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高一数学必修一第一次月考及答案


高一数学
考生注意:1.本卷分试卷部分和答题卷部分,考试结束只交答题卷; 2.所有答案必须写在答题卷指定位置上,写在其他地方一律无效。

一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分) 1. 下列命题正确的是 A.很小的实数可以构成集合。 B.集合 y | y ? x 2 ? 1 与集合 ?x, y ? | y ? x 2 ? 1 是同一个集合。 C.

自然数集 N 中最小的数是 1 。 D.空集是任何集合的子集。 2. 函数 f ( x) ? A. [? ,1]





?

?

?

?

3x 2 1? x

?

2 3x ? 1

的定义域是





1 3

B. (? ,1)

1 3

C. (? , )

1 1 3 3

D. (??, ? )

1 3

2 2 3. 已知 M ? x | y ? x ? 1 , N ? y | y ? x ? 1 , M ? N 等于( )

?

?

?

?

A. N

B. M

C. R

D. ? ( )

4. 下列给出函数 f ( x ) 与 g ( x) 的各组中,是同一个关于 x 的函数的是

x2 ?1 A. f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x
C. f ( x) ? x 2 , g ( x) ?
5

B. f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? 2 x ? 1 D. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0 ( )

3

x6
3

5. 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? 3 , f ? ?3? ? 7 ,则 f ? 3? 的值为 A. 13
2

B. ?13

C.7

D. ?7 )

6. 若函数 y ? x ? (2a ?1) x ? 1 在区间(-∞,2 ] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. [ - ,+∞)
3 2

B. (-∞,-

3 2

]

C. [

3 ,+∞) 2

D. (-∞,

3 2

]

? x ? 2, x ? ?1 ? 7. 在函数 y ? ? x 2 , ? 1 ? x ? 2 中,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的值是 ? 2 x, x ? 2 ?
A. 1 B. 1或





3 2

C. ?1

D. 3 ( )

8. 已知函数 f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是
1

A.0<m≤4

B.0≤m≤1

C.m≥4

D.0≤m≤4

9.函数 y= 1 ? x ?
2

9 是( 1? x

) C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶数

A.奇函数 B.偶函数 10.下列四个命题

(1)f(x)= x ? 2 ? 1 ? x 有意义; (2)函数是其定义域到值域的映射; (3)函数 y=2x(x ? N )的图象是一直线; (4)函数 y= ? A.1
2 ? ?x , x ? 0 的图象是抛物线,其中正确的命题个数是 ?? x 2 , x ? 0 ?





B.2

C.3

D.4

11. 已知函数 f ( x) 是 R 上的增函数, A(0, ?2) ,B(3, 2) 是其图象上的两点, 那么 | f ( x ? 1) |? 2 的解集是 A. (1,4) B. (-1,2) C. (??,1) ? [4,??) ( ) D. (??,?1) ? [2,??)
x

12. 若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? 2 ,则有( A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3) B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)



二、填空题(每小题 4 分,共计 20 分) 13. 用集合表示图中阴影部分:
U
A B C

U
A B

U
A B

2 14. 若集合 M ? x | x ? x ? 6 ? 0 , N ? ? x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,则实数 a 的值为

?

?

_________________
2 15. 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ? x ? ? x -2x , 则 f ?x ? 在 x ? 0 时的解析

式是 _______________ 16 .设集合 A={ x ? 3 ? x ? 2 },B={x 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1 }, 且 A ? B ,则实数 k 的取值范围
2



.

三、解答题:解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤. (合计 70 分)

17、 (满分 10 分)设 A={x∈Z| ? 6 ? x ? 6} , B ? ?1, 2,3?, C ? ?3, 4,5,6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; (2) A ? CA ( B ? C )

18.已知 f(x)=x2-ax+b(a、b∈ R),A={x∈ R|f(x)-x=0},B={x∈ R|f(x)-ax=0}, 若 A={1,-3},试用列举法表示集合 B.
19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ,且对任意的实数 x 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立. (1)求实数 a 的值; (2)利用单调性的定义证明函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上是增函数.

?? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? ( x ? 0) 20、 (满分 12 分)已知奇函数 f ( x) ? ?0 ? x 2 ? mx( x ? 0) ?

(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y ? f ( x) 的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 是否存在实数 a 使 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 的定义域为 [ ?1,1] ,值域为 [?2, 2] ? 若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。
3

22、 (满分 12 分)某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的 利润与投资成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比, 其关系如图 2(注:利润与投资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样 分配这 10 万元投资, 才能是企业 获得最大利润,其最大利润约为 多少万元。 (精确到 1 万元) 。

4

参考答案:
一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分
题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D 9 B 10 A 11 B 12 D

二、填空题(每小题 4 分,共计 20 分) 13. ( A

B) C, CU ( A B),

14.

1 1 或? 或 0 2 3 1 }; 2

15. f ( x) ? ? x 2 ? 2x

16.{ k ? 1 ? k ?

三、解答题:解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤. (合计 70 分)

17、 (满分 10 分) 解:

A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4,5,6? ……………2 分

(1)又 B ? C ? ?3?
? A ? ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4,5,6? ……6 分

(2)又 B ? C ? ?1,2,3,4,5,6? 得 CA (B ? C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0?

? A ? CA ( B ? C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0?
18.(本题满分 12 分)
解:f(x)-x=0,即 x -(a+1)x+b=0. ∵A={1,-3}, ∴由韦达定理,得?
? ?1+(-3)=a+1, ? ?1×(-3)=b.
2

……………12 分

?a=-3, ? 2 ∴? ∴f(x)=x +3x-3. ? b =- 3. ? 2 f(x)-ax=0,亦即 x +6x-3=0. 2 ∴B={x|x +6x-3=0}={-3-2 3,-3+2 3}.

19. (本题满分 12 分) 解析: (1)由 f (1+x)=f (1-x)得, 2 2 (1+x) +a(1+x)+b=(1-x) +a(1-x)+b, 整理得:(a+2)x=0, 由于对任意的 x 都成立,∴ a=-2.
5

………………………6 分

(2)根据(1)可知 f ( x )=x -2x+b,下面证明函数 f(x)在区间[1,+∞ ) 上是增函数. 设 x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) =( x12 ? 2 x1 ? b )-( x22 ? 2 x2 ? b ) =( x12 ? x22 )-2( x1 ? x2 ) =( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 -2) ∵ x1 ? x2 ? 1 ,则 x1 ? x2 >0,且 x1 ? x2 -2>2-2=0, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 故函数 f(x)在区间[1,+∞ ) 上是增函数. ………………………………… 12 分

2

20 解 (1) 当 x<0 时, -x>0,f (? x) ? ?( x)2 ? 2(? x) ? ? x2 ? 2 x 又 f(x)为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ? ? x2 ? 2x , ∴ f(x)=x2+2x,∴m=2 y=f(x)的图象如右所示
?? x 2 ? 2 x ? (2)由(1)知 f(x)= ?0 ? x2 ? 2x ?

……………4 分 ……………6 分
( x ? 0) ( x ? 0) ,…8 分 ( x ? 0)

由图象可知, f ( x) 在[-1,1]上单调递增,要使 f ( x) 在[-1,|a|-2]上单调递

?| a | ?2 ? ?1 增,只需 ? ?| a | ?2 ? 1
解之得 ?3 ? a ? ?1或1 ? a ? 3

……………10 分 ……………12 分

21 解: f ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? ( x ? a) ? a ? a 2 ,对称轴 x ? a (1)当 a ? 1 时,由题意得 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是减函数 ? f ( x) 的值域为 [1 ? a,1 ? 3a]

?1 ? a ? ?2 则有 ? 满足条件的 a 不存在。 ?1 ? 3a ? 2
(2)当 0 ? a ? 1 时,由定义域为 [ ?1,1] 知 f ( x) 的最大值为 f (?1) ? 1 ? 3a 。

f ( x) 的最小值为 f (a) ? a ? a 2
6

1 ? ?1 ? 3a ? 2 ?a ? ?? a不存在 ?? 3 2 ?a ? a ? ?2 ? ?a ? 2或a ? ?1
(3)当 ?1 ? a ? 0 时,则 f ( x) 的最大值为 f (1) ? 1 ? a , f ( x) 的最小值为 f (a) ? a ? a 2

?1 ? a ? 2 得 a ? ?1 满足条件 ?? 2 ?a ? a ? ?2
(4)当 a ? ?1 时,由题意得 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是增函数 ? f ( x) 的值域为 [1 ? 3a,1 ? a] ,则有

?1 ? 3a ? ?2 ? ?1 ? a ? 2

满足条件的 a 不存在。

综上所述,存在 a ? ?1 满足条件。

22、 (1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f ( x) 万元,B 产品的利润为 g ( x) 万元, 由题设 f ( x) = k1 ? x , g ( x) = k2 ? 由图知 f (1) ?

x ,.

1 1 5 5 ? k1 ? ,又 g (4) ? ? k 2 ? 4 4 2 4 1 5 x , ( x ? 0) 从而 f ( x) = x, ( x ? 0) , g ( x) = 4 4 x 5 1 0 10 ? x , Y= f ( x) + g (10 ? x) = ? (0 ? x ? 4 4

……………6 分

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10- x 万元,设企业的利润为 y 万元 ) ,

令 10 ? x ? t , 则y ? 当t ?

10 ? t 2 5 1 5 25 ? t ? ? (t ? ) 2 ? , (0 ? t ? 10), 4 4 4 2 16

5 25 , ymax ? 4 ,此时 x ? 10 ? =3.75 2 4 ? 当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时, 企业获得最大利润约为 4 万元。 ……………12 分

7


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