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1.11.4复数的概念及运算


11.4 复数的概念及运算

考纲点击 1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.理 解复数相等的充要条件. 2.掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数形式的加 法、减法、乘法、除法运算. 3.了解从实数系到复数系的关系及扩充的基本思想.

说基础
课前预习读教材

考点梳理 一、复数的有关概念

1.复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是它 的①______和②______.若③______,则 a+bi 为实数,若④ ______,则 a+bi 为虚数,若⑤____________,则 a+bi 为纯 虚数. 2.复数相等: a+bi=c+di?⑥__________(a,b,c,d ∈R). 3.共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?⑦________(a,b,c, d∈R).

4.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.⑧ 10 ______ 叫做实轴,⑨ ______ 叫做虚轴.实轴上的点都表示○ ______;除原点外,虚轴上的点都表示?__________;各象限 内的点都表示?____________. 复数集 C 和复平面内的?______组成的集合是一一对应 的, 复数集 C 与复平面内所有以?______为起点的向量组成的 集合也是一一对应的. 5.复数的模 → 的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|, 向量OZ 即|z|=|a+bi|=?__________.

二、复数的运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=?______________. (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=?____________. (3)乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=?____________. z1 a+bi ?a+bi??c-di? (4)除法:z = = =?______________(c c+di ?c+di??c-di? 2 +di≠0).

2.复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3∈C, 有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

答案: ①实部 ⑥a=c 且 b=d 虚数

②虚部 ③b=0 ④b≠0 ⑤a=0 且 b≠0 ? ?a=c, ⑦? ⑧x 轴 ⑨y 轴 ⑩实数 ?纯 ? b =- d ?

?实部不为 0 的虚数 ?点 ?原点 ? a2+b2 ? (a + c) + (b + d)i ? (a - c) + (b - d)i ? (ac - bd) + (ad ac+bd+?bc-ad?i +bc)i ? c2+d2

考点自测 1.i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则( A.i∈S B.i ∈S
2

) 2 D. i ∈S

C.i ∈S

3

解析:∵i2=-1,∴-1∈S,故选 B. 答案:B

1 2.复数-i+ i =( ) 1 A.-2i B.2i C.0 D.2i

解析:原式=-i+(-i)=-2i. 答案:A

1+2i 3.若 z= i ,则复数 z =( A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i

)

1+2i i?1+2i? 解析:z= i = i2 =-(i-2)=2-i,故 z =2+i. 答案:D

a+i 4.a 为正实数,i 为虚数单位,| i |=2,则 a=( A.2 B. 3 C. 2 D.1

)

a+i a+i 解析:由已知| i |=2 得| i |=|(a+i)· (-i)|=|1-ai|=2, 所以 1+a2=2,∵a>0,∴a= 3. 答案:B

1+i 1-i 5.若复数 z= +m· (i 为虚数单位)为实数,则实数 1-i 1+i m=________.

解析:原复数化为 z=i-mi=(1-m)i,要保证其为实数, 则应有 1-m=0,∴m=1. 答案:1

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.对于复数 z=a+bi 必须满足 a、b 均为实数,才能得出 实部为 a,虚部为 b.对于复数相等必须先化为代数形式才能比 较实部与虚部. 2.复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重 要的方法,其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及 性质.应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、 求复平面上动点的轨迹等问题.

题型探究 题型一 复数的概念 m2-m-6 例 1 当实数 m 为何值时,z= +(m2+5m+6)i. m+3 (1)为实数;(2)为虚数;(3)是纯虚数;(4)复数 z 对应的点 在复平面的第二象限内.

解析: (1)若 z
2 ? ?m +5m+6=0, 为实数,则? ? ?m+3≠0,

得 m=-2.

(2)若 z 为虚数,则 m2+5m+6≠0, 得 m≠-2,且 m≠-3 且 m∈R. ?m2-m-6 ? =0, (3)若 z 为纯虚数,则? m+3 2 ? ?m +5m+6≠0 得 m=3.

(4)若复数 z 对应点在第二象限, ?m2-m-6 ? <0, 则? m+3 2 ? ?m +5m+6>0
? ?m<-3,或-2<m<3, ?? ? ?m<-3,或m>-2.

∴m<-3,或-2<m<3. 点评: 本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意 义,本题中给出的复数采用的是标准的代数形式,若不然,则 应先化为代数形式后再依据概念求解.

m?m+2? 变式探究 1 已知 m∈R,复数 z= +(m2+2m- m-1 1)i,当 m 为何值时:(1)z∈R;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数.

解析:(1)当 m2+2m-1=0 且 m-1≠0, 即 m=-1± 2时,z 为实数; (2)当 m2+2m-1≠0 且 m-1≠0. 即 m≠-1± 2且 m≠1 时,z 为虚数; m?m+2? (3)当 =0 且 m2+2m-1≠0, m-1 即 m=0 或-2 时,z 为纯虚数.

题型二 复数的运算 例 2 计算: ?2+2i?4 (1) ; ?1- 3i?5 ? -2 3+i ? ? 2 ?2 008 (2) + . ? 1 - i 1+2 3i ? ? ?

解析: ?2+2i?4 (1) 5= ?1- 3i?

24?1+i?4 ? 1 3? 5? 5 ?-2? ?- + i? 2 ? ? 2 ? ? 1 24?2i?2 3? ? ? =- ? = 2 ?-2+ 2 i?=-1+ 3i. ? 1 3 ?2 ? ? 5? 2 ?- + i? 2 ? ? 2 1004 ? -2 3+i ? - 2 3 + i 2 2 ?2 008 (2) +? = + ? 1 - i ?-2i?1004 1+2 3i ? 1 + 2 3i ? ? ?-2 3+i?i 1 = +i1004=i+1 i-2 3

点评:复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含 有虚数单位 i 的看作一类同类项, 不含 i 的看作另一类同类项, 分别合并即可,但要注意把 i 的幂写成最简单的形式,在运算 过程中,要熟悉 i 的特点及熟练应用运算技巧.

变式探究 2 计算: ?-1+i??2+i? (1) ; i3 ?1+2i?2+3?1-i? (2) ; 2+i 1-i 1+i (3) + ; ?1+i?2 ?1-i?2 1- 3i (4) . ? 3+i?2

解析: ?-1+i??2+i? -3+i (1) = =-1-3i. i3 -i ?1+2i?2+3?1-i? -3+4i+3-3i i ?2 - i ? 1 2 i (2) = = = 5 =5+5i. 2+ i 2+ i 2+ i 1- i 1+i 1-i 1+i 1+i -1+i (3) + = + = + 2 =-1. ?1+i?2 ?1-i?2 2i -2i -2 1- 3i ? 3+i??-i? -i ?-i?? 3-i? 1 3 (4) = = = =- - i. 2 2 4 4 4 ? 3 + i? ? 3 + i? 3+i

题型三 复数的几何意义 例 3 若复数 z 满足|z+ 3+i|≤1,求: (1)|z|的最大值和最小值; (2)|z-1|2+|z+1|2 的最大值和最小值.

解析: (1)如图所示: → |= ? 3?2+12=2. |OM ∴|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1. (2)|z-1|2+|z+1|2=2|z|2+2. ∴|z-1|2+|z+1|2 最大值为 20,最小值为 4.

点评: 明确满足条件|z+ 3+i|≤1 的复数 z 的几何意义为: 圆心为(- 3,-1),半径为 1 的圆内包括边界.|z|则表示圆面 → 对应的复数模为最大值.OB → 上一点到原点的距离. 如图所示.OA 对应的复数模为最小值.

变式探究 3 若复数|z-3i|=5,求|z+2|的最大值和最小值.

解析: 如图, 满足|z-3i|=5 的复数 z 所对应的点是以 C(0,3) 为圆心,5 为半径的圆. |z+2|表示复数 z 所对应的点 Z 和点 A(-2,0)的距离, 由题 设 z 所对应的点在圆周上,而此圆周上的点到点 A 距离的最大 值与最小值是过 A 的圆周的直径被 A 点所分成的两部分. ∴|AC|= ?-2-0?2+?0-3?2= 13. ∴|z+2|max=5+ 13,|z+2|min=5- 13.

归纳总结 ?方法与技巧 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低 次方根.除法实际上是分母实数化的过程. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形 法则的方向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结合. 1 3 3.要记住一些常用的结果,如 i、-2+ 2 i 的有关性质等 可简化运算步骤提高运算速度.

?失误与防范 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需 考虑它的实部是否有意义. 2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解, 判别式不再成立.因此解此类方程的解,一般都是将实根代入 方程,用复数相等的条件进行求解. 3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c, d∈R 的前提条件. 5.z2<0 在复数范围内有可能成立,例如:当 z=3i 时 z2 =-9<0.

新题速递 -3+i 1.(2012· 新课标全国卷)复数 z= 的共轭复数是( 2+i A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i )

-3+i -5+5i 解析:z= = 5 =-1+i, 2+i 所以 z =-1-i,所以选 D. 答案:D

2.(2012· 江西卷)若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的 共轭复数,则 z2+ z 2 的虚部为( ) A.0 B.-1 C.1 D.-2

解析:(方法一)由 z=1+i 知, z =1-i,z2+ z 2=(1+i)2 +(1-i)2=2i+(-2i)=0,其虚部为 0.故应选 A. (方法二)由 z=1+i 知, z =1-i, z2+ z 2=(z+ z )2-2z z = 4-4=0,其虚部为 0.故应选 A. 答案:A

(

10i 3.(2012· 北京卷)在复平面内,复数 对应的点的坐标为 3+i ) A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,3) D.(3,-1)
10i?3-i? 10+30i 10i 解析: = = 10 =1+3i. 3+i ?3+i??3-i? 10i ∴复数 对应的点坐标为(1,3). 3+i 答案:A

3-i 4.(2012· 上海卷)计算: =__________(i 为虚数单位). 1+i

3-i ?3-i??1-i? 2-4i 解析: = = 2 =1-2i. 1+i ?1+i??1-i? 答案:1-2i

3+bi 5.(2012· 湖北卷)若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单 1-i 位),则 a+b=__________.

3+bi ?3+bi??1+i? 3-b ?b+3?i 解析: = = 2 + 2 = a + bi ,即 1-i ?1-i??1+i? ? ?3-b=a, ? 2 ? 解得 a=0,b=3.∴a+b=3. ?b+3 =b, ? ? 2 答案:3


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