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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:质量检测6]


质量检测(六)
测试内容:统计、概率 算法初步

时间:90 分钟 分值:120 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.一个容量为 100 的样本,其频数分布表如下 组别 频数 (0,10] 12 (10,20] 13 (20,30] 24 (30,40] 15 ) (40,50] 16 (50,60] 13 (6

0,70] 7

则样本数据落在(10,40]上的频率为( A.0.13 C.0.52

B.0.39 D.0.64

解析:由题意可知样本在(10,40]上的频数是:13+24+15=52, 由频率=频数÷ 总数,可得样本数据落在(10,40]上的频率是 0.52. 答案:C 2. (2013· 江门佛山两市高三质检)为了解一片速生林的生长情况, 随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画 出样本的频率分布直方图(如下图),那么在这 100 株树木中,底部周 长小于 110 cm 的株数是( )

A.30 C.70 解析:100×(0.1+0.2+0.4)=70. 答案:C

B.60 D.80

3.(2013· 山东泰安第二次模拟)设某高中的女生体重 y(单位:kg) 与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i ^ =1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则 下列结论不正确的是( )

A.y 与 x 具有正的线性相关关系 - - B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该高中某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D. 若该高中某女生身高为 170 cm, 则可断定其体重必为 58.79 kg 解析: 若该高中某女生身高为 170 cm, 则其体重大约为 58.79 kg, 故选项 D 是不正确的. 答案:D

4.(2013· 安徽江南十校开学第一考)下图是甲、乙两名运动员某 赛季 6 个场次得分的茎叶图,用 x 甲,x 乙分别表示甲,乙得分的平均 数,则下列说法正确的是( )

A.x 甲>x 乙且甲得分比乙稳定 B.x 甲=x 乙且乙得分比甲稳定 C.x 甲=x 乙且甲得分比乙稳定 D.x 甲<x 乙且乙得分比甲稳定 - - 解析:由茎叶图所给数据,经计算 x 甲= x 乙=25,而方差 S 甲<S
乙.

答案:C 5.(2013· 山西第三次四校联考)下列说法错误的是( )

A.在统计学中,独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的 一种统计方法 ^ ^ ^ B .线性回归方程对应的直线 y = b x + a 至少经过其样本数据点 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),?,(xn,yn)中的一个点 C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型 拟合的精度越高 D.在回归分析中,相关指数 R2 为 0.98 的模型比相关指数 R2 为

0.80 的模型拟合的效果好 ^ ^ ^ 解析: 线性回归方程对应的直线y=bx+a可以不经过其样本数据 点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),?(xn,yn)中的任一点. 答案:B 6. (2013· 福建卷)阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序. 如 果输入某个正整数 n 后,输出的 S∈(10,20),那么 n 的值为( )

A.3 B.4 C.5 D.6 解析:当 n=1 时,S=1;当 n=2 时,S=1+2×1=3;当 n=3 时,S=1+2×3=7;当 n=4 时,S=1+2×7=15∈(10,20),故选 B. 答案:B 7.(2013· 天津卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 则输出 n 的值为( )

A.7 B.6 C.5 D.4 解析:第 1 次,S=-1,不满足判断框内的条件;第 2 次,n=2, S=1,不满足判断框内的条件;第 3 次,n=3,S=-2,不满足判断 框内的条件;第 4 次,n=4,S=2,满足判断框内的条件,结束循环, 所以输出的 n=4. 答案:D 8.(2014· 河北沧州名师名校俱乐部二调)如图是甲、乙两同学连 续 4 次月考成绩的茎叶图,其中数据 x(x∈Z)无法确认,则甲的平均 成绩超过乙的平均成绩的概率为( )

2 A.5

1 B.2

3 C.5

4 D.5

1 1 解析: 由4×(92+97+88+89)>4×(90+x+99+83+89), 得 x<5, 5 1 故 x 取值为 0,1,2,3,4,所以所求概率为 P=10=2. 答案:B 9.(2013· 淄博高三检测)设 p 在[0,5]上随机地取值,则关于 x 的 方程 x2+px+1=0 有实数根的概率为( 1 A.5 3 C.5 2 B.5 4 D.5 )

?p2-4≥0, ? 5-2 3 解析:由? 得 2≤p≤5,故所求概率为 = . 5-0 5 ?0≤p≤5 ?

答案:C 10. (2013· 山西太原高三模拟(一))已知函数 f(x)=log2x, 若在[1,4] 上随机取一个实数 x0,则使得 f(x0)≥1 成立的概率为( 1 A.3 2 C.3 解析:f(x0)=log2x0≥1,则 x0≥2 4-2 2 当 x0∈[1,4]时,所求概率为 = . 4-1 3 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 B.2 3 D.4 )

11.(2013· 成都第二次诊断)在某大型企业的招聘会上,前来应聘 的本科生、硕士研究生和博士研究生共 2 000 人,各类毕业生人数统 计如图所示,则博士研究生的人数为________. 解析:由图可知,博士生人数所占比例为 1-62%-26%=12%, 故博士生人数为 2 000×12%=240. 答案:240 12.(2013· 泰安高三质检)某个年级有男生 560 人,女生 420 人, 用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本, 则此样本中男生人数为________. 280 解析:男生人数为 ×560=160. 560+420 答案:160 13.(2013· 宁夏银川月考)已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y =25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________. 解析:(1)圆心坐标为(0,0),圆心到直线 4x+3y=25 的距离 d=

|4×0+3×0-25| =5. 42+32 3 3 (2)如图 l′∥l,且 O 到 l′的距离为 3,sin∠ODE= =2, 2 3 所以∠ODE=60° ,从而∠BOD=60° ,点 A 应在劣弧 BD 上,所以满 1 足条件的概率为6.

1 答案:5 6 14.(2013· 温州市高三第二次适应性测试)经过随机抽样获得 100 辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位:km/h),并绘制成如图所 示的频率分布直方图,其中这 100 辆汽车时速范围是[35,85],数据分 组为[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85).由此估计通过这一 地区的车辆平均速度为________.

解析:40×0.05+50×0.2+60×0.4+70×0.25+80×0.1=61.5. 答案:61.5 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 15. (满分 12 分)(2013· 安徽卷)为调查甲、 乙两校高三年级学生某 次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取 30 名高 三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶 图如图所示:

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三 年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率

(60 分及 60 分以上为及格); (2)设甲、 乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x 1, x 2,估计 x 1- x 2 的值. 30 解:(1)设甲校高三年级学生总人数为 n.由题意知, n =0.05,即 n=600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5,据此估计甲 5 5 校高三年级此次联考数学成绩及格率为 1-30=6. (2)设甲、 乙两校样本平均数分别为 x 1′, x 2′.根据样本茎叶图 可知, 30( x 1′- x 2′)=30 x 1′-30 x 2′ =(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20) +92 =2+49-53-77+2+92 =15. 因此 x 1′- x 2′=0.5.故 x 1- x 2 的估计值为 0.5 分. 16. (满分 12 分)(2013· 河南开封高三第一次模拟)为了解春季昼夜 温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从 4 月份的 30 天中随 机挑选了 5 天进行研究, 且分别记录了每天昼夜温差与每天 100 颗种 子浸泡后的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x/℃ 发芽数 y/颗 4月1日 10 23 4月7日 11 25 4 月 15 日 4 月 21 日 4 月 30 日 13 30 12 26 8 16

(1)从这 5 天中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m,n,求事件

“m,n 均不小于 25”的概率; (2)从这 5 天中任选 2 天,若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两 组数据,请根据这 5 天中的另 3 天的数据,求出 y 关于 x 的线性回归 ^ 方程y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误 差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中 所得的线性回归方程是否可靠? -- xiyi-n x y i=1
n i=1 3 n 3 - - , a= y - b x )( 参考数据:i=1 xiyi

( 参考公式: b =

x2i-n x 2

=977,i=1x2i=434) 解: (1)m, n 的所有的基本事件为(23,25), (23,30), (23,26), (23,16), (25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共 10 个. 设“m,n 均不小于 25”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为 (25,30),(25,26),(30,26). 3 3 所以 P(A)=10,故事件 A 的概率为10. - - - (2)由数据得从 5 天中未选取的 3 天的平均数 x =12,y =27,3 x - y =972,3 x 2=432,
3 3

又i=1xiyi=977,i=1x2 i =434, 所以 b= 977-972 5 5 =2,a=27-2×12=-3, 434-432

^ 5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y=2x-3. ^ ^ (3)依题意得,当 x=10 时,y=22,|22-23|<2;当 x=8 时,y= 17,|17-16|<2, 所以得到的线性回归方程是可靠的. 17.(满分 12 分)(2013· 福建卷)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁) 工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量 是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁 以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日 平均生产件数分为 5 组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根 据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“生产 能手与工人所在的年龄组有关”? P(χ2≥k) k
2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

n?n11n22-n12n21?2 附:χ = n1+n2+n+1n+2 n?ad-bc?2 (注:此公式也可以写成 K = ) ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

解:(1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁 以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上 组工人有 60×0.05=3(人),记为 A1,A2,A3;25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人),记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人,所有的可能结果共有 10 种,它们是: (A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,

B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种, 它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2), 7 (B1,B2).故所求的概率 P=10. (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁 以上组”中的生产能手有 60×0.25=15(人), “25 周岁以下组”中的 生产能手有 40×0.375=15(人),据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 非生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计
2

合计 60 40 100

15 15 30

45 25 70

n?ad-bc?2 所以得 K = ?a+b??c+d??a+c??b+d? 100×?15×25-15×45?2 25 = =14≈1.79. 60×40×30×70 因为 1.79<2.706, 所以没有 90% 的把握认为 “ 生产能手与工人所在的年龄组有 关”. 18.(满分 14 分)(2013· 天津卷)某产品的三个质量指标分别为 x, y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级.若 S≤4,则该产 品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其 质量指标列表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5

质量指标 (x,y,z) 产品编号 质量指标 (x,y,z) (1,1,2) A6 (1,2,2) (2,1,1) A7 (2,1,1) (2,2,2) A8 (2,2,1) (1,1,1) A9 (1,1,1) (1,2,1) A10 (2,1,2)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品, (ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果; (ⅱ)设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”,求事件 B 发生的概率. 解:(1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表: 产品编号 S A1 4 A2 4 A3 6 A4 3 A5 4 A6 5 A7 4 A8 5 A9 3 A10 5

其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的 6 一等品率为10=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为 0.6. (2)(ⅰ)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果 为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4}, {A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5, A7},{A5,A9},{A7,A9},共 15 种. (ⅱ)在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1, A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共 6 种. 6 2 所以 P(B)=15=5.


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