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2015通州区高三数学理科期末试题及答案含评分标准


通州区 2014—2015 学年度高三摸底考试

数学(理)试卷
2015 年 1 月 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页,共 150 分. 考试时间长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

>第Ⅰ卷
符合题目要求的一项.

(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出

1.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | x ? x ? 2? ? 0} ,那么 A U B 等于 A. ? ??,1? 2.计算 B. ? ?1, 0? C. (?1, ??) D. [?2,1)

2i 的结果是 1? i
B. ? 1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

A. ?1 ? i

3.极坐标方程 ? ? ?4cos ? 化为直角坐标方程是 A. x ? 4 ? 0
2 C. ? x ? 2 ? ? y ? 4 2

B. x ? 4 ? 0

4.已知向量 a =( ?1, ? 2) , b ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

? m , 4? ,那么“ a // b ”是“ m ?
2

2 D. x ? ? y ? 2 ? ? 4 2

2”

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知数列 ?an ? 是等差数列, a3 ? ?2 ,前 6 项的和 S6 ? ?3 ,那么数列 ?n+an ? 的前 4 项的和是 A. ? 4 B. ? 1 C. 5 D. 6

6.下列函数是偶函数,且在 ( 0, 1 ) 上是单调递增的是 A. f ? x ? ? x ? 2x
2

B. f ? x ? ? cos x D. f ? x ? ? ? log 1 x
2

C. f ? x ? ? ?

?1? ? ?2?

?| x|

高三数学(理)摸底试卷第 1 页(共 4 页)

7.在平面直角坐标系中,已知点 A , B 在抛物线 y2 ? 4 x 上,且满足 OA ? OB ? ?4 ,点

uur uu u r

F 是抛物线的焦点,设△ OFA ,△ OFB 的面积分别是 S1 , S2 ,那么 S1 ? S2 等于 5 A. 2 B. C. 3 D. 4 2
8.已知三棱锥 A ? BCD 的侧面展开图放在正方形网格(横、纵的单位长度均为 1 )中的 位置如图所示,那么其体积是 5 4 3 2 1 A B A

1 2 4 C. 3
A.

B.

2 3

D. 4

C A 0 1 2 3

D

4

5

6

第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.某校为了解高一学生 12 月份的阅 读情况, 抽查并统计了 100 名同学 的某一周阅读时间, 绘制了频率分 布直方图 (如图所示) , 那么这 100 名 学生中阅读时间在 ?8,12? 小时 内的人数为___________. 10. ? x ? 2 ? 的二项展开式中第 4 项的系数是_____________.
5

频率/组距 0.15 0.14 0.12 0.05 0.04 2 4 6 8 10 12 小时

? x ? y ? 0, ? 11.已知 x , y 满足不等式 ? x ? y ? 2 ? 0, 那么 z ? 2 x ? y 的最大值是___________. ? y ? 0, ?
12.已知 a> 1, 且 a ? b ? 2, 那么 a ?

1 的最小值是___________. b ?1

高三数学(理)摸底试卷第 2 页(共 4 页)

13.如图, C , D 是两个校区的所在地, C , D 到一条公 路 AB 的垂直距离分别是 CA ? 2 km , DB ? 4km ,

D C A M B

AB 两端之间的距离是 6 km . 某移动公司将在 AB 之

间找到一点 M , 在 M 处建造一个信号塔, 使得 M 对 C ,D 的张角与 M 对 C , A 的 张角相等(即 ?CMD ? ?CMA ) ,那么点 M 到点 A 的距离是________. 14.已知 min ? p, q? 表示 p, q 中较小者,若函数 f ( x) ? min ? x ? , ln( x ? 1) ? ,且存在

? ?

1 e

? ?

≥0 成立,则 a 的取值范围是_________________. x0 ? ?1, 2e ? 1? ,使得 f ( x0 ) ? a ?1
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4cos2 x ? 4sin x cos x ? 3 . (Ⅰ)求 f (?

?
4

) 的值及 f ( x) 的对称轴方程;

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值. 8 2

16. (本题满分 13 分) 甲、 乙、 丙三人去完成一项任务, 已知甲、 乙、 丙各自完成该项任务的概率分别为

1 , 2

1 1 , ,且他们是否完成任务互不影响. 3 4
(Ⅰ)求三人中只有乙完成了任务的概率; (Ⅱ)求甲丙二人中至少有一人完成了任务的概率; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中完成了任务的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 EX .

高三数学(理)摸底试卷第 3 页(共 4 页)

17. (本题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC , BC ? AC ? CC1 ,

?ACB ? 60? , D , E 分别是 AC 1 1 , BB1 的中点.
(Ⅰ)求证: B1D ∥ 平面 AC1E ; (Ⅱ)求证:平面 AC1E ? 平面 AAC 1 1C ; (Ⅲ)求直线 AB 与平面 AC1E 所成角的正弦值.

C1 D A1

B1 E B A

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x , a ? R. (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若方程 f ? x ? ? 0 没有实数根,求 a 取值范围.

C

19. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) 的长轴长是 4 ,点 A 为椭圆的右顶点,点 B 为椭圆 a 2 b2

上一点,且△ OAB 是等腰直角三角形(点 O 为坐标原点). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

4 的两条切线, 切点分别为 M , 3 1 3 N ,若直线 MN 与 x , y 轴的交点分别是 ? m,0? , ? 0, n ? ,证明: 2 ? 2 是定值. m n
2 2 (Ⅱ) 过椭圆 C 上异于其顶点的任意一点 P , 作圆 x ? y ?

20. (本题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? (Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)证明: an ? n (n ? N ) ;
? (Ⅲ)当 n ? 3 (n ? N ) 时,证明: an ? ?

1 1 2 , an ?1 ? an ? 2 an . 2 n

6n . 5n ? 6

高三数学(理)摸底试卷第 4 页(共 4 页)

高三数学(理科)摸底考试参考答案
2015 年 1 月 一.选择题: 题号 答案 二.填空题: 9. 38 12. 3 1 D 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B

?80 2 13. 3
10.

11. 4 14.

? ??,ln 2?

三.解答题: 15. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? 4cos x ? 4sin x cos x ?3 ,
2

所以 f ? x ? ? 2 ? cos 2x ? 1? ? 2sin 2x ? 3 ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1

?? ? ? 2 2 sin ? 2 x ? ? ? 1. 4? ?
所以 f ? ?

???????? 3 分

? ?? ? ? ?? ? ? 2 2 sin ? ? ? ? ? 1 ? ?3. ? 4? ? 2 4?

???????? 5 分

对称轴方程是 2 x ? (Ⅱ)因为 ? 所以 0 ? 2 x ? 所以 2 x ?

?
4

?

?
2

? k? , k ? Z ,即 x ?


?
8

?

?

?

8 4

?x? ?

?
2

k? , k ? Z . ???????? 7 分 2

?
4

?

?
2

5? . 4

???????? 9 分

,即 x ?

?
8

时,

???????? 11 分 ???????? 13 分

f ? x ? 有最大值是 2 2 ?1 ,

16. (本题 13 分) 高三数学(理)摸底试卷第 5 页(共 4 页)

解:设甲完成任务为事件 A1 ,乙完成任务为事件 A2 ,丙完成任务为事件 A3 , 所以 P ? A1 ? ?

1 1 1 , P ? A2 ? ? , P ? A3 ? ? . 2 3 4

???????? 1 分

(Ⅰ)设“三人中只有乙完成了任务”为事件 B . 所以 P ( B ) ? P A1 A2 A3 ?

?

?

1 1 3 1 ? ? ? . 2 3 4 8 1 3 5 ? ? . 2 4 8

???????? 4 分

(Ⅱ)设“甲、乙二人中至少有一人完成了任务”为事件 C . 则 P(C ) ? 1 ? P A1 A3 ? 1 ?

?

?

???????? 7 分

(Ⅲ) X 的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3. 所以 P ( X ? 0) ? P A1 A2 A3 ?

?

?

1 2 3 1 ? ? ? , 2 3 4 4

P( X ? 1) ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3
? 1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24

?

? ?

? ?

? ?

P( X ? 2) ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3
? 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 ? ? ? . 2 3 4 24
X

?

? ?

? ?

P( X ? 4) ? P ? A1 A2 A3 ? ?
所以 X 的分布列是

???????? 11 分

P

0 1 4

1 11 24

2 1 4

3

1 24

???????? 12 分 所以 EX ? 0 ?

1 11 1 1 13 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ? . 4 24 4 24 12

???????? 13 分

17. (本小题 14 分)

高三数学(理)摸底试卷第 6 页(共 4 页)

解: (Ⅰ)证明:取 AC1 的中点 F ,连结 DF , EF , 因为点 D , F 分别是 AC 1 1 , AC1 的中点,所以 DF // AA 1 , DF ? 因为点 E 分别是 BB1 的中点,所以 B1E // AA1 , B1 E ? 所以 DF // B1E , DF ? B1E.

1 AA1. 2

1 AA1. 2

所以四边形 DFEB1 是平行四边形. 所以 B1D // EF . ????? 4 分

因为 EF ? 平面 AC1E , B1D ? 平面 AC1E ,所以 B1D //平面 AC1E. (Ⅱ)因为 CC1 ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? 平面 A1B1C1 , 因为 B1D ? 平面 A1B1C1 ,所以 CC1 ? B1D.

因为 BC ? AC, ?ACB ? 60? ,所以 ?ABC 是等边三角形. 所以 ?A 1B 1C1 是等边三角形. 因为点 D 是 AC 1 1 的中点,所以 AC 1 1 ?B 1D. 所以 BD1 ? 平面 AAC 1 1C. 因为 CC1

AC 1 1 ? C1 ,

因为 B1D // EF , 所以 EF ? 平面 AAC 1 1C. ???????? 9 分

因为 EF ? 平面 AC1E ,所以平面 AC1E ? 平面 AAC 1 1C. (Ⅲ)以点 C 为原点,如图所示建立空间直角坐标系.

设 BC ? 2. 所以 A( 3,1,0) , B(0, 2, 0) , C1 (0,0, 2) , E (0, 2,1) . 所以 AB ? (? 3,1,0) , C1E ? (0, 2, ?1) , C1 A ? ( 3,1, ?2) . 设平面 AC1E 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 所以 ?

? ?n ? C1 E ? 0, ? ? n ? C1 A ? 0.

即 ?

? ?

2 y ? z ? 0,

? ? 3 x ? y ? 2 z ? 0.

令 y ? 1 ,则 n ? ( 3,1, 2) .

设直线 AB 与平面 AC1E 所成的角是 ? .

所以 sin ? ? cos? n, AB? ?

n ? AB n ? AB

?

?2 2 ? . 4 2 2 ?2

所以直线 AB 与平面 AC1E 所成的角的正弦值是 18. (本小题 13 分)

2 . 4

???????? 14 分

高三数学(理)摸底试卷第 7 页(共 4 页)

解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) ? x ? a ln x ,所以 f ? ? x ? ? 1 ?

a x?a ? . ??????? 1 分 x x

(1)当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0. 所以 f ( x ) 的递增区间是 ? 0, ??? ,无递减区间.?? 3 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?a ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? ?a. 所以 f ( x ) 的递增区间是 ? ?a, ?? ? ,递减区间是 ? 0, ?a ? . 综上,当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间是 ? 0, ??? ,无递减区间, 当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间是 ? ?a, ?? ? ,递减区间是 ? 0, ?a ? . (Ⅱ) (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x. 所以方程 f ( x) ? 0 没有实数根. (2)当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0, ??? 上单调递增, 因为 f ?1? ? 1 ? 0 , f ? e ???????? 5 分

f ( x) 在 ? 0, ??? 上显然无零点,
???????? 6 分

? ?

?

1 a

? ?1 a ? ? e ? 1 ? 0 ,所以 f ?1? ? f ?

? ?1 ? a ? e ? ? 0. ? ?

所以 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上有零点. 所以方程 f ( x) ? 0 有实数根. ???????? 8 分

(3)当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间是 ? ?a, ?? ? ,递减区间是 ? 0, ?a ? , 所以 f ? ?a ? 是 f ( x ) 的极小值,也是 f ( x ) 的最小值. 所以 f ( x ) 没有实数根等价于 f ? ?a ? ? 0. 所以 ?a ? a ln ? ?a ? ? 0. 所以 ? a ? ?1 ? ln ? ? a ? ? ? ? 0. 所以 ln ? ?a ? ? 1. 所以 a ? ?e . 综上, a 的取值范围是 ? ?e,0?. 19. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)因为 OA ? 2 ,所以 a ? 2. 高三数学(理)摸底试卷第 8 页(共 4 页) ???????? 1 分 ???????? 12 分 ???????? 13 分 ???????? 11 分

因为 ?OAB 是等腰直角三角形,所以点 B 的坐标是 ?1,1? 或 ?1, ?1? . ??????? 2 分 所以

1 1 3 ? 2 ? 1. 所以 b 2 ? . 4 b 4

所以椭圆 C 的方程是

x2 3 y 2 ? ? 1. 4 4

???????? 4 分

(Ⅱ)设点 P ? x1 , y1 ? , M ? x2 , y2 ? , N ? x3 , y3 ? , 所以 kPM ? ?

1 kOM

??

x2 . y2

???????? 5 分

所以直线 PM 的方程是 y ? y2 ? ? 所以 x2 x ? y2 y ?

x2 ? x ? x2 ? ,即 x2 x ? y2 y ? x22 ? y22 . y2
???????? 6 分

4 . 3 4 . 3

同理可得直线 PN 的方程是 x3 x ? y3 y ?

???????? 7 分

因为点 P ? x1 , y1 ? 是直线 PM , PN 的交点,

4 ? x1 x2 ? y1 y2 ? , ? 4 ? 3 所以有 ? 所以直线 MN 的方程是 x1 x ? y1 y ? . ???????? 9 分 3 ?x x ? y y ? 4 . 1 3 1 3 ? 3 ?
令 y ? 0 ,得 x ? 所以 x1 ?

4 4 4 4 ;令 x ? 0 ,得 y ? ,n ? . 所以 m ? . 3x1 3 y1 3x1 3 y1
???????? 11 分

4 4 . , y1 ? 3m 3n

因为点 P ? x1 , y1 ? 是椭圆 C 上一点,所以 ? 所以

? 4 ? ? 4? ? ? 3 ? ? ? 4. ? 3m ? ? 3n ?

2

2

化简得

1 3 9 ? 2 ? . 2 m n 4

1 3 ? 2 是定值. 2 m n

???????? 13 分

20. (本题 14 分)

高三数学(理)摸底试卷第 9 页(共 4 页)

1 1 2 , an ?1 ? an ? 2 an , 2 n 3 57 2 2 . 所以 a2 ? a1 ? a1 ? , a3 ? a2 ? a2 ? 4 64
解: (Ⅰ)因为 a1 ? (Ⅱ)下面用数学归纳法证明: an ? n. (1)当 n ? 1 时,左边 ?

???????? 2 分

1 ,右边 ? 1 ,不等式成立. 2

???????? 3 分

? (2)假设当 n ? k k ? N 时,不等式成立. 即 ak ? k.

?

?

1 1 2 , an ?1 ? an ? 2 an ,所以 an ? 0. 所以 ak 2 ? k 2 . ???????? 4 分 2 n 1 2 1 2 所以 ak ?1 ? ak ? 2 ak ? k ? 2 ? k ? k ? 1. k k 所以当 n ? k ? 1 时,等式也成立.
因为 a1 ? 由(1)和(2)可知不等式对 n ? N 都成立. (Ⅲ)因为 a1 ?
?

???????? 6 分

1 1 2 1 n2 , an ?1 ? an ? 2 an ,所以 ? . 2 n an?1 n2 an ? an 2
???????? 9 分

所以

1 1 1 n2 1 ? ? ? 2 ? 2 . 2 an an?1 an n an ? an n ? an

由(Ⅱ)知 0 ? an ? n. 所以 所以当 n ? 2 时,有

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? . ????? 11 分 an an ?1 n ? an n ? n n n ? 1

?1 1 ? ? 1 1? ? ?? ? ? ??? ? an an?1 ? ? an?1 an ?
所以

? 1 1 ? ?1 1 ? ? 1 1? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? a2 a3 ? ? n n ? 1 ? ? n ? 1 n ?

?1 1? ? ? ? ?. ? 2 3?

1 1 1 1 ? ? ? . a2 an?1 2 n ? 1 1 1 1 1 4 1 1 5n ? 11 ? ? ? ? ? ? ? . an?1 a2 2 n ? 1 3 2 n ? 1 6n ? 6
6n . 5n ? 6
所以 an ?1 ?

所以

6n ? 6 . 5n ? 11

所以当 n ? 3 时, an ?

???????? 14 分

高三数学(理)摸底试卷第 10 页(共 4 页)


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