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2.4指数与指数函数


2.4

指数与指数函数

第二章

2.4

指数与指数函数
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养

-2-

考纲要求 题型 五年考题统计 1.通过具体实例,了 解指数函数模型的实际 背景. 2.理解有理指数幂的含 义,通过具体实例了解实 20

10 全国, 数指数幂的意义,掌握幂 理5 的运算. 选择题 2012 全国, 3.理解指数函数的概念, 理 12 理解指数函数的单调性, 掌握指数函数的图象及 其通过的特殊点. 4.体会指数函数是一类 重要的函数模型.

命题角度分析 高考中对指数函数 的考查,通常以考查指数 的运算以及指数函数的 图象、性质的应用为主, 多以指数函数为载体,与 函数的性质、方程、不 等式等知识综合命题.比 较大小、简单的指数方 程、指数不等式等都是 常考内容.

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知识梳理 双击自测

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1.根式 (1)n 次方根的定义:若


xn=a

,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且

n∈N*.式子 叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)n 次方根的性质: ①一个数 a 的奇次方根只有一个,即 ②一个正数 a 的偶次方根有两个,即 次方根为
0





(n 为奇数,a∈R). (n 为非零偶数),0 的偶

±

,

负数

没有偶次方根.

(3)两个重要公式
a

① = ②( )n=




|| =
a

a -a

(为奇数), , ≥ 0, (n 为偶数); , < 0


(n>1,且 n∈N*)(注意 a 必须使 有意义).

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2.实数指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂的意义是
=


(a>0,m,n∈N*,且 n>1).



②正数的负分数指数幂的意义是 1
=

=

③0 的正分数指数幂是 0 ,0 的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras= ar+s (a>0,r,s∈Q); ars ②(ar)s= (a>0,r,s∈Q); r r ③(ab)r= a b (a>0,b>0,r∈Q). (3)无理数指数幂 一般地,无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个 确定 的实数,有 理数指数幂的运算性质 同样适用 于无理数指数幂.

1 * ( a> 0, m , n ∈ N ,且

n>1).

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3.指数函数的图象和性质
函数 图象 在 x 轴 上方 ,过定点 (0,1) 当 x 逐渐增大时,图象逐渐 当 x 逐渐增大时,图象逐渐上 下降 升 R (0,+∞) 在 R 上 递减 在 R 上 递增 当 x=0 时, y=1 当 x<0 时, y>1 ; 当 x<0 时, 0<y<1 ; 当 x>0 时, 0<y<1 当 x>0 时, y>1 y=ax(a>0,且 a≠1) 0<a<1 a>1

图象特征 定义域 值域 单调性 函数 值变 化规律

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1 2 3 4 5 6

1.下列结论正确的画“ ”,错误的画“×”. (1) (-4)4 =π-4.
2 1 (2)(-4)4 =(-4)2 =-2.
4

( ( a≠1)是 R 上的增函数. ( ( ( (

) ) ) ) ) )

(3)函数 y=

1 (a>0,且

(4)函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与 x 轴有且只有一个交点. (5)若 am>an,则 m>n. (6)函数 y=ax 与 y=a-x(a>0,且 a≠1)的图象关于 y 轴对称.

关闭

(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√

答案

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3

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1 2 3 4 5 6
6

2.化简 2 3 × 1.5 × 12的结果是( A.2 6 B.3 6 C.6

) D.12

关闭

2 3 × 1.5 ×

3

6

1 12=2×32

1 1 1 1 1 1 3 3 6 2 3 3 6 × ×(3×4) =2×3 × 3 × 2 × 3 × 23 =6.故选 C. 2

1

关闭

C
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3.已知函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象经过点(3,π),则函数 f(x)的解析 式为( ) B.f(x)=
1 π
C.f(x)=π3

A.f(x)=πx

D.f(x)=

1 π

3

关闭
1 =π,∴ a= π 3,∴ f (x)= 1 π3

∵ f (3)=π,∴ a

3

= π 3.
关闭

C
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4.把函数 y=f(x)的图象向左、 向下分别平移 2 个单位长度得到函数 y=2x 的图象,则( ) D.f(x)=2x-2-2 A.f(x)=2x+2+2 B.f(x)=2x+2-2 C.f(x)=2x-2+2

关闭

由题意,将 y=2x 的图象向右、向上分别平移 2 个单位长度可得到 y=f(x)的图象,所以 f(x)=2x-2+2.故选 C.

关闭

C
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5.(2014 湖北孝感高中调研)若函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在[-2,1]上的最 大值为 4,最小值为 m,则 m 的值是( A.
1 2

) C. 或
1 2 1 16

B.

1 16

D. 或

1 4

1 16

关闭

1 16 1 1 1 1 -2 当 0<a<1 时,f(x)为 R 上的减函数,所以 a =4?a= ?m= = . 2 2 2 1 1 C ,m=16或 m=2,故选 C. 综上

当 a>1 时,f(x)为 R 上的增函数,所以 a1=4?a=4?m=4-2= ;

关闭

解析

答案

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6.当 a>0,且 a≠1 时,函数 f(x)=ax-2-3 的图象必经过定点

.

关闭

令 x-2=0 得 x=2,此时,f(2)=-2. 因此,函数 f(x)的图象必经过定点(2,-2). (2,-2)
关闭

解析

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自测点评 1. 成立的条件是:当 n 为奇数时,a∈R;当 n 为偶数
时,a≥0. 2.指数幂运算化简的依据是幂的运算性质,应防止错用、 混用公式.对根 式的化简,要先化成分数指数幂,再由指数幂的运算性质进行化简. 3.指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此,应用单调性解题 时,应对底数 a 分为 a>1 和 0<a<1 两种情况进行分类讨论.

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考点一 考点二 考点三

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-13-

考点一指数幂的运算
1.计算下列各式的值: (1) (2) (3)
4 9

27 -3 8

2

+(0.002)

-

1 2 -10(

5-2)-1+( 2 ? 3)0;

1 -( 5+2 3
23

3-1)0- 9-4 5;

2

2
1 1 8 3 +1= +5002 -10( 5+2)+1 27 5-2 2

关闭

0).10 - 1(a>0,b> 1 1 27 1 1 -2 - 3 4 解:(1)原式 = -) 3 3 + ? (4 2
8 500

= +10 5-10 5-20+1=-

167 . 9

(2)原式= 5-2-1- ( 5-2)2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1. (3)原式=
(3 3 3 )2 3 3
1 1 2 2

1 2 1

=

3 1 1 + -1+ 2 6 3

·

1+ -2 -

1 3

1 3 =ab-1.

答案

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2.

3 -83 b

4

1

2 3 43 +2 +3

2 ÷ 1-2

3



· .

3

关闭

原式= 2
1 3

1 ·3 =a.

1 1 2 43 +23 3 +3

3 (a-8b)

1

÷

3 -23
1 3

1

1

1 ·3

1 1 1 3 3 -23

2 1 1 2 3 3 3 +2 +43

=

2 1 1 2 43 +23 3 +3

·1

1 3 -23

3

1

1 ·3

=

1 3

·

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-15-

方法总结 指数幂的化简与求值:
(1)化简原则:①化根式为分数指数幂;②化负指数幂为正指数幂;③化 小数为分数;④注意运算的先后顺序. 提醒:有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来 运算. (2)将根式化为指数运算较为方便,对于计算的结果,不强求统一用什么 形式来表示.如果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根 号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.

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-16-

考点二指数函数的图象及其应用

(1)(2014 山东泰安一模)函数 f(x)=ax-b 的图象如图,其中 a,b 为常数,则 下列结论正确的是( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2) 当 k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解?

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(1)D

解析:由 f(x)=ax-b 的图象可以看出,函数 f(x)=ax-b 在定义域上单调递减,所

以 0<a<1.函数 f(x)=ax-b 的图象是在 f(x)=ax 的图象的基础上向左平移得到的, 所以 b<0.故选 D. (2)解:函数 y=|3x-1|的图象是由函数 y=3x 的图象向下平移一个单位长度后,再把 位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的,函数图象如图所示.

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当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解; 当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程 有一解; 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象有两个不同交点,所以方程有 两解.

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方法总结 1.画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键
点:(1,a),(0,1), -1,
1

.

2.与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象, 通过平移、对称变换得到其图象. 3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象 数形结合求解.

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-20-

对点练习 1 函数 y=a -a(a>0,且 a≠1)的图象可能是(
x

)

关闭

当 x=1 时,y=a1-a=0,故函数 y=ax-a 的图象过定点(1,0),结合图象可知选 C.
关闭

C
解析 答案

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对点练习 2 若直线 y=2a 与函数 y=|a -1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共
x

点,则实数 a 的取值范围是

.

关闭

分底数 0<a<1 与 a>1 两种情况,分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,如图.

1 1 从图中可以看出 , 只有当 0 <a< 1, 且 0 < 2 a< 1, 即 0 <a< 时,两函数图象才有两个交点. 0, 2 2

关闭

解析

答案

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考点三指数函数的性质及其应用
(1)若函数 f(x)=ax-1(a>0,且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a= . (2)已知 f(x)= 2 (ax-a-x)(a>0,且 a≠1).
-1

①判断 f(x)的奇偶性; ②讨论 f(x)的单调性; ③当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.
(1) 3 解析:当 a>1 时,x∈[0,2],f(x)∈[0,a2-1],

∴a2-1=2,即 a= 3; 当 0<a<1 时,x∈[0,2],f(x)∈[a2-1,0],此时定义域与值域不一致,无解. 综上,a= 3.

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-23-

(2)解:①函数定义域为 R,关于原点对称. 又因为 f(-x)=
(a-x-ax)=-f(x),所以 2 -1

f(x)为奇函数.

②当 a>1 时,a2-1>0, y=ax 为增函数,y=a-x 为减函数, 从而 y=ax-a-x 为增函数, 故 f(x)为增函数. 当 0<a<1 时,a2-1<0, y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数, 从而 y=ax-a-x 为减函数, 所以 f(x)为增函数. 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增.

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③由②知 f(x)在 R 上是增函数, 所以 f(x)在区间[-1,1]上为增函数. 所以
1-2 -1 f(x)min=f(-1)= 2 (a -a)= 2 · =-1. -1 -1

故要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1,故 b 的取值范围是(-∞,-1].

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方法总结 1.利用指数函数的性质解决相关的综合问题时,要特别
注意底数 a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论. 2.解决恒成立问题,一般需通过分离变量,通过转化为求函数的最值来 实现.

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对点练习 设 y1=4
A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3

0.9

, y2=8

0.48

, y3=

1 -1.5 , 则( 2

)

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

关闭

y1=4 =2 ,y2=8

0.9

1.8

0.48

=2

1.44

∵1.8>1.5>1.44,且 y=2x 在 R 上单调递增,∴y1>y3>y2.

1 ,y3= 2

-1 .5

=21.5.
关闭

D
解析 答案

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思想方法 核心规律

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-27-

满分策略

换元法在求解指数型函数问题中的应用
换元法是高中数学解题的基本方法, 本节中与指数型函数有关的求函 数单调区间和值域的问题, 通常应用换元法以达到化繁为简的目的.换元时, 应注意确定新元的范围, 以达到等价转化的目的, 避免失误. (2014 山东烟台模拟)方程 4 -2
x x+1

-3=0 的解是

.

答案 :x= log23 解析 :原方程可化为(2 ) -2· 2 -3=0.
x 2 x

令 2 =t,则 t>0,所以 t -2t-3=0,解得 t=3 或 t=-1(舍).
x 2

由 2x=3 解得 x=log23.

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满分策略

对点练习 1 函数 y=
A.(-∞,4) C.(0,4]

2 1 +2x -1 的值域是( 2

)

B.(0,+∞) D.[4,+∞)

关闭

1 设 t=x +2x-1,则 y= . 2 1 2 因为 t=(x+1) -2≥-2,y= 为 R 上的减函数, 2 1 1 -2 所以 0<y= ≤ =4, 2 2
2

关闭

C 故所求函数的值域为 (0,4].

解析

答案

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思想方法 核心规律

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满分策略

对点练习 2 函数 y=
是 .

1 4

?

1 +1 2

在 x∈[-3,2]上的值域

关闭

1 1 因为 x∈[-3,2],令 t= ,则 t ∈ ,8 , 2 4 2 1 3 则 y=t2-t+1= + . 2 4 1 3 故当 t= 时,ymin= ;当 t=8 时,ymax=57. 2 4 3 3,所求函数的值域为 ,57 因此 ,57 4 4

关闭

解析

答案

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思想方法 核心规律

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-30-

满分策略

1.准确熟练掌握幂的运算公式是解决指数运算问题的基础. 2.判断指数函数图象的底数大小的问题,可以通过令 x=1 得到底数值, 再进行大小比较. 3.指数型函数、方程及不等式问题,可以利用指数函数的图象、性质求 解.

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满分策略

1.解决指数函数有关问题时,若底数不确定,应注意对 a>1 及 0<a<1 进 行分类讨论. 2.对于同时含有 ax 与 a2x(a>0,且 a≠1)的函数、方程、不等式等问题, 可以利用换元法求解.但一定要注意新元的范围.


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