当前位置:首页 >> 数学 >>

等差数列及其前n项和练习题


第1讲
一、填空题

等差数列及其前 n 项和

1.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=________.[来源 解析 答案 a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=74. 74

S4 S3 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若12 - 9 =1,则公差为___

_____. 解析 有 4×3 3×2 依题意得 S4=4a1+ d=4a1+6d, S3=3a1+ d=3a1+3d,于是 2 2

4a1+6d 3a1+3d 12 - 9 =1,由此解得 d=6,即公差为 6.[来源:学,科,网] 6

答案

3.在等差数列{an}中,a1>0,S4=S9,则 Sn 取最大值时,n=________. 解析 因为 a1>0,S4=S9,所以 a5+a6+a7+a8+a9=0,所以 a7=0,所以

?a6>0, ? 从而当 n=6 或 7 时 Sn 取最大值. ?a8<0, 答案 6或7

4.在等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则 S9=________. 解析 ∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,∴3a4=39,3a6=27,∴a4=13,

a6=9.∴a6-a4=2d=9-13=-4,∴d=-2, 9?a1+a9? ∴a5=a4+d=13-2=11,∴S9= =9a5=99. 2 答案 99

5.设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12 +a13=________. 解析 ?a1+a3=10, 由 15=a1+a2+a3=3a2,得 a2=5.所以? 又公差 d>0, ?a1a3=16.

?a1=2, 所以? 所以 d=3.所以 a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=3(2+33)= ?a3=8. 3×35=105.

答案

105

6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2+pn,a7=11.若 ak+ak+1>12,则正整数 k 的最小值为________. 解析 因为 a7=S7-S6=2×72+7p-2×62-6p=26+p=11, 所以 p=-15,

Sn=2n2-15n,an=Sn-Sn-1=4n-17(n≥2),当 n=1 时也满足.于是由 ak 21 +ak+1=8k-30>12,得 k> 4 >5.又 k∈N*,所以 k≥6,即 kmin=6. 答案 6

? ?an+λ? ? 7. 已知数列{an}满足递推关系式 an+1=2an+2n-1(n∈N*), 且? n ?为等差数列, 2 ? ? ? ?

则 λ 的值是________. 解析 an+1 an 1 an+1+λ an+λ an+1 1 由 an+1=2an+2n-1, 可得 n+1=2n+2- n+1, 则 n+1 - 2n = n+1 2 2 2 2

?an-1? ? ? an λ 1 1 λ 1 λ+1 -2n- n+1=2- n+1- n+1=2- n+1 ,当 λ 的值是-1 时,数列? n ?是公 2 2 2 2 ? 2 ? ? ?

1 差为2的等差数列. 答案 -1

8.已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则 k=________. 解析 a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1, k?k-1? 2 2 ×2=k = 9.

Sk=k+

又 k∈N*,故 k= 3. 答案 3

10.已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(x· y) =xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足 an=f(2n)(n∈N*),且 a1=2.则数列的通项公 式 an=________. 解析
?an? an+1 an 由 an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf(2)=2an+2n+1, 得 n+1=2n+1, 所以?2n?是 2 ? ?

an 首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以2n=n,an=n· 2n . 答案 n· 2n

二、解答题 11.已知等差数列{an}的前三项为 a-1,4,2a,记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk=2 550,求 a 和 k 的值; Sn (2)设 bn= n ,求 b3+b7+b11+…+b4n-1 的值. 解 (1)由已知得 a1=a-1,a2=4,a3=2a,

又 a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,即 a=3. ∴a1=2,公差 d=a2-a1=2. k?k-1? 由 Sk=ka1+ 2 d,得 2k+ k?k-1? 2 ×2=2 550,

即 k2+k-2 550=0, 解得 k=50 或 k=-51(舍去). ∴a=3,k=50. n?n-1? (2)由 Sn=na1+ 2 d 得 n?n-1? Sn=2n+ 2 ×2=n2+n. Sn ∴bn= n =n+1,∴{bn}是等差数列, 则 b3+b7+b11+…+b4n-1 =(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1) = ?4+4n?n . 2

∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n. 12.已知数列{an}的通项公式为 an=2n,若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项 和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 解 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32.

?b1+2d=8, 设{bn}的公差为 d,则有? ?b1+4d=32.

?b1=-16. 解得? ?d=12. 从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28. 所以数列{bn}的前 n 项和 n?-16+12n-28? Sn= =6n2-22n. 2 13.在等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2· a3=45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= Sn (n∈N*), 是否存在一个非零常数 c, 使数列{bn}也为等差数列? n+c

若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由题设,知{an}是等差数列,且公差 d>0,

?a2a3=45, ??a1+d??a1+2d?=45, 则由? 得? ?a1+a5=18, ?a1+?a1+4d?=18. ?a1=1, 解得? ∴an=4n-3(n∈N*). ?d=4. n?1+4n-3? 1? ? 2n?n-2? 2 ? ? Sn (2)由 bn= = = , n+c n+c n+c 1 ∵c≠0,∴可令 c=-2,得到 bn=2n. ∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*), ∴数列{bn}是公差为 2 的等差数列. 1 即存在一个非零常数 c=-2,使数列{bn}也为等差数列.

第2讲
一、填空题

等比数列及其前 n 项和

2 1.设数列{a2 n}前 n 项和为 Sn,a1=t,a2=t ,Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,则{an}

是________数列,通项 an=________. 解析 由 Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,得 Sn+2-Sn+1=t(Sn+1-Sn),所以 an+2=

an+2 a2 tan+1,所以 =t,又a =t, an+1 1 所以{an}成等比数列,且 an=t· tn-1=tn. 答案 等比 tn
3

S6 2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,8a2+a5=0,则S =________. 解 ∵8a2+a5=8a1q+a1q4=a1q(8+q3)=0

∴q=-2 S6 1-q ∴ = =1+q3=-7. S3 1-q3 答案 -7
6

3.数列{an}为正项等比数列,若 a2=2,且 an+an+1=6an-1(n∈N,n≥2),则此 数列的前 4 项和 S4=________. 解析 由 a1q=2,a1qn-1+a1qn=6a1qn-2,得 qn-1+qn=6qn-2,所以 q2+q=

6.又 q>0,所以 q=2,a1=1. a1?1-q4? 1-24 所以 S4= = =15. 1-q 1-2 答案 15

1 4.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t· 5n-2-5,则实数 t 的值为________. 解析 1 1 4 ∵a1=S1=5t-5,a2=S2-S1=5t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数

?4 ? ?1 1? 列知?5t?2=?5t-5?×4t,显然 t≠0,所以 t=5. ? ? ? ? 答案 5

5. 已知各项都为正数的等比数列{an}中, a2· a4=4, a1+a2+a3=14, 则满足 an· an
+1

1 · an+2≥8的最大正整数 n 的值为________. 由等比数列的性质,得 4=a2· a4=a2 3(a3>0),所以 a3=2,所以 a1+a2

解析

2 ?a1q =2, =14-a3=12,于是由? ?a1(1+q)=12,

a =8, ? ? 1 解得? 1 q=2, ? ?

?1?n-1 ?1?n-4 ?2? =?2? . 所以 an=8· ? ? ? ?

?1?3(n-3) ?1?n-3 1 3 于是由 an· an+1· an+2=an =?8? ≥8,得 n-3≤1,即 n≤4. +1=? ? ?2? ? ? 答案 4

6. 在等比数列 {an}中, an>0, 若 a1· a2· …· a7· a8=16, 则 a4+a5 的最小值为________. 解析 由已知 a1a2· …· a7a8=(a4a5)4=16,所以 a4a5=2,又 a4+a5≥2 a4a5=

2 2(当且仅当 a4=a5= 2时取等号).所以 a4+a5 的最小值为 2 2. 答案 2 2
10

a13 7.已知递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3· a7=2,则a =________. 解析 ∵{an}是递增的等比数列,∴a3a7=a2a8=2,

又∵a2+a8=3, ∴a2,a8 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 a2=1,a8=2, a8 a13 ∴q6= a =2,∴q3= 2,∴a =q3= 2.
2 10

答案

2

8.设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4, a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值为________. 解析 由题意知 a3=q, a5=q2, a7=q3 且 q≥1, a4=a2+1, a6=a2+2 且 a2≥1,

3 3 那么有 q2≥2 且 q3≥3.故 q≥ 3,即 q 的最小值为 3. 答案 3 3

二、解答题 11.在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29. (1)求数列{an}的通项公式;[来源:Zxxk.Com] (2)设数列{an+bn}是首项为 1,公比为 c 的等比数列,求{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)设等差数列{an}的公差是 d.

依题意 a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而 d=-3. 由 a2+a7=2a1+7d=-23,解得 a1=-1.

所以数列{an}的 通项公式为 an=-3n+2. (2)由数列{an+bn}是首项为 1,公比为 c 的等比数列,[来源 得 an+bn=cn-1,即-3n+2+bn=cn-1, 所以 bn=3n-2+cn-1. 所以 Sn=[1+4+ 7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+cn-1) = n?3n-1? +(1+c+c2+…+cn-1). 2 n?3n-1? 3n2+n + n = 2 2 .

从而当 c=1 时,Sn=

n?3n-1? 1-cn 当 c≠1 时,Sn= + .[来源:Z*xx*k.Com] 2 1-c 12.设各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S4=1,S8=17. (1)求数列{an}的通项公式; 2 011 ( 2)是否存在最小的正整数 m,使得 n≥m 时,an> 15 恒成立?若存在,求 出 m;若不存在,请说明理由. 解 a1?q4-1? (1)设{an}的公比为 q,由 S4=1,S8=17 知 q≠1,所以得 =1, q-1

a1?q8-1? =17. q-1 q8-1 相除得 4 =17,解得 q4=16.所以 q=2 或 q=-2(舍去). q -1 2n-1 1 由 q=2 可得 a1=15,所以 an= 15 . 2n-1 2 011 (2)由 an= 15 > 15 ,得 2n-1>2 011,而 210<2 011<211,所以 n-1≥11, 即 n≥12. 2 011 因此,存在最小的正整数 m=12,使得 n≥m 时,an> 15 恒成立. 13.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2· a4=65,a1+a5 =18. (1)求数列{an}的通项公式 an. (2)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值;

(3)是否存在常数 k,使得数列{ Sn+kn}为等差数列?若存在,求出常数 k; 若不存在,请说明理由. 解 (1)因为 a1+a5=a2+a4=18,又 a2· a4=65,

所以 a2,a4 是方程 x2-18x+65=0 的两个根. 又公差 d>0,所以 a2<a4.所以 a2=5,a4=13. ?a1+d=5, 所以? 解得 a1=1,d=4.所以 an=4n-3. ?a1+3d=13, (2)由 1<i<21, a1, ai, a21 是某等比数列的连续三项, 所以 a1· a21=a2 即 1· 81 i, =(4i-3)2,解得 i=3. (3)由(1)知,Sn=n· 1+ n?n-1? 4=2n2-n. 2 ·

假设存在常数 k,使数列{ Sn+kn}为等差数列, 由等差数列通项公式,可设 Sn+kn=an+b, 得 2n2+(k-1)n=an2+2abn+b 恒成立,可得 a=2,b=0,k=1.所以存在 k =1 使得{ Sn+kn}为等差数列.

第3讲
一、填空题

等差数列、等比数列与数列求和

1.设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的 前 n 项和 Sn=________. 解析 由题意设等差数列公差为 d, 则 a1=2, a3=2+2d, a6=2+5d.又∵a1,

2 a3,a6 成等比数列,∴a3 =a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),整理得 2d2-d=0.

n?n-1? 1 n2 7 ∵d≠0,∴d=2,∴Sn=na1+ 2 d= 4 +4n. 答案 n2 7 4 +4n 1 n+ n+1 , 若前 n 项的和为 10, 则项数为________.

2. 数列{an}的通项公式 an= 解析 答案 ∵an= 120 1 n+ n+1

= n+1- n,∴Sn= n+1-1=10,∴n=120.

? 1 ? ? ? 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 100 ? ? n n+1? ?

项和为________. 解析 ∴d= 5?a1+a5? ∵a5=5,S5=15,∴ =15,即 a1=1. 2
? 1 ? ? a5-a1 ? 1 1 1 1 =1,∴an=n.∴ = =n- .设数列?a a ?的前 n 5-1 anan+1 n?n+1? n+1 ? ? n n+1? ?

项和为 Tn. 1? ?1 1? 1 ? 1 100 ? ? 1 ∴T100=?1-2?+?2-3?+…+?100-101?=1-101=101. ? ? ? ? ? ? 答案 100 101

4.已知数列{an},{bn}都是等差数列,a1=5,b1=7,且 a20+b20=60.则{an+bn} 的前 20 项的和为________. 解析 由题意知{an+bn}也为等差数列,所以{an+bn}的前 20 项和为:S20=

20?a1+b1+a20+b20? 20×?5+7+60? = =720. 2 2 答案 720

2 2 5.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a2+…+an=________.

解析

当 n=1 时,a1=S1=1,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,
2 又∵a1=1 适合上式.∴an=2n-1,∴an =4n-1. 2 ∴数列{a2 n}是以 a1=1 为首项,以 4 为公比的等比数列.

?1-4 2 2 1· ∴a2 1+a2+…+an= 1-4 答案 1 n 3(4 -1)

n

? 1 n =3(4 -1).

1? ? a1 2 ? ?3 ?a b? ? ?=ad-bc,若数列{an}满足? ? 6.定义运算:? = 1 且 ? ?c d ? ?an ?2 1? ∈N*),则 a3=________,数列{an}的通项公式为 an=________. 解析

3 ? ?=12(n an+1?

由题意得 a1-1=1,3an+1-3an=12 即 a1=2,an+1-an=4.

∴{an}是以 2 为首项,4 为公差的等差数列 ,

∴an=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10. 答案 10 4n-2

1 7.在等比数列{an}中,a1=2,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2|+…+|an| =________. 解析 a4 1 ∵a =q3=-8,∴q=-2.∴an=2· (-2)n-1,
1

1 n 2?1-2 ? n-1 1 n-2 ∴|an|=2 ,∴|a1|+|a2|+…+|an|= =2 -2. 1-2 答案 -2 1 2n-1-2

8.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S11=35+S6,则 S17 的值为________. 解析 因 S11=35+S6,得 11a1+ 11×10 6×5 d = 35 + 6 a 1+ 2 2 d,即 a1+8d=7,

17×16 所以 S17=17a1+ 2 d=17(a1+8d)=17×7=119. 答案 119

9.等差数列{an}的公差不为零,a4=7,a1,a2,a5 成等比数列,数列{Tn}满足 条件 Tn=a2+a4+a8+…+a2n,则 Tn=________. 解析 设{an}的公差为 d≠0,由 a1,a2,a5 成等比数列,得

2 a2 2=a1a5,即(7-2d) =(7-3d)(7+d)

所以 d=2 或 d=0(舍去). 所以 an=7+(n-4)×2=2n-1.又 a2n=2· 2n-1=2n+1-1, 故 Tn=(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n+1-1) =(22+23+…+2n+1)-n=2n+2-n-4. 答案 2n 2-n-4


2n 10.数列{an}的通项公式 an= 2 -1,如果 bn= ,那么{bn}的前 n 项和 an+an+1
n

为________. 解析 2n 2n bn= = n = 2n+1-1- 2n-1, +1 n an+an+1 2 -1+ 2 -1

所以 b1+b2+…+bn= 22-1- 2-1+ 23-1- 22-1+…+ 2n+1-1-

2n-1= 2n+1-1-1. 答案 二、解答题 11.已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0. (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前 n 项和公式. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d. 2n+1-1-1

因为 a3=-6,a6=0, ?a1+2d=-6, 所以? 解得 a1=-10,d=2. ?a1+5d=0. 所以 an=-10+(n-1)· 2=2n-12. (2)设等比数列{bn}的公比为 q. 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,即 q=3. b1?1-qn? 所以{bn}的前 n 项和公式为 Sn= =4(1-3n). 1-q 13. 记公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2+ 2,S3=12+ 3 2. (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn. (2)已知等比数列{bnk},bn+ 2=an,n1=1,n2=3,求 nk. (3)问数列{an}中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由. 解 (1)因为 a1=2+ 2,S3=3a1+3d=12+3 2,

所以 d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=2n+ 2, n?a1+an? 2 Sn= =n +( 2+1)n. 2 (2)因为 bn=an- 2=2n, 所以 bnk=2nk. b3 又因为数列{bnk}的首项 bn1=b1=2,公比 q=b =3,
1

所以 bnk=2· 3k-1. 所以 2nk=2· 3k-1,则 nk=3k-1. (3)假设存在三项 ar,as,at 成等比数列,则 a2 at,[来源:学。科。网] s =ar· 即有(2s+ 2)2=(2r+ 2)(2t+ 2), 整理得(rt-s2) 2=2s-r-t. 若 rt-s2≠0,则 2= 因为 r,s,t∈N*, 所以 2s-r-t 是有理数,这与 2为无理数矛盾; rt-s2 2s-r-t , rt-s2

若 rt-s2=0,则 2s-r-t=0, 从而可得 r=s=t,这与 r<s<t 矛盾.

综上可知,不存在满足题意的三项 ar,as,at.


相关文章:
等差数列及其前n项和 经典习题
等差数列及其前n项和 经典习题_数学_高中教育_教育专区。经典习题中 国 品 牌 家 教 第 28 讲一、基本概念 1.等差数列的定义 等差数列及其前 n 项和 如果...
等差数列及其前n项和练习题
等差数列及其前n项和练习题_数学_高中教育_教育专区。第1讲一、填空题 等差数列及其前 n 项和 1.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=___.[来...
等差数列前n项和基础练习题
等差数列前n项和基础练习题_数学_高中教育_教育专区。1.等差数列的定义式: an ? an?1 2.等差数列通项公式: 等差数列性质总结 ( n ? 2) ; ? d (d为常...
等差数列及其前n项和习题与答案
等差数列及其前n项和习题与答案_数学_高中教育_教育专区。第六章 第二节 1.{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S20-2S10 等于...
等差数列及前n项和练习题20121218整理
5n ? 3 ,则该数列的第 9 项之比为___ 2n ? 1 . . 15.设等差数列 16.两个等差数列,它们的前n项之比为 三.计算题 17.已知等差数列{an}的前三...
2014等差数列的前n项和性质+练习
2014等差数列的前n项和性质+练习_高三数学_数学_高中教育_教育专区。教案1、等差数列{an}前 n 项和公式: S n = a 1 ? an n(n ? 1) n(n ? 1) n...
等差数列及其前n项和练习题
等差数列及其前 n 项和练习题一、选择题 1 1.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6=( 2 A.16 B.24 C.36 D.48 2.在等差数列...
等差数列及前n项和练习题20121218整理
等差数列及前n项和练习题20121218整理_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档等差数列及前n项和练习题20121218整理_数学_高中教育_教育专区。...
等差数列及前n项和练习题
5n ? 3 ,则该数列的第 9 项之比为___ 2n ? 1 . . 15.设等差数列 16.两个等差数列,它们的前n项之比为 三.计算题 17.已知等差数列{an}的前三...
高二数学试卷2.3 等差数列的前n项和练习题及答案解析
高二数学试卷2.3 等差数列的前n项和练习题及答案解析_公务员考试_资格考试/认证_教育专区。1.若一个等差数列首项为 0,公差为 2,则这个等差数列的前 20 项之...
更多相关标签: