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(理数)茂名市2010届高三一模


试卷类型:A

茂名市 2010 年第一次高考模拟考试
数学试卷(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 5.参考公式: V锥体 ?

1 S底 ? h 3

第一部分

选择题(共 40 分)

一、选择题. (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若全集 U={1,2,3,4} ,且 CUA={2} ,则集合 A 的真子集共有( * ) A 3个 B.5 个 C.7 个 D.8 个 2.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且它的体积为 何体的俯视图可以是( * )

1 .则该几 2

1 a ”是“对任意的正数 x,均有 x ? ? 1 ”的( * ) 4 x A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4.2010 年广州亚运会组委会要从 A、B、C、D、E 五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导 游、礼仪、司机四项不同工作,若其中 A 和 B 只能从事前两项工作,其余三人均能从事这 四项工作,则不同的选派方案共有( * ) A 48 种 B.36 种 C.18 种 D.12 种 5.某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函 数是( * ) 1 A. f (x) ?1?x2 B. f ( x ) ? x 1 () x x 6 ? ? ) x C. f x ln 2? D. f (x ? cos ?1 2 6.己知两点 A(1,-2) ,B(-4,-2)及下列四条曲线: 2 2 (1)4x+2y=3 (2)x +y =3 2 2 2 2 (3)x +2y =3 (4)x -2y =3
3. a ? “

1

其中存在点 P,使 | PA | PB |? |的曲线有( * ) A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(2)(3) D.(2)(3)(4) 7.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足 ( ? f'( ) 0 x 1 x? , ) 则有( * ) A.f(0)+f(-2)<2f(-1) B.f(0)+f(-2)≤2f(-1) C.f(0)+f(-2)>2f(-1) D.f(0)+f(-2)≥2f(-1) 8.已知 a∈R,则函数 f(x)=1+acosax 的图象不可能是( * )

第二部分

非选择题(共 110 分)

二、填空题: (本大题共 7 小题,第 14、15 小题任选一题作答,多选的按第 14 小题给分, 共 30 分) 9.若复数 (1 ? ai) 2 (i 为虚数单位,a∈R)是纯虚数,则复数 1+ai 的模是____*____. 10.数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn,若 an ? 11.已知 f(x)是偶函数,且

1 ,则 S5 等于____*____. n(n ? 2)

?

5 x dx 6,则 ? 0 f( )

?

5 ?5 f (x)dx=___*___.

12.若关于 x 的不等式 |x 3 |x 4 a ?|? ?| 的解集是空集,则实数 a 的取值范围___*___. ? 13.O 是平面α 上一点,A、B、C 是平面α 上不共线的三点,平面α 内的动点 P 满足

OP 0A? ?(AB? AC ,若 ? ? ? )

1 时, PA(PB PC的值为___*___. ? ? ) 2

(说明:下面两题任选一题作答,若两题都作答,则按第 14 题正误给分) 14、 (极坐标与参数方程) 在极坐标系中, 设圆 ? ? 的距离为 d,则 d 的最大值为___*___. 15.(几何证明选讲)如右图所示,已知圆 O 的直径 AB? 6 ,C 为圆 O 上

3 上的点到直线 ? 7 ?? ? ? 2 ( cos sin ) 2

? 一点,且 BC 2.过点 B 的圆 O 的切线交 AC 延长线于点 D,
则 DA=___*___. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,要求写出解答过程和推演步骤) 16.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c.

? ,且△ABC 的面积 S ? 3 ,求 a,b 的值; 3 C sin A B ? 2 A (2)若 sin? ( ? ) sin,试判断△ABC 的形状.
(1).若 c=2, C ? ? 17. (本小题满分 12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都有一部分是一等品,其余

2

是二等品,已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多 0. 25,甲产品为二等 品的概率比乙产品为一等品的概率少 0. 05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; (2)已知生产一件产品需用的工人数和资金数如右 表所示,且该厂有工人 32 名,可用资金 55 万元, 设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(1) 的条件下,求 x、y 为何值时,z=xP 甲+yP 乙最 大,最大值是多少? 18.(本小题满分 14 分)两个相同的正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是正方形 的中心)底面重合组成一个八面体,可放于棱长为 1 的正方体中,重合的底面与正方体 的某一个面平行,各顶点均在正方体的表面上,把满足上述条件的八面体称为正方体的 “正子体” . (1)若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心,求异面直线 DE 与 CF 所成的角; (2)问此正子体的体积 V 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,求出体积大小的取值 范围.

3

19.(本小题满分 14 分)已知⊙Q 过定点 A(0,p)(p>0), 圆心 Q 在抛物线 C:x2=2py 上运动,MN 为圆 Q 在 x 轴 上所截得的弦. (1)当 Q 点运动时, | MN | 是否有变化?并证明你的结论; (2)当 | OA | 是 | OM | 与 | ON | 的等差中项时,试判断抛物 线 C 的准线与圆 Q 的位置关系,并说明理由.

1 2 20. (本小题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn, 函数 f (x) ? px ? 2 (其中 p,q 均为常数,且 p>q>0) ,当 x=a1 时,函数 f(x)取得极小值,点 ( ?) ?ln pq q x x .

q (an,2Sn)(n∈N*)均在函数 y ? 2px2 ? ? f '(x) ?q的图象上, (其中 f'(x)是函数 f(x) x 的导函数) (1)求 a1 的值;
(2)求数列 { a n } 的通项公式; (3)记 bn ?

4S n · q n ,求数列 {b n } 的前 n 项和 Tn. n?3

21.(本小题满分 14 分)定义在 D 上的函数 f(x),如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0, 都有 | f (x |?M成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界.已知 )

1? m ? 2x ? 1?m?2x (1)当 m=1 时,求函数 f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(-∞,0)上是否 为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在[0,1]上是以 3 为上界的有界函数,求实数 m 的取值范围; (3)若 m>0,函数 f(x)在[0,1]上的上界是 M,求 M 的取值范围.
函数 f (x) ?

参考答案
4

一、选择题(每小题 5 分,满分 40 分)

提示:
2 2 4. P?P?? 2?P? .选 B. 21 3 36 P 3 2 3

6.线段 AB 的垂直平分线 l 方程为 x ? ? 8.函数 f(x)的周期为 T ?

3 ,画图知与直线 l 有公共点的曲线有(1)(2)(3) 2

2? ,当振幅小于 1 时,即 a ? 1 .必有 T>2π .而在 C 中,它的 a

振幅小于 1,但它的周期 T<2π ,所以函数 f(x)的图象不可能是 C,故选 C. 二、填空题(每题 5 分) 9. 2 提示: 12.设 f( ) x 3 x 4 x? ? ? ? ,则结合 f(x)的图象得 f(x)的最小值是 1,所以 a≤1. 13.由已知 OPOA?(AB ? AC ,即 AP? ? (AB? AC ? ? ) ) 当? ? 10.

25 42

11.12

12. a≤1

13.0

14.2

15.3

1 1 时,得 AP ? (AB? AC ,?2 AP ?AB A .,即 AP A . ? AC AP ? C ? ? ?B ) 2 2

? ?BP? PC , ?PB ? PC ?PB BP 0 ?

? ? PA · (PB? PC) ?PAO?0
三、解答题(80 分) 16.解:(1) ∵c=2, C ?

? , 3
???3 分

2 a b 2 c C 2 b ab 4 ∴由余弦定理 c ? 2 ? 2 ? abos a ? 2? ? 得

又因为△ABC 的面积等于 3 ,所以

1 absin C ? 3 ,得 ab=4. 2

?a2 ? b2 ? ab? 4 联立方程组 ? 解得 a=2,b=2. ??????6 分 ?ab? 4.
C sin A cos B ? 2 A A ) sin( ) 2 A ? ? (2)由 sin? ( ? ) sin得 sin( B ? B A?sin A B A sin cos cos . Asin ? ) ? 即 sincos? A A? A· (sin B 0 ?????8 分 ,
∴cosA=0 或 sinA-sinB=0 当 cosA=0 时,∵0<A<π ,∴A=

? ,△ABC 为直角三角形 2

5

当 sinA-sinB=0 时,得 sinB=sinA,由正弦定理得 ∴a=b,即△ABC 为等腰三角形. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

b a , ? 2R 2R
12 分

???

P . , ? 甲?P ?025 ?P 乙 甲 17.解:(1)依题意得: ? 解得: ? 1 甲 乙 . , ?P乙 ? ?P ?P ?005

? 0.65, ?0.4.

故甲产品为一等品的概率 P 甲=0.65,乙产品为一等品的概率 P 乙=0.4.??4 分

? 4 x ? 8 y ? 32 , ? 20 x ? 5 y ? 55 , ? (2)依题意得 x、y 应满足的约束条件为 ? ? x ? 0, ? y ? 0, ?
且 z=0.65x+0.4y ??7 分 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部 分) ,即可行域. ?9 分 作直线 l:0.65x+0.4y=0 即 13x+8y=0,把直线 l 向上方平移到 l1 的位置时,直线经过可行域的点 M, 且 l1 与原点的距离最大,此时 z 取最大值.?10 分

, ?4x ? 8y ? 32 解方程组 ? 得 x=2,y=3, . ?20x ? 5y ? 55
???11 分 故 M 的坐标为(2,3),所以 z 的最大值为 zmax ? 0 ? ? . ??. . . 65 0 3 2 2 4 5 18.解:(1)方法 1:如图,设 CA 和 DB 相交于 点 O,依题意,CA、DB、EF 两两垂 直相交于 O,分别以 CA、DB 所在 直线为 x、y 轴建立空间直角坐标 系 O-xyz. ?1 分 因为 AC=1,BD=1,所以 ??12 分

1 1 1 1 D(0,? ,0) , E (0,0, ) , C(? ,0,0) , F (0,0,? ) 2 2 2 2 1 1 1 1 ????3 分 ?DE? ( 0 , , ) , CF ? ( ,0,? ) 2 2 2 2

1 1 1 1 0? ? ??0 ? ? (? ) DE ? CF 2 2 2 2 ? ? 1 ? ? ? , CF ?? cos DE 2 2 2 DE ? | CF | ? 2 2
0

?5 分

因为异面直线所成角为锐角,故异面直线 DE 与 CF 所成的角为 60 . ??7 分

方法 2:

6

依题意, “正子体”任一棱都是正方体相邻两个面中心的连线, ?1 分 因此, “正子体”的所有棱的长均相等,且 E、C、F,A 在同—个平面上,即四边形 ECFA 为菱形. ???????3 分 ∴EA∥CF,故相交直线 DE 与 EA 所成的角就是异面直线 DE 与 CF 所成的角. ??5 分 0 由△ADE 为正三角形,得 DE 与 EA 所成的角为 60 , ?6 分 0 因此,异面直线 DE 与 CF 所成的角为 60 . ??7 分 (2)正子体体积不是定值, ???8 分 设 ABCD 与正方体的截面四边形为 A'B'C'D',设 AA0 x 1 '?( ? ? , x ) 则 AB'=1-x, ??????????9 分

1 1 2 2 AD ??2 2? 2 , ? ( x ?x ) ? x 1) ( 2 2 1 2 故S ??12 分 ?AD [ , ], ? 1 ABCD 2 1 1 1 1 1 1 ????14 分 V ? . SABCDh· 2? ? S ABCD ? ? 2 ? S ABCD ? [ , ] ? 3 3 2 3 6 3 19.解:(1)方法 1:当 Q 点运动时, | ?MN| 没有变化.证明如下:
2 设 Q x , y0),则 x0 ?2py ( p ?0) ,则⊙Q 的半径 | QA|? (0 0 2 ⊙Q 的方程为 (x ? x0 )2 ?(y?y0)2 ? x0 ? (y0 ? p)2 . 2 2 2 令 y=0,并把 x0 ?2py 代入得 x2 ?2x0x ?x ?p ? ,解得 x1=x0-p,x2=x0+p, 0 0 0
2 x ? y ?p 2 , (0 ) 0

? MN| ?x ?x | ? p ?|MN | ? |?不变化,为定值 2p. ????????6 分 | 1 2 2,
方法 2:当 Q 点运动时, | MN | 没有变化.证明如下: ???1 分
2 2 2 设 Q x , y0),则 x ? pyp 0,则⊙Q 的半径 r ? |QA ? x ? y ? ) , | (0 ( ?) 0 ( 0 p 0 2 0

圆心 Q 到 MN 的距离 d 等于点 Q 到 x 轴的距离,所以 d ? y0 由弦长公式得

?3 分

2 2 2 2 2 . 2 20 ( y p y 20 y 2 ? ? py 2 0 | MN|? 2 r2 ?d2 ? x ? 0?) ?0 ? x? ? 0 p y 0 2 ? x ? py P ? | p? p 2 0 2 0? 2 2 | 2 ,

?5 分

? MN| 不变化,为定值 2p |

???6 分

( x p 0 (0 p 0 (2)不妨设 M 0? , ), Nx ? , ),

|OM ON |? | |? 由题意: 2 | OA| ?
p |x p | 0 | ? x p p 得 2 ? 0? | ? x ?p ,? ? 0?
∵Q 到抛物线准线 y ? ? ?8 分

x2 ? p2 p p 的距离 d ?y0 ? ? 0 ........9 分 2p 2 2

7

x2 2 2 ⊙Q 的半径 r ? ) |QA ? x ? y ? ? 2 ? x0 ?( 20 ? p)2 | ? 0 (0 p p
? 1 4 x0 ? 4p4 2p
???11 分

3 2 2 p ? x0 4 2 2 x 0 ? 4 p 4 ( x0 ? p 2 ) 2 ?2x0 ?3p2 2 2 2 ? ?d ? r ? ? ? 2 4 4 p2 4 p2
.

????12 分

又? ?0? ? x p p

3 2 ?x0 ? p2 ? p2 ( p ?0) ,得 r2 ?d2 ?0.故 r>d,即⊙Q 与抛物线的准线总相交. 2 ........................... 14 分 20.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
f x px ? ? () ? ? q ( p )
2 1 px ) q px ?(p?q x?q (x? )( ?q ) , ?????2 分 ? ? x x x

令 f'(x)=0,得 x=1 或 x ?

q q ,? q 0? 0 ? ? 1 p ?, ? p p

????3 分

当 x 变化时 f'(x) 、f(x)的变化情况如下表:

所以 f(x)在 x=1 处取得极小值,即 a1=1. (2)依题意, y ? 2px2 ?

???5 分

q 2 ( ? *) ? f (x) ? q? 2px2 ?px p 2 n ?2p·a ?p?a? ?pn N , ? , S n n x

2 ?a ? p· a ?pa p 21 2 1 1? ?

由 a1=1,得 p=1. ???????????
2 ?n?a ?n?, 2 2n a 1 S

6分



??8 分 ②

2 ∴当 n≥2 时, 2 n? ?2 n? ?a ? ? , S 1 a 1 n1 1 2 ①-②得 2 n ?2 a2 ? an?1 ) ? n ? n 1, a ( n a a?

1 2 2 ?( n ? n 1) ?a ? n1 ? 0 ,?n? n1 (an ?an?1 ? ) ? 0 , 2a a? ( n a?) ( a a?) 2 1 1 由于 a ? n1? ,?n ? n 1 ? (n ? 2) ,所以 {a n }. 是以 a1=1,公差为 的等差数列, 0 a a? n a? 2 2 1 n ?1 ). ? n ? ? (n?1 ? ? a 1 ??????10 分 2 2

8

(3) Sn ? n ?

4Sn n(n ? 1) 1 n 2 ? 3n · ? ,由 bn ? · q n ? nqn , n?3 2 2 4
③ ???12 分

?11 分

所以 T ?q? 2q2 ? 3q3 ? ? ?1 qn?1 ? nq n , (n ? ) n 已知 p>q>0,而由(2)知 p=1,∴q≠1.
n ? 1 ( ) n ? n ?q2 ? 2 q 3 ? 3q 4 ? ? ? qn ? nq ?1 , qT

④ ????13 分

( n 1 ) n ? n ? 1 qq 1 由③-④得: ( q? qq? qnq , 1) q 2 3 ?1 n n? ?n ?? T ? q??? ?? nq 1 ? q
?Tn ?

q (1 ? q n ) nq n ? 1 ? 1? q 1? q

??14 分

21.解:(1)当 m=1 时, f (x) ?
x

1? 2x 2 ? ?1 x 1? 2 1 ? 2x

......1 分

∵x<0,∴0<2 <1, ................................... 2 分 ∴f(x)∈(0,1),满足 | f (x |?1 ) ∴f(x)在(-∞,0)上为有界函数, ???3 分 (2)若 f(x)在[0,1]上是以 3 为上界的函数,则有 | f (x |?3在[0,1]上恒成立. )

?1 ? m ? 2 x ?3 ?0 ? 1 m2 ? ? x ∴-3≤f(x)≤3,即 ?3? ?3,? ? 1?m?2 x 1m x ? ?2 ?1 ? m ? 2 ? 3 ? 0 ? 1?m?2x
x
? ? m ? 2 x?2 ? 2 1 1 ? 0 , ?m ? ? x 或m ? ? x ?1 ? ? x ? 1? m ?2 2 2 ? 化简得: ? 即? x ?1 ? 2 1 ?4 ?m ?2 ? m?? 或m?? x ? 0, ? x ? 1? m ?2x 2 2 ? ?

????5 分

??13 分

上面不等式组对一切 x∈[0,1]都成立,

1 ? ? m ? ? 1或 m ? ? 4 1 ? ??2 m ? ? m ?或 故取 ? 4 ? m ? ? 2或 m ? ? 1 ? 2 ? 2 (3) f(x ? 1 , ) ?? 1? m ? 2x ?? , x? 01 , m0 [ ,]

?????8 分

∴f(x)在[0,1]上递减, ????????9 分 ∴f(1)≤f(x)≤f(0) 即 ,

1?2m 1? m ? f (x) ? 1?2m 1? m

????10 分

①当

1?m 1?2m 1? m 1? m 2 ? ] 时, | f ( x) | ? ,即 m?(0 , ,此时 M ? ; ?11 分 2 1? m 1? 2m 1? m 1? m

9

②当

1?m 1?2m 1 ? 2m 1 ? 2m 2 ?) ,即 m ? ( ,此时 M ? ? ,??) 时, | f (x | ? 2 1? m 1? 2m 1 ? 2m 1 ? 2m
?????12 分

综上所述,当 m?(0,

1? m 2 ,??) ; ) 时,M 的取值范围是 [ 2 1? m

?13 分

当 m?(

1? m 2 ,??) ,?? 时,M 的取值范围是 [ ) 2 1? m

??????14 分

10


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