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高中数学北师大版必修五学业分层测评:第一章 数列 10 Word版含解析


学业分层测评(十)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.某工厂 2015 年底制定生产计划,要使工厂的年产值到 2025 年在原有基 础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( 1 A.410-1 1 C.310-1 【解析】 )

1 B.510-1 1 D.411-1 设生产计划为 a,(a>0),设年平均增长率为 x,

则到 2025 年底的总产值为 a(1+x)10, 1 由题意可得 a(1+x)10=4a,解之得 x=410-1. 【答案】 A

2.(2016· 蚌埠高二检测)某林厂年初有森林木材存量 S 立方米,木材以每年 25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量 x 立方米,为实现经过两次砍 伐后的木材的存量增加 50%,则 x 的值是( S A.32 S C.36 【解析】 S B.34 S D.38 一次砍伐后木材的存量为 S(1+25%)-x;二次砍伐后木材存量 )

25 5 S 为[S(1+25%)-x](1+25%)-x=16S-4x-x=S(1+50%),解得 x=36. 【答案】 C

3.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 r,从今年年末开始偿还一定 金额,预计 n 年还清,则每年应偿还( ar?1+r? A. 万元 ?1+r?n-1 ar?1+r?n C. 万元 ?1+r?n-1-1 ) ar?1+r?n B. 万元 ?1+r?n-1 D. ar 万元 ?1+r?n

【解析】

设每年应偿还 x 万元,则

x[(1+r)n-1+(1+r)n-2+?+1]=a(1+r)n, 1-?1+r?n x· =a(1+r)n, 1-?1+r? x= ar?1+r?n 万元. ?1+r?n-1 B

【答案】

4.某储蓄所计划从 2013 年起,每年储蓄量比前一年增长 8%,则 2016 年的 储蓄量比 2013 年的储蓄量增长的百分比约为( A.24% C.26% B.32% D.36% )

【解析】 设 2013 年的储蓄量为 a,则 2016 年的储蓄量 b=a(1+8%)3,所 b-a 以增长率 p= a ×100%=(1.083-1)×100%≈26%. 【答案】 C

5.(2016· 南昌高二检测)某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其 中甲商品因供不应求,连续两次提价 10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得 连续两次降价 10%, 最后甲、 乙两种电脑均以 9 801 元售出. 若商场同时售出甲、 乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是( A.少赚 598 元 C.多赚 980.1 元 【解析】 B.前后相同 D.多赚 490.05 元 )

设甲、乙两种电脑的原价分别为 m,n,则 m(1+10%)2=9 801

9 801 9 801 ? m = 1.21 , n(1 - 10%)2 = 9 801 ? n = 0.81 , (m + n) - 2×9 801 = 9 801× 2.02 -19 602=20 200-19 602=598.故选 A. 1.21×0.81 A

【答案】 二、填空题

6.一条信息,若一人得知后,一小时内将信息传给两人,这两人又在一小 时内传给未知信息的另外两人.如此下去,要传遍 55 人的班级所需时间大约为 ________小时.

【解析】

由题意,第 n 小时内有 2n 人得知消息,此时得知消息的总人数

为 1+2+22+?+2n=2n+1-1≥55,即 2n+1≥56,所以 n+1≥6,所以 n≥5. 【答案】 5

7.(2016· 上饶高二检测)一个工厂的生产总值月平均增长率是 p,那么年平 均增长率为________. 【解析】 一年 12 个月, 故 1 月至 12 月产值构成公比为 1+p 的等比数列, a?1+p?12-a 设去年年底产值为 a, ∴a12=a(1+p) , ∴年平均增长率为 =(1+p)12 a
12

-1. 【答案】 (1+p)12-1

8.今年,某公司投入资金 500 万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年 投入资金比上一年增加 30%,那么 7 年后该公司共投入资金________万元. 【解析】 设第 n 年投入的资金为 an 万元,

an+1 则 an+1=an+an×30%=1.3an,则 a =1.3, n 所以数列{an}是首项为 500,公比为 1.3 的等比数列, a1?1-q7? 500×?1-1.37? 5 000 所以 7 年后该公司共投入资金 S7= = = 3 (1.37- 1-q 1-1.3 1)(万元). 【答案】 三、解答题 9.用分期付款的方式购买价格为 25 万元的住房一套,如果购买时先付 5 万元,以后每年付 2 万元加上欠款利息.签订购房合同后 1 年付款一次,再过 1 年又付款一次,直到还完为止,商定年利率为 10%,则第 5 年该付多少元?购房 款全部付清后实际共付多少元? 【导学号:67940027】 【解】 购买时先付 5 万元,余款 20 万元按题意分 10 次分期还清,每次付 款数组成数列{an},则 a1=2+(25-5)· 10%=4(万元);a2=2+(25-5-2)· 10% =3.8(万元);a3=2+(25-5-2×2)· 10%=3.6(万元),?,an=2+[25-5-(n- n-1? ? ?(万元)(n=1,2,?,10).因而数列{an}是首项为 4,公差为 1)· 2]· 10%=?4- 5 ? ? 5 000 7 3 (1.3 -1)

1 -5的等差数列. 5-1 a5=4- 5 =3.2(万元). ? 1? 10×?10-1?×?-5? ? ? S10=10×4+ =31(万元). 2 因此第 5 年该付 3.2 万元,购房款全部付清后实际共付 36 万元. 10.家用电器一件,现价 2 000 元,实行分期付款,每期付款数相同,每期 为一月,购买后一个月付款一次,每月付款一次,共付 12 次,购买后一年还清, 月利率为 0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少?(1.00812=1.1). 【解】 设每期应付款 x 元.

第 1 期付款与到最后一次付款所生利息之和为 x(1+0.008)11(元). 第 2 期付款与到最后一次付款所生利息之和为 x(1+0.008)10(元),? 第 12 期付款没有利息. 1.00812-1 所以各期付款连同利息之和为 x(1+1.008+?+1.008 )= x, 1.008-1
11

又所购电器的现价及其利息之和为 2 000×1.00812, 1.00812-1 于是有 x=2 000×1.00812, 1.008-1 16×1.00812 解得 x= =176(元). 1.00812-1 即每期应付款 176 元. [能力提升] 1.一群羊中,每只羊的质量数均为整千克数,其总质量为 65 千克,已知最 轻的一只羊质量为 7 千克,除去一只 10 千克的羊外,其余各只羊的千克数恰能 构成一等差数列,则这群羊共有( A.6 只 C.8 只 【解析】 ) B.5 只 D.7 只 依题意除去一只羊外,其余 n-1 只羊的质量从小到大依次排列

构成等差数列,设 a1=7,d>0,Sn-1=65-10=55, 所以有(n-1)a1+ ?n-1??n-2? · d=55, 2

即 7(n-1)+

?n-1??n-2? d=55, 2

?n-2? ? ? ?=55. 所以(n-1)?7+ 2 d? ? ?n-2? ? ? ?为正整数, 因为 55=11×5 且(n-1)为正整数,?7+ 2 d? ? ?n-1=5, ? 所以? n-2 7+ 2 · d=11, ? ? 【答案】 A

解得 n=6.

2.(2016· 西安高二检测)根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始 n 的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足 Sn=90(21n-n2-5)(n=1,2,?, 12).按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( A.5 月、6 月 C.7 月、8 月 【解析】 B.6 月、7 月 D.8 月、9 月 )

∵n 个月累积的需求量为 Sn,∴第 n 个月的需求量为

n-1 n 1 an=Sn-Sn-1=90(21n-n2-5)- 90 [21(n-1)-(n-1)2-5]=30(-n2+15n -9). 1 an>1.5,即满足条件,∴30(-n2+15n-9)>1.5, 6<n<9(n=1,2,3,?,12), 所以 n=7 或 8. 【答案】 C

3. (2016· 宝鸡高二检测)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格, 即根据商品的最低销售限价 a,最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1),确定 实际销售价格 c=a+x(b-a).这里,x 被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系 数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得,最佳乐观系数 x 的 值等于________. 【解析】 由已知,有(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,即(c-a)2=(b- c)(b-a),把 c=a+x(b-a)代入上式,得 x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a),即

x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2,∵b>a,b-a≠0,∴x2=1-x, 即 x2+x-1=0,解得 x= -1+ 5 等于 . 2 【答案】 -1+ 5 2 -1± 5 2 ,因为 0<x<1,所以最佳乐观系数 x 的值

4.某企业投资 1 000 万元用于一个高科技项目,每年可获利 25%,由于企 业间竞争激烈, 每年年底需要从利润中取出资金 200 万元进行科研、技术改造与 广告投入方能保持原有的利润增长率,问经过多少年后,该项目的资金可以达到 或超过翻两番(4 倍)的目标?(取 lg 2=0.3) 【解】 设该项目逐年的项目资金数依次为

a1,a2,a3,?,an. 则由已知 an+1=an(1+25%)-200(n∈N+), 5 即 an+1=4an-200. 5 5 x 令 an+1-x=4(an-x),即 an+1=4an-4, x 由4=200,∴x=800. 5 ∴an+1-800=4(an-800)(n∈N+) 5 故数列{an-800}是以 a1-800 为首项,4为公比的等比数列. ∵a1=1 000(1+25%)-200=1 050, ?5? ∴a1-800=250,∴an-800=250?4?n-1, ? ? ?5? ∴an=800+250?4?n-1(n∈N+). ? ? ?5? ?5? 由题意 an≥4 000,∴800+250?4?n-1≥4 000,即?4?n≥16. ? ? ? ? 5 两边取常用对数得 nlg4≥lg 16,即 n(1-3lg 2)≥4lg 2. ∵lg 2=0.3,∴0.1n≥1.2,∴n≥12. 即经过 12 年后,该项目资金可以达到或超过翻两番的目标.


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