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三角函数应用


解直角三角形应用 仰角、俯角 当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水 平线下方的角叫做俯角.

例:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30o,看这栋离楼 底部的俯角为 60o,热气球与高楼的水平距离为 120 m.这栋高楼有多高(结果精 确到 0.1m)?

例:如图,一艘海轮位于灯

塔 P 的北偏东 65 方向,距离灯塔 80 海里的 A 处, 它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 34 方向上的 B 处.这 时,海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远?

1

坡度与坡角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度(或叫做坡比) ,一般用 i 表示。 即i= ,常写成 i=1:m 的形式如 i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α 叫做坡角. 结合图形思考,坡度 i 与坡角α 之间具有什么关系? 这一关系在实际问题中经常用到。

例:同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图 6-33
水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽 6m,坝高 23m,斜坡 AB 的坡度 i=1∶3,斜坡 CD 的坡 度 i=1∶2.5,求斜坡 AB 的坡面角α ,坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长(精确到 0.1m)

练习: (1)一段坡面的坡角为 60° ,则坡度 i=______; ______, 坡角 ? ______度. 2、利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为 0.6 米的一块(图阴影部分是挖去部分),已 知渠道内坡度为 1∶1.5,渠道底面宽 BC 为 0.5 米,求: ①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积; ②修一条长为 100 米的渠道要挖去的土方数.

2

例.(2015 中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形 BACD,其中 AB∥CD.瞭望台 PC 正前方水面上有两艘渔船 M、N,观察员在瞭望台顶端 P 处观测渔船 M 的俯角 ? ? 31? ,观 测渔船 N 在俯角 ? ? 45? ,已知 NM 所在直线与 PC 所在直线垂直,垂足为点 E,PE 长为 30 米. (1)求两渔船 M,N 之间的距离(结果精确到 1 米) ; (2)已知坝高 24 米,坝长 100 米,背水坡 AD 的坡度 i ? 1: 0.25 .为提高大坝防洪能力, 某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固,加固后坝定加宽 3 米,背水坡 FH 的坡度为

i ? 1:1.5 ,施工 12 天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提
高到原来的 1.5 倍,结果比原计划提前 20 天完成加固任务,施工队原计划平均每天填 筑土石方多少立方米? (参考数据: tan 31? ? 0.60,sin 31? ? 0.52 )

J
β

α

P

C M N E

D

F

B
24题图

A

H

3

练习: o 1.某船向正东航行,在 A 处望见灯塔 C 在东北方向,前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30 , 又航行了半小时到 D 处,望灯塔 C 恰在西北方向,若船速为每小时 20 海里,求 A、D 两点 间的距离。 (结果不取近似值)

2.三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地,也是国家 AAA 级游览景区.它的主峰海 拔约为 600 米,主峰 AB 上建有一座电信信号发射架 BC ,现在山脚 P 处测得峰顶的仰角

tan ? ? 为 ? ,发射架顶端的仰角为 ? ,其中 tan ? ? ,

3 5

5 ,求发射架高 BC . 8

C

发射架 山顶 600 米

B

P

? ?
A

4

3.如图,一艘渔船在 A 处观测到东北方向有一小岛 C,已知小岛 C 周围 4.8 海里范围内是 水产养殖场.渔船沿北偏东 30° 方向航行 10 海里到达 B 处, 在 B 处测得小岛 C 在北偏东 60° 方向,这时渔船改变航线向正东(即 BD)方向航行,这艘渔船是否有进入养殖场的危险?

图 17

4. 如图, 某幢大楼顶部有一块广告牌 CD , 甲、 乙两人分别在相距 8 米的 A, B 两处测得 D 点和 C 点的仰角分别为 45 和 60 ,且 A,B,E 三点在一条直线上.若 BE ? 15 米,求这 块广告牌的高度. (取 3 ≈1.73 ,计算结果保留整数) C D

A

45

B

60

E

5

5.右图为住宅区的两幢楼,它们的高度都是 30 米,两楼间的水平距离 AC=24 米,现需了 解甲楼对乙楼采光情况的影响,当太阳光线与水平光线的夹角为 30? 时,求甲楼的影子落 在乙楼上的高度。 (精确到 0.1 米) E
B D

A

C
A

6.为改善石岛的交通状况。在大街拓宽工程中,要伐掉一棵树 AB,在地面上事先划定以 B 为圆心,半径与 AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离 B 点 3 米远的 D 处,从 C 点测得 树的顶端 A 点的仰角为 60°,树的底部 B 点的俯角为 30°. 问:距离 B 点 8 米远的保护物是否在危险区内?

A

C D

60?
30?

B

6

7.下图是一座人行天桥的示意图,天桥的高是 10 米,坡面的倾斜角为 45? .为了方便行人 推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面的倾斜角为 30? ,若新坡角下需留 3 米的 人行道,问离原坡角 10 米的建筑物是否需要拆除?
C

10
D

3

A

B

8.一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60° 的方向出港观光,航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻 沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故 船在它的北偏东 37° 方向,马上以 40 海里每小时的速度前往救援,求海警船到达事故船 C 处所需的大约时间. (温馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)

7

9.海中两个灯塔 A、B,其中 B 位于 A 的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点 C 处测得灯塔 A 在西北方向上,灯塔 B 在北偏东 30° 方向上,渔船不改变航向继续向东 航行 30 海里到达点 D, 这是测得灯塔 A 在北偏西 60° 方向上, 求灯塔 A、 B 间的距离. (计 算结果用根号表示,不取近似值)

10.如图,山坡上有一棵树 AB,树底部 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 6 米,山坡的坡角 为 30° .小宁在山脚的平地 F 处测量这棵树的高,点 C 到测角仪 EF 的水平距离 CF=1 米,从 E 处测得树顶部 A 的仰角为 45° ,树底部 B 的仰角为 20° ,求树 AB 的高度. (参考数值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)

8

11.如图所示,成渝高铁全长 308km.计划于 2015 年 10 月 1 日通车运营,成渝两地迈入 1 小时经济圈. 经测量, 森林保护区中心 M 在成都的南偏东 80° 和重庆的南偏西 53° 的方 向上.已知森林保护区的范围在以 M 点为圆心,40km 为半径的圆形区域内. (1)请问:成渝高铁会不会穿越保护区? 为什么? (2)求重庆到森林保护区中心 BM 的距离.(精确到 0.1) (tan80° ≈5.67,tan53° ≈1.33,cos53° ≈0.60,sin53° ≈0.80)

第 22 题图

12.重庆市铜梁区政府为做大乡村旅游,打造了“五朵金花” ,其中西边 A 处有“万亩生态 湿地荷花园” ,东边 B 处有“沙心玫瑰园” ,为了落实这一举措,区政府计划在 A、B 两旅 游景点之间修建一条公路 AB.已知公路 AB 的一侧有“四季花海”景点 C,在公路 AB 上 的 M 处测得景点 C 在 M 的北偏东 53° 方向上,从 M 向东走 300 米到达 N 处,测得景点 C 在 N 的东北方向上,且景点 C 周围 800 米范围内为“四季花海” . (1)为了保护“四季花海”不被修建公路破坏,那么修建的公路 AB 是否需要改道? 请说明理由.

60 ,cos 37? ? 0. 80 , (2) 求点 M 到景点 C 的距离是多少米? (参考数据:sin 37? ? 0. tan 37? ? 0. 75 )
C 53° A M N 第 22 题图 B

9

13.如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图,上桥通道由两截互相平行并且与地面成 37? 角的楼梯 AD、 BE 和一段水平平台 DE 拼成, 已知天桥高度 BC ? 4.8 米, 引桥水平跨度 AC ? 8 米. (1)求水平平台 DE 的长度; (2)若与地面垂直的平台 MN 的高度为 3 米,求两段楼梯 AD 与 BE 的长度之比. (参考数据: sin 37? ? 0.60 , cos37? ? 0.80 , tan 37? ? 0.75 )

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课后练习: 1、sin45°-tan60°+cos30°=________ 2、在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°AC=1,BC=5,则 sinB=______tanB=______cosB=_____ 3、等腰三角形的一腰长为 2cm,腰上的高是 1cm,则顶角的度数为 4、在△ABC 中,若∣tanA- 3 ∣+(cosB -

1 2 ) =0,则△ABC 的形状是 2

5、某人沿坡度 i=1: 3 的山坡向上走了 100 米,则他上升的高度为 6.如图,重庆某广场新建与建筑物 AB 垂直的空中玻璃走廊 PD 与 AB 相连,AB 与地面 l 垂直。在 P 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 37°,测得建筑物 C 处的仰角为 26.6°(不计测 量人员的身高) ,CD 为 25 米。图中的点 A、B、C、D、 P 及直线 l 均在同一平面内。 (1)求 A、C 两点的高度差(结果精确到 1 米) ; (2) 为方便游客, 广场从地面 l 上的 Q 点新建扶梯 PQ, PQ 所在斜面的坡度 i ? 1: 2 , P 到地面 l 的距离 PE 为 10 米。一广告牌 MN 位于 EB 的中点 M 处,市政规划 要求在点 Q 右侧需留出 11 米的行车道,请判断是否需 要挪走广告牌 MN,并说明理由。 ( 参 考 数 据 : sin 26.6 ? 0.45 , tan 26.6 ? 0.5 ,

sin 37 ? 0.6 , tan 37 ? 0.75 , 2 ? 1.414 )

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7.重庆市是著名的山城,许多美丽的建筑建在山上.如图,刘老师为了测量小山项一建筑物 DE 的高度,和潘老师一起携带测量装备前往测量.刘老师在山脚下的 A 处测得建筑物顶 端 D 的仰角为 53° ,山坡 AE 的坡度 i=1:5,潘老师在 B 处测得建筑物顶端 D 的仰角为 45° , 若此时刘老师与潘老师的距离 AB=200 m , 求建筑物 DE 的高度.( sin 53? ?

3 4 cos 53? ? , , 5 5

tan 53? ?

4 ,结果精确到 0.1 m ) 3

12


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