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山东省潍坊中学2016届高三11月月考数学试卷


数 学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | x ? a?,若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围是 (A) a ? 2 2 (B) a ? ?2 (C) a ? ?1 ) (D) ? 1 ? a ? 2

( )

? x1 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 6 是? 成立的( ? ? x 2 ? 3 ? x1 x 2 ? 9

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分 也不必要条件 3..已知命题 p:存在 x∈R,使 sin x-cos x= 3,命题 q:集合{x|x2-2x+1=0,x∈R}有 2 个子集,下列结论:①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且? q”是假命题;③命题 “? p 或? q”是真命题,正确的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3

A.

4.设函数 f ( x) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 5.设函数 f(x)= B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 ) 1 (B)在区间( ,1)内有零点,在区间(1,e) e

x ? ln x (x>0),则 y=f(x)( 3

1 (A)在区间( ,1),(1,e)内均有零点 e 内无零点 1 (C)在区间( ,1),(1,e)内均无零点 e 内有零点 6.. " x ? 2或y ? 3" 是 " x ? y ? 5"的 (A)充分必要条件 也不必要条件 (B)充分而不必要条件

1 (D)在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e) e

( (C)必要而不充分条件 (D)既不充分

)

π π 7.设函数 f(x)=x·sinx,若 x1,x2∈[- , ],且 f(x1)>f(x2),则下列不等式恒成立 2 2 的是( ) (B)x1<x2 (C)x1+x2>0
2 (D) x1 ? x2 2

(A)x1>x2

1

8.已知函数 f ( x)满足f ( x) ? f (? ? x), 且当x ? (? A. f (1) ? f (2) ? f (3) C. f (3) ? f (2) ? f (1)
n 2

? ?

, ) 时, f ( x) ? x ? sin x, 则( 2 2



B. f (2) ? f (3) ? f (1) D. f (3) ? f (1) ? f (2)
y
0 .5

9.函数 f ( x) ? ax (1 ? x) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 n 可 能是( ) (A)4

x
(B) 3 (C) 2 (D) 1
O
0 .5

1

f?x? 10.已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f ?( x) ,当 x≠0 时, f ?( x) + >0,若 a= x

1 1 f ( ), 2 2
1 b=-2f(-2),c=ln f(-ln 2),则下列关于 a,b,c 的大小关系正确的是( 2 A.a>b>c B.a>c>b C. c>b>a D.b>a>c )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.中学联盟网 11.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是 12 .设函数 f ( x) ? x ln( ? x ?
2

x 2 ? 1) ? 1 ,若 f (a) ? 11 ,则 f (?a ) =_______

13 若函数 f(x)= log 2 ( x 2 ? ax ? 3a ) 在区间[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 14.若方程 x ? (k ? 2) x ? 2k ? 1 ? 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,
2

则 k 的取值范围 ___________ 。 15. 已知 f (x)是定义在实数集上的函数, 且 f (x ? 2) ?

1 ? f (x) 1 , f (1) ? , 则 f (2015) = 4 1 ? f (x)

__________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)中学联盟网
2 (1) 命题 p:“ ?x ? [1,2], x ? a ? 0 ” ,命题 q:“ ?x 0 ? R, x 0 ? 2ax 0 ? 2 ? a ? 0 ” ,若

2

“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围。

2

(2). 已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 , q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 ? m ? 0 ? ,若 p 是 q 的必要而不充分 3

必要条件,求实数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分)

?2 x ? b 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 奇函数. 2 ?a
(1)求 a,b 的值; (2)解关于 t 的不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.

18.(本小题满分 12 分)山东中学联盟 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)求-1≤x≤3 时,f(x)的解析式,

(3)当-4≤x≤4 时,求方程 f(x)=m (m<0)的所有实根之和.

19. (本小题满分 12 分)
3

x a 3 已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直 4 x 2 线 y=

x . 2

(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

20.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? ( x ? ax ? a )e
2 ?x

(a ? 2, x ? R).

(1)当 a=1 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f ( x) 的极大值为 3 ?若存在,求出 a 的值,若不存在,说明 理由.

21. (本小题满分 14 分)山东省中学联盟 设关于 x 的函数 f ( x) ? mx ? (2m ? 4m ? 1) x ? (m ? 2) ln x ,其中 m 为实数集 R 上的常
2 2

数,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 0.

4

(1)已知函数 f ( x) 的图象与直线 y ? k 有两个不同的公共点,求实数 k 的取值范围; ( 2 )设函数 g ( x) ? ( p ? 2) x ?

p?2 , 其中 p ? 0 ,若对任意的 x ? [1, 2] ,总有 x

2 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? 2 x 2 成立,求 p 的取值范围.

一.选择题 CACAD, CDDD 二.11. ? 0, ? e

? ?

1? ?

12. ?9

13 ? ?4, 4?

14.. ? , ?

?1 2? ?2 3?

15. ?

3 5

16. 解(1)若 P 是真命题.则 a≤x2,∵x∈[1,2],∴a≤1; 若 q 为真命题,则方程 x2+2ax+2-a=0 有实根, ∴⊿=4a2-4(2-a)≥0,即,a≥1 或 a≤-2, p 真 q 也真时 ∴a≤-2,或 a=1
a ? (?2,1) ? (1,??)

若“p 且 q”为假命题 ,即

(2) 、解:由 x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ≤ 0 得 1 ? m ≤ x ≤ 1 ? m ? m ? 0 ? . 所以“ ?q ” : A ? ? x ? R x ? 1 ? m或x ? 1? m,m ? 0? . 由 1?
x ?1 : B ? ? x ? R x ? 10或x ? ?2? . ≤ 2 得 ?2 ≤ x ≤ 10 ,所以“ ?p ” 3

由 ?p 是 ?q 的充分而不必要条件知

?m ? 0, ? B ? A ? ?1 ? m ≥ ?2, ? 0 ? m ≤ 3 故 m 的取值范围为 0 ? m ≤ 3 ?1 ? m ≤ 10. ?
17. 解 (1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, -1+b -2x+1 即 =0,解得 b=1,所以 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a

中学联盟网

5

1 -2+1 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- .解得 a=2. 4+a 1+a -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =-2+ x . 2 +2 2 +1 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数 f(x)在 R 上是减 函数). 又因为 f(x)是奇函数,所以不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2 +1). 因为 f(x)是减函数, 由上式推得 t2-2t>-2t2+1, 即 3t2-2t-1>0, 解不等式可得{t|t>1 1 或 t<-3}.

18.解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2) f ( x) ? ?

? x, ?1 ? x ? 1 ?2 ? x, ?1 ? x ? 1

(3 由已知得 f (2 ? x) ? ? f (x) ? f (? x) ,所以. f(x)关于 x=1 对称,m<0 时,当方程 f(x)=m 有四个根 x1 , x2 , x3 , x4 ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) 时 ,由对称性可知 x2 ? x3 ? 2, x1 ? x4 ? 2 ,所有实 根 之 和 为 4 ; 当 方 程 f(x)=m 有 两 个 根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 时 ,由 图像 可知

x1 ? ?1, x2 ? 3, x1 ? x2 ? 2 ,所有实根之和为 2
1 a 1 19.解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- , 4 x x 1 由 f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于直线 y= x 2 3 5 知 f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 4 4 x2-4x-5 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- , 则 f′(x)= , 4 4x 2 4x2 令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5,因 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x) 在(5,+∞)内为增函数. 20.解: (1)当 a=1 时, f ( x) ? ( x ? x ? 1)e ; f ( x) ? e
2 ' ?x ?x

(? x 2 ? x) ?????2 分

6

当 f ( x) ? 0时,0 ? x ? 1.当f ( x) ? 0时x ? 1或x ? 0
' '

∴f(x)的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为(-∞,0) (1,+∞)中学联盟 ????????4 分 (2) f ( x) ? (2 x ? a )e
' ' ?x

? e ? x ( x 2 ? ax ? a ) ? e ? x [? x 2 ? (2 ? a ) x] ???6 分

令 f ( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a 列表如下: (-∞,0) 0 0 极小
a ?2

(0,2-a) +

2 -a 0 极大

(2-a, +∞) -

f ' ( x)
f ( x)



由表可知 f ( x) 极大 ? f (2 ? a ) ? (4 ? a )e 设 g ( a ) ? ( 4 ? a )e
a ?2

??????8 分 ?????10 分

, g ' (a ) ? (3 ? a )e a ? 2 ? 0

? g (a )在(??,2)上是增函数,? g (a ) ? g (2) ? 2 ? 3 ? (4 ? a )e a ? 2 ? 3
∴不存在实数 a 使 f(x)最大值为 3。 ??????12 分

21(Ⅰ) f ?( x) ? 2mx ? (2m 2 ? 4m ? 1) ?

m?2 因为函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 0 x

? f ?(1) ? 2m ? (2m 2 ? 4m ? 1) ? m ? 2 ? ?2m 2 ? m ? 1 ? 0 ? 得: ? 解得 m ? ?1 ? 2 2 ? ? f (1) ? m ? (2m ? 4m ? 1) ? ?2m ? 3m ? 1 ? 0 (?2 x ? 1)( x ? 1) 1 则 f ?( x) ? ( x ? (0, ??)) 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ? (舍去) x 2 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .

所以函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减. 所以当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极大值,即最大值为 f (1) ? ln1 ? 12 ? 1 ? 0 所以当 k ? 0 时,函数 f ( x) 的图象与直线 y ? k 有两个交点 (Ⅱ)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? 2 x 2 ? 2 ln x ? px ?
p?2 x

若对任意的 x ? [1, 2] , 2 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? 2 x 2 恒成立, 则 F ( x) 的最小值 F ( x) min ? 0 (? )

2 p ? 2 ? px 2 ? 2 x ? ( p ? 2) ? p? 2 ? x x x2 2x ? 2 (1)当 p ? 0 时, F ' ( x) ? ? 0 , F ( x) 在 [1, 2] 递增 x2 所以 F ( x) 的最小值 F (1) ? ?2 ? 0 ,不满足( ? )式 所以 p ? 0 不成立 F ' ( x) ?
7

? p ( x ? 1)( x ?
(2)当 p ? 0 时 F ' ( x) ? ①当 ?1 ? p ? 0 时, 1 ?

p?2 ) p

x2
2 ? ?1 ,此时 F ( x) 在 [1, 2] 递增, F ( x) 的最小值 p 2 ? 1 , F ( x) 在 [1, 2] 递增, p

F (1) ? ?2 p ? 2 ? 0 ,不满足( ? )式

②当 p ? ?1 时, ?1 ? 1 ?

所以 F ( x) min ? F (1) ? ?2 p ? 2 ? 0 ,解得 p ? ?1 ,此时 p ? ?1 满足( ? )式 ③当 p ? ?1 时, F ( x) 在 [1, 2] 递增, F ( x) min ? F (1) ? 0 , p ? ?1 满足( ? )式 综上,所求实数 p 的取值范围为 p ? ?1

8


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