?ABC ,
AE sin 2? 3 ,从而 3sin3? ? 2sin 2? , ? ? AB sin 3? 2

记 ?ECB ? ? ,则 ?ECA ? 2? ,由正弦定理有 即 3(3sin ? ? 4sin3 ? ) ? 4sin ? cos ? ,所以

3 3 ? 4 3(1 ? cos2 ? ) ? 4cos ? ? 0 ,
整理得 4 3 cos2 ? ? 4cos ? ? 3 ? 0 , …30 分

3 1 或 cos ? ? ? (舍去) , 2 2 3 故 ? ? 30 , ?ACE ? 60 .
解得 cos ? ?

sin ?EAC ? 30 BC 由已知 , 有 sin(?EAC ? 30 ) ? ( 3 ?1)sin ?EAC , 即 ? 3 ?1 = EC sin ?EAC 3 1 2? 3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC ? ( 3 ? 1)sin ?EAC ,整理得 sin ?EAC ? cos?EAC , 2 2 2 2 1 故 tan ?EAC ? …40 分 ? 2 ? 3 ,可得 ?EAC ? 75 , 2? 3 所以 ?E ? 45? , ?ABC 为等腰直角三角形, AC ? 2 , S?ABC ? 1,因为 ?AB1C ? 45? , B1 点
0

?

?

在 O 上, ?AB1B ? 90? ,所以 B1BDC1 为矩形, B1C1 ? BD ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos135? ? 5 , 故 ? ? 5 ,所以 f ( P)min ? 2 ? 5 ?1 ? 10 . 2 2 [解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用 A, B, C 等代表 A, B, C 所对应的复数. 由三角形不等式,对于复数 z1 , z2 ,有 …50 分

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,
当且仅当 z1 与 z2 (复向量)同向时取等号. 有 所以

P A? B C?

PC ? AB ?

P? A B ?C

P ?, C AB
(1)

( A ? P) (C? B) ? (C? P) ( B ? A)

? ( A ? P) (C ? B) ? (C ? P) (B? A)
? ? P ?C ?A ?B ?C ?B ?P ?A
, ? ( B ? P) (C ? A) ? P B ? A C 从而

P A? B C?

PC ?

AB ? AC

P ?D

CA

? P B ? A C ? P D? ? ( PB ? PD ) ? AC ? BD ? AC .

(2)

…10 分

(1)式取等号的条件是

复数 ( A ? P)(C ? B) 与 (C ? P)( B ? A) 同向,故存在实数 ? ? 0 ,使得 ( A ? P)(C ? B) ? ? (C ? P)( B ? A) , A? P B ? A , ?? C? P C ? B A? P B ? A 所以 a r g ( ? ) arg( , ) C? P C ? B 向量 PC 旋转到 PA 所成的角等于 BC 旋转到 AB 所成的角, 从而 P, A, B, C 四点共圆. (2)式取等号的条件显然为 B, P, D 共线且 P 在 BD 上. 故当 f ( P ) 达最小值时 P 点在 ?ABC 之外接圆上, P, A, B, C 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( P)min ? BD ? AC . 以下同解法一. 二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x) 的周期且 0 ? T ? 1 .证明: (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

…20 分

1 是 f ( x) 的周期; p

( Ⅱ ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 {an } 满 足 1 ? an ? an?1 ? 0

(n ? 1 , 2? ,? ? )且每个 an ,

(n ? 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.
n 且 (m, n) ? 1 ,从而存在整数 a , b , m

[证] (Ⅰ)若 T 是有理数,则存在正整数 m, n 使得 T ? 使得
m a? n b ? 1.

于是

1 ma ? nb ? ? a ? bT ? a ?1 ? b ? T m m 是 f ( x ) 的周期.
又因 0 ? T ? 1 ,从而 m ? 2 .设 p 是 m 的素因子,则 m ? pm? , m? ? N ,从而 1 1 ? m? ? p m 是 f ( x ) 的周期. (Ⅱ)若 T 是无理数,令 ?1? a1 ? 1 ? ? ? T , ?T ? 则 0 ? a1 ? 1,且 a1 是无理数,令
?

…10 分

…20 分

?1? a2 ? 1 ? ? ? a1 , ? a1 ? …… ?1? an?1 ? 1 ? ? ? an , ? an ? …….

…30 分

由数学归纳法易知 an 均为无理数且 0 ? an ? 1 . 又 即 an ?1 ? 1 ? ?

?1? 1 ?1? ? ? ? ? 1, 故 1 ? an ? ? ? an , an ? an ? ? an ?
…40 分

?1? ? an ? an .因此 {an } 是递减数列. ? an ?

1 最后证: 每个 an 是 f ( x ) 的周期. 事实上, 因 1 和 T 是 f ( x ) 的周期, 故 a1 ? 1 ? ? ? T 亦 ? T ? ? ? ?1? 是 f ( x ) 的周期.假设 ak 是 f ( x ) 的周期,则 ak ?1 ? 1 ? ? ? ak 也是 f ( x ) 的周期.由数学归 ? ak ? 纳法,已证得 an 均是 f ( x ) 的周期. …50 分
三、 (本题满分 50 分) 设 ak ? 0 ,k ? 1, 2, 证明: 当且仅当 ? ak ? 1 时, 存在数列 {xn } 满足以下条件: , 2008 .
k ?1 2008

(ⅰ) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3, (ⅱ) lim xn 存在;
n ??



(ⅲ) xn ? xn ?1 ? ? ak xn ? k ? ? ak ?1 xn? k , n ? 1, 2,3,
k ?1 k ?0 2008 k ?1

2008

2007



[证] 必要性:假设存在 {xn } 满足(ⅰ) , (ⅱ) , (iii) .注意到(ⅲ)中式子可化为
* xn ? xn ?1 ? ? ak ( xn ? k ? xn ? k ?1 ) , n ? N ,

其中 x0 ? 0 . 将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x0 ? 0 得

xn ? a1 ( xn?1 ? x1 ) ? a2 ( xn?2 ? x2 ) ? ? a2008 ( xn?2008 ? x2008 ) . 由(ⅱ)可设 b ? lim xn ,将上式取极限得
n ??

…10 分

b ? a1 (b ? x1 ) ? a2 (b ? x2 ) ?
? b ? ? ak ? (a1 x1 ? a2 x2 ?
k ?1 2008

? a2008 (b ? x2008 )
? a2008 x2008 )

? b ? ? ak ,
k ?1

2008

因此 ? ak ? 1 .
k ?1

2008

…20 分
2008 k ?1

充分性:假设 ? ak ? 1 .定义多项式函数如下:

f ( s) ? ?1 ? ? ak s k , s ?[0,1] ,
k ?1

2008

则 f ( s ) 在[0,1]上是递增函数,且

f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? ?1 ? ? ak ? 0 .
k ?1

2008

因此方程 f ( s) ? 0 在[0,1]内有唯一的根 s ? s0 ,且 0 ? s0 ? 1,即 f (s0 ) ? 0 .

…30 分

k 下取数列 {xn } 为 xn ? ? s0 , n ? 1, 2, k ?1

n

,则明显地 {xn } 满足题设条件(ⅰ) ,且

k xn ? ? s0 ? k ?1

n

n ?1 s0 ? s0 . 1 ? s0

s ?s s n ?1 因 0 ? s0 ? 1,故 lim s0 ? 0 ,因此 lim xn ? lim 0 0 ? 0 ,即 {xn } 的极限存在,满 n ?? n ?? n ?? 1 ? s 1 ? s0 0 足(ⅱ) . …40 分
k 最后验证 {xn } 满足(ⅲ) ,因 f (s0 ) ? 0 ,即 ? ak s0 ? 1 ,从而 n k n n?k xn ? xn?1 ? s0 ? ( ? ak s0 )s0 ? ? ak s0 ? ? ak ( xn? k ? xn? k ?1 ) . k ?1 k ?1 k ?1 2008 2008 k ?1 2008 2008

n ?1

综上,存在数列 {xn } 满足(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) .

…50 分


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