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2015-2016学年高中数学 3.2导数的计算学案 新人教A版选修1-1


2015-2016 学年高中数学 3.2 导数的计算学案 新人教 A 版选修 1-1

?基础梳理 1.基本初等函数的导数公式. (1)若 f(x)=c,则 f′(x)=0; n * n-1 (2)若 f(x)=x (n∈Q ),则 f′(x)=nx ; (3)若 f(x)=sin x,则 f′(x)=cos_x; (4)若 f(x)=cos x,则 f′(x

)=-sin_x; x x (5)若 f(x)=a ,则 f′(x)=a ln_a(a>0 且 a≠1); x x (6)若 f(x)=e ,则 f′(x)=e ; 1 (7)若 f(x)=logax,则 f′(x)= (a>0,且 a≠1); xln a 1 (8)若 f(x)=ln x,则 f′(x)= .

x

2.导数运算法则. (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)?g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); ?f(x)?′=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)[g(x)≠0].,?自测自评 (3)? ? 2 [g(x)] ?g(x)? 1.下列各式中正确的是(C) A.(sin a)′=cos a(a 为常数) B.(cos x)′=sin x C.(sin x)′=cos x 1 -6 -5 D.(x )′=- x 5 2 2.函数 y=x 的导数是 2x. 1 1 3.已知函数 f(x)= ,则 f′(-3)等于- . x 9 1 解析:∵f′(x)=- 2,

x

1 1 ∴f′(-3)=- 2=- . (-3) 9

?π ? x 1.已知 f(x)=e cos x,则 f′? ?的值为(C) ?2? π π A.e B.-e π C.-e 2 D.以上均不对
2.曲线 y=

x 在 x=-2 处的切线方程为(B) x+1

A.x+y+4=0 B.x-y+4=0
1

C.x-y=0 D.x-y-4=0 解析:y′=? 1 ? x ?′= x+1-x = ? 2 2, x + 1 (x+1) (x+1) ? ?

1 2=1, (-2+1) -2 y= =2,故切点坐标为(-2,2). -2+1 切线方程为 x-y+4=0,故选 B. 3 2 3.已知物体的运动方程为 s=t + +1n t-1(t 是时间,s 是位移),则物体在时刻 t

k=

t

=3 时的速度为________. 3 1 解析:∵s′(t)=2t- 2+ ,∴s′(3)=6.

t

t

答案:6 cos x 4.已知函数 y= .

x

(1)求函数的导数; (2)求函数在 x=π 处的切线方程. ?cos x?′=(cos x)′?x-cosx?x′ 解析:(1)y′=? ? 2

? x ?

x



-xsin x-cos x . 2

x

-π sinπ -cos π 1 (2)y′|x=π = = 2, 2 π π cos π 1 又当 x=π 时,y= =- , π π 1 1 ∴切线方程为 y+ = 2(x-π ), π π 2 即 x-π y-2π =0. 2 5.(1)已知函数 f(x)=x (x-1),当 x=x0 时,有 f′(x0)=f(x0),求 x0; x ?1? (2)已知 f? ?= ,求 f(x)的导数 f′(x). ?x? 2-x+x2 解析:(1)直接求导后,代入已知,即可得方程,解方程得到 x0=0,或 x0=2± 2; (2) 先 用 换 元 法 求 出
2 2

f(x) =

x
2x -x+1
2

, 于 是 得 到 , f ′ (x) =

(x)′(2x -x+1)-x(2x -x+1)′ = 2 2 (2x -x+1) 2 1-2x 2 2. (2x -x+1)

1.函数 y= A. 1

1

x

的导数 y′=(D)

1 B.- 2x x 2 x

2

1 1 D.- 2x 2x x 3 2.曲线 y=x -2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为(B) A.30° B.45° C.60° D.120° 2 解析:本题主要考查了导数的几何意义及求导数,y′=3x -2,∴k=1,∴倾斜角为 45°. 3 2 3.曲线 y=x +3x +6x-10 的切线中,斜率最小的切线方程是(A) A.3x-y-11=0 B.3x-y-17=0 C.3x+y-17=0 D.3x+y-11=0 2 2 解析:求导得斜率为 k=y′=3x +6x+6=3(x+1) +3≥3,所以 kmin=3,相应地,x =-1,y=-14. 从而得切线方程是 3x-y-11=0. 3 4.曲线 y=x 在点(1,1)处切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为(B) 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 6 3 2 解析:本题主要考查导数的几何意义. 3 曲线 y=x 在点(1,1)处切线的斜率为: k=y′|x=1=3. 利用点斜式可求得切线方程为:3x-y-2=0. 1 1 1 结合图象,可知所求三角形面积为: ? ?1= . 2 3 6 2 5.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则(A) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 解析:∵y′=2x+a|x=0=a,∴a=1. (0,b)在切线 x-y+1=0,∴b=1. 2 3 6.已知点 P 在曲线 y=x -x+ 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 α ,则 α 的取值范 3 围是(D) ? π? ?π 3π ? A.?0, ? B.? , ? 2? 4 ? ? ?2 3 π ? ,π ? D.?0,π ?∪?3π ,π ? C.? ? ? ? ? ? 2? ? 4 ? 4 ? ? ? 2 2 解析:∵y′=3x -1≥-1.∴tan α =3x -1≥-1, ? π ? ? 3π ? ∴a∈?0, ?∪? ,π ?. 2 4 ? ? ? ? C. 7.已知函数 f(x)=?

? x,x>0, f′(1)f(0)=________. ?cosx,x≤0,
1 2 x ,

解析:当 x>0 时,f′(x)=

1 故 f′(1)f(0)= . 2 1 答案: 2 x 8.在同一平面直角坐标系中,已知函数 y=f(x)的图象与 y=e 的图象关于直线 y=x 对称,则函数 y=f(x)的解析式为__________;其对应的曲线在点(e,f(e))处的切线方程 为________. 1 1 解析:依题意知 f(x)=lnx,f′(x)= ,故所求的切线方程为:y= x. x e
3

1 答案:f(x)=ln x y= x e ?π ? ?π ? 9.已知函数 f(x)=f′? ?sin x+cos x,则 f? ?=________. ?2? ?4? π ? ? 解析:∵f′(x)=f′? ?cos x-sin x, ?2? π π π ? ? ? ? π ∴f′? ?=f′? ?cos -sin , 2 2 ?2? ?2? π ? ? 即 f′? ?=-1,∴f(x)=-sin x+cos x, ?2? π π ?π ? ∴f? ?=cos -sin =0. 4 4 ?4? 答案:0 10.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn(x)=f′n ?π ?+f ?π ?+…+f ?π ?=________. * -1(x)(n∈N ,n≥2),则 f1? ? 2? 2 ? 2 011? ? ?2? ? ? ?2? 解析:f2(x)=f′1(x)=cos x-sin x; f3(x)=f′2(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x; f4(x)=f′3(x)=(-sin x-cos x)′=-cos x+sin x; f5(x)=f′4(x)=(-cos x+sin x)′=sin x+cos x; 依次类推,可得出 fn(x)=fn+4(x), ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? 又∵f1? ?+f2? ?+f3? ?+f4? ?=0, ?2? ?2? ?2? ?2? π π ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? ∴f1? ?+f2? ?+…+f2 011? ?=f1? ?+f2? ?+f3? ?=f2? ?=-sin +cos = 2 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? -1. 答案:-1 1 11.在曲线 y= (x<0)上求一点 P,使 P 到直线 x+2y-4=0 的距离最小.

x

1 分析:把直线 x+2y-4=0 平行移动,当与曲线 y= (x<0)相切时,切点即为所求.

x

1 解析:由题意知,平行于直线 x+2y-4=0 与 y= (x<0)相切的切点即为所求.

x

1 设切点 P(x0,y0),由 y′=- 2,得

x

k=y′|x=x0=- 2, x0
1 又 x+2y-4=0 的斜率为- , 2 1 1 ∴- 2=- ,∴x0= 2,或 x0=- 2, x0 2 ∵x<0,∴x0=- 2,y0=- ∴P?- 2,- 1 2 =- 2 , 2

1

2? ?为所求. 2? 4 3 2 12.偶函数 f(x)=ax +bx +cx +dx+e 的图象过点 P(0,1),在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,求 f(x)的解析式. 解析:∵f(x)的图象过点 P(0,1),∴e=1. 4 3 2 4 3 2 又 f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即 ax +bx +cx +dx+e=ax -bx +cx -dx+e.
4

? ?

∴b=0,d=0. 4 2 ∴f(x)=ax +cx +1. ∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, ∴可得切点为(1,-1). ∴a+c+1=-1.① 3 ∵f′(x)=4ax +2cx,∴f′(1)=4a+2c. ∴4a+2c=1.② 5 9 由①②得 a= ,c=- . 2 2 5 4 9 2 ∴f(x)= x - x +1. 2 2 ?体验高考

b x -5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________. b b 7 2 解析:y=ax + 的导数为 y′=2ax- 2,直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . x x 2 b 4a+ =-5, 2 ?a=-1, ? 由题意得 解得? 则 a+b=-3. ?b=-2, b 7 ? 4a- =- ,
2

1. (2014?江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 若曲线 y=ax + (a, b 为常数)过点 P(2,

4 2 答案:-3 α 2.(2013?江西卷)若曲线 y=x +1(α ∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α =________. α -1 解析:因为 y′=α ?x ,所以在点(1,2)处的切线斜率 k=α ,则切线方程为 y-2 =α (x-1).又切线过原点,故 0-2=α (0-1),解得 α =2. 答案:2 3 2 3. 已知函数 f(x)=x +(1-a)x -a(a+2)x+b (a, b∈R). 若函数 f(x)的图象过原点, 且在原点处的切线斜率是-3,则 a=________,b=________. 解析:由函数 f(x)的图象过原点,得 b=0, 2 又 f′(x)=3x +2(1-a)x-a(a+2), f(x)在原点处的切线斜率是-3, 则-a(a+2)=-3, 所以 a=-3,或 a=1. 答案:-3 或 1 0 4.设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0=(B) 2 A.e B.e ln 2 C. D.ln 2 2 解析:∵f(x)=xln x, 1 ∴f′(x)=ln x+x? =ln x+1.

? ? ? ? ?

x

∴由 f′(x0)=2 得 ln x0+1=2, ∴x0=e,故选 B. 5.曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________________. 解析:∵y=x(3ln x+1), 3 ∴y′=3ln x+1+x? =3ln x+4,

x

∴k=y′|x=1=4,∴所求切线的方程为 y-1=4(x-1),即 y=4x-3. 答案:y=4x-3
5

1 6.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ +b(a>0).

ax

(1)求 f(x)的最小值; 3 (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 2 1 解析:(1)f(x)=ax+ +b≥2

ax

ax? +b=b+2,当且仅当 ax=1,即 ax

1

x= 时, a

1

f(x)的最小值为 b+2.
3 1 3 (2)由题意得:f(1)= ?a+ +b= ,① 2 a 2 1 1 3 f′(x)=a- 2? f′(1)=a- = ,② ax a 2 由①②得:a=2,b=-1.

6


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