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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标II卷,解析版1)


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 数 学 (文科)

注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名\准 考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其

他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 M ? { x | ? 3 ? x ? 1} , N ? { ? 3, ? 2, ? 1, 0,1} ,则 M ? N ? ( (A) { ? 2, ? 1, 0,1} 【答案】C 【解析】因为 M ? { x ? 3 ? x ? 1} , N ? { ? 3, ? 2, ? 1, 0,1} ,所以 M ? N ? { ? 2, ? 1 ,0 } ,选 C.
2 1? i



(B) { ? 3, ? 2, ? 1, 0} (C) { ? 2, ? 1, 0}

(D) { ? 3, ? 2 , ? 1}

2、

? (



(A) 2 2 【答案】C 【解析】
2 1? i ?

(B) 2

(C) 2

(D) 1

2 (1 ? i ) (1 ? i )(1 ? i )

?

2 (1 ? i ) 2

? 1 ? i ,所以

2 1? i

?

2 ,选 C.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 3、设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ? x ? 3, ?



(A) ? 7 【答案】B

(B) ? 6

(C) ? 5

(D) ? 3

-1-

【解析】由 z=2x-3y 得 3y=2x-z,即 y ? 线y ?
2 3 x? z 3

2 3

x?

z 3

。作出可行域如图 经过点 B 时,直线 y ?
2 3 x? z 3

,平移直 的截距最大,

,由图象可知当直线 y ?

2 3

x?

z 3

此时 z 取得最小值,由 ?
z ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? 6 ,选 B.

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? 3

得?

?x ? 3 ?y ? 4

, 即 B ( 3 , 4 , 代 入 直 线 z=2x-3y 得 )

4、 ? A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b ? 2 , B ? 面积为( (A) 2 3 ? 2 【答案】B 【解析】因为 B ?
?
6 ,C ?

?
6

,C ?

?
4

,则 ? A B C 的

) (B) 3 ? 1
?
4 7? 12

(C) 2 3 ? 2

(D) 3 ? 1

,所以 A ?

.由正弦定理得

b s in

?
6

?

c s in

?
4

,解得 c ? 2 2 。




7? i n ? 1 2




?


?


3 n? ( 4




2 ? ) 2



1 2

b c s in A ?

1 2

?2?2

2 s in

7? 12

.





s

s? i 3

2 ? 2

1 ? 2 1 2

2 ? 2

, ( ?
2

3

1 2

所 )
2



1 2

b s

?c i

n A ?

2 2

3 2 ,选 B. 2 ? 2

?

(

?

)

3

5、 设椭圆 C :

x a
?

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、 P P 右焦点分别为 F1 , F 2 , 是 C 上的点, F 2 ? F1 F 2 ,

? P F1 F 2 ? 3 0 ,则 C 的离心率为(
3 6
1 3


1 2

(A)

(B)

(C)

(D)

3 3

【答案】D
? 【解析】因为 P F2 ? F1 F2 , ? P F1 F2 ? 3 0 ,所以 P F 2 ? 2 c ta n 3 0 ?

?

2 3 3 3 3

c , P F1 ?

4 3 3

c 。又

P F1 ? P F 2 ?

6 3 3

c ? 2 a ,所以

c a

?

1 3

?

3 3

,即椭圆的离心率为

,选 D.
-2-

6、已知 sin 2 ? ? (A)
1 6

2 3

,则 c o s (? ?
2

?
4

)? (

) (C)
1 2

(B)

1 3

(D)

2 3

【答案】A 【 解 析 】 因 为 c o s (? ?
2

?
4

1 ? c o s 2 (? ? )? 2 2

?
4

) ?

1 ? c o s ( 2? ? 2

?
2

) ?

1 ? s in 2 ? 2

,所以

c o s (? ?
2

?
4

)?

1 ? s in 2 ? 2

1? ?

3 ? 1 ,选 A. 2 6

7、执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 4 ,那么输出的 S ? ( (A) 1 ? (C) 1 ?
1 2 1 2 ? ? 1 3 1 3 ? ? 1 4 1 4 ? 1 5



(B) 1 ? (D) 1 ?

1 2 1 2

? ?

1 3? 2 1 3? 2

? ?

1 4?3? 2 1 4? 3? 2 ? 1 5? 4? 3? 2 1 2

【答案】B 【解析】 第一次循环,T ? 1, S ? 1, k ? 2 ; 第二次循环,T ? 第 三 次 循 环 , T ?
T ? 1 2? 3? 4 1 2 ? ,S ? 1? 1 2?3 ? 1 2 1 2? 3? 4 ? 1 2?3 1 2?3 ,S ? 1? ? 1 2?3? 4 1 2 ? 1 2?3 1 2 ,S ? 1? ,k ? 3 ;

,k ? 4 , 第 四 次 循 环 ,

,k ? 5 , 此 时 满 足 条 件 输 出

S ? 1?

,选 B. ) (D) c ? a ? b

8、设 a ? lo g 3 2 , b ? lo g 5 2 , c ? lo g 2 3 ,则( (A) a ? c ? b 【答案】D 【 解 析 】 因 为 lo g 3 2 ? (B) b ? c ? a

(C) c ? b ? a

1 lo g 2 3 1

? 1 , lo g 5 2 ?

1 lo g 2 5

? 1 , 又 l o g2 3? 1, 所 以 c 最 大 。 又

1 ? lo g 2 3 ? lo g 2 5 ,所以

?

1 lo g 2 5

,即 a ? b ,所以 c ? a ? b ,选 D.

lo g 2 3

9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? x y z 中的坐标分别是 (1, 0,1) , (1,1, 0 ) , (0,1,1) ,
(0, 0, 0 ) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 z O x 平面为投影面,则得到正视图可以为





-3-

(A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中,先画出四面体 O ? A B C 的直观图,以 zOx 平面为投影面,则

得到正视图(坐标系中红色部分),所以选 A. 10、 设抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F , 直线 l 过 F 且与 C 交于 A ,B 两点。 | A F |? 3 | B F | , 若
2

则 l 的方程为(

) (B) y ?
3 3 2 2 ( x ? 1) 或 y ? ? 3 3 2 2 ( x ? 1)

(A) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? !

(C) y ?

3 ( x ? 1) 或 y ? ? 3 ( x ? 1)

(D) y ?

( x ? 1) 或 y ? ?

( x ? 1)

【答案】C 2 【解析】抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为 x=-1,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则因为|AF|=3|BF|,所以 x1+1=3(x2+1),所以 x1=3x2+2 因为|y1|=3|y2|, 1=9x2, x 所以 x1=3, 2= x
1
1 3

, x1=3 时,y 1 ? 1 2 , 当 所以此时 y 1 ? ? 1 2 ? ? 2 3 ,
2

, 若 y 1 ? 2 3 , A (3,2 3), ( B 则

2 3 ? ) 3 3

,此时 k A B ?

3 ,此时直线方程为 y ?

3 ( x ? 1) 。 若

1 2 3 ) ,此时 k A B ? ? 3 ,此时直线方程为 y ? ? 3 ( x ? 1) 。 y 1 ? ? 2 3 ,则 A (3, ? 2 3 ), B ( , 3 3

所以 l 的方程是 y ?

3 ( x ? 1) 或 y ? ? 3 ( x ? 1) ,选 C.
3 2

11、已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c ,下列结论中错误的是( (A) ? x 0 ? R , f ( x 0 ) ? 0 (B)函数 y ? f ( x ) 的图象是中心对称图形 (C)若 x 0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 ( ? ? , x 0 ) 单调递减



-4-

(D)若 x 0 是 f ( x ) 的极值点,则 f '( x 0 ) ? 0 【答案】C 【解析】若 c?0 则有 f( 0 ? )
3 2

, 0 所 以 A 正 确 。 由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 得
3 2 3 2

f ( x ) ? c ? x ? a x ? b x , 因 为 函 数 y ? x ? a x ? b x 的 对 称 中 心 为 ( 0,0 ) 所 以 , f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c 的对称中心为 ( 0 , c ) ,所以 B 正确。由三次函数的图象可知,若 x 0 是
3 2

f(x)的极小值点,则极大值点在 x 0 的左侧,所以函数在区间(-∞, x 0 )单调递减是错误的, D 正确。选 C. 12、若存在正数 x 使 2 ( x ? a ) ? 1 成立,则 a 的取值范围是(
x

) (D) ( ? 1, ? ? )

(A) ( ? ? , ? ? ) 【答案】D

(B) ( ? 2, ? ? )

(C) (0, ? ? )

【解析】因为 2 ? 0 ,所以由 2 ( x ? a ) ? 1 得 x ? a ?
x
x ?x

1 2
x

? 2

?x

,在坐标系中,作出函数

f ( x ) ? x ? a , g ( x ) ? 2 的图象,当 x ? 0 时, g ( x ) ? 2

?x

? 1,所以如果存在 x ? 0 ,使

2 ( x ? a ) ? 1,则有 ? a ? 1 ,即 a ? ? 1 ,所以选 D.
x

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据 要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)从 1, 2, 3, 4, 5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是_______。 【答案】
1 5

【解析】从 5 个正整中任意取出两个不同的数,有 C 5 ? 1 0 种,若取出的两数之和等于 5,则
2

有 (1, 4 ), ( 2 , 3) ,共有 2 个,所以取出的两数之和等于 5 的概率为

2

?

1



10 5 ??? ???? ? (14)已知正方形 A B C D 的边长为 2 , E 为 C D 的中点,则 A E ? B D ? _______。

【答案】 2
-5-

【 解 析 】 在 正 方 形 中 , AE ? AD ?

???? ??? ???? ???? ???? ? 1 ???? D C , BD ? BA ? AD ? AD ? DC , 所 以 2 ??? ???? ? ???? 1 ???? ???? ???? ???? 2 1 ???? 2 1 2 2 AE ? BD ? ( AD ? DC ) ? ( AD ? DC ) ? AD ? DC ? 2 ? ? 2 ? 2 。 2 2 2
??? ? ????
3 2 2

(15)已知正四棱锥 O ? A B C D 的体积为 径的球的表面积为________。 【答案】 2 4 ?

,底面边长为 3 ,则以 O 为球心, O A 为半

【解析】设正四棱锥的高为 h ,则 ? ( 3 ) h ?
2

1

3 2 2

,解得高 h ?

3 2 2

。则底面正方形的对

3

角线长为

2?

3?

6, 所 以 O A ?

(

3 2 2

) ?(
2

6 2

)

2

?

6 ,所以球的表面积为

4? ( 6 ) ? 2 4? .
2

? ) ( 16 ) 函 数 y ? c o s (x 2 ? ? ? (? ? ? ?

的 )图 象 向 右 平 移

?
2

个单位后,与函数

y ? s in ( 2 x ?

?
3

) 的图象重合,则 ? ? _________。

【答案】

5? 6

【解析】 函数 y ? co s( 2 x ? ? ) , 向右平移 向左平移
?
2
y ? s in [ 2 ( x ? ? cos(2 x ? 5? 6

?
2

个单位, 得到 y ? s in ( 2 x ?
?
3

?
3

), y ?n s i 2 ( 即

x) ?

?
3

个 单位得到函数 y ? co s( 2 x ? ? ) , y ? s in ( 2 x ?
?
2 )?

) 向左平移 ? 2x ?

?
2

个 单位,得

?
3

] ? s in ( 2 x ? ? ? 5? 6

?
3

) ? ? s in ( 2 x ?

?
3

) ? cos(

?
2

?
3

)

) ,即 ? ?



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 { a n } 的公差不为零, a 1 ? 2 5 ,且 a 1 , a 1 1 , a 1 3 成等比数列。 (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)求 a 1 ? a 4 + a 7 ? ? ? ? ? a 3 n ? 2 ;

-6-

(18)如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, D , E 分别是 A B , B B 1 的中 点, 。 (Ⅰ)证明: B C 1 / / 平面 A1 C D 1 ; (Ⅱ) A A1 ? A C ? C B ? 2 ,A B ? 2 2 , 设 求三棱锥 C ? A1 D E 的体积。

A1 B1 A D B E

C1

C

(19)(本小题满分 12 分)

经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润
5 0 0 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 3 0 0 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频

率分布直方图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 1 3 0 t 该农产品。以 X (单位:
t , 1 0 0 ? X ? 1 5 0 )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售

季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 5 7 0 0 0 元的概率;

(20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ,在 y 轴上截得线段长 为2 3 。 (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y ? x 的距离为
2 2

,求圆 P 的方程。

(21) (本小题满分 12 分)
-7-

已知函数 f ( x ) ? x e
2

?x



(Ⅰ)求 f ( x ) 的极小值和极大值; (Ⅱ)当曲线 y ? f ( x ) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图, C D 为 ? A B C 外接圆的切线, A B 的延长线交直线 C D 于点 D , E 、 F 分别为弦 A B 与弦 A C 上的点,且 B C ? A E ? D C ? A F , B 、 E 、 F 、 C 四点共圆。 (Ⅰ)证明: C A 是 ? A B C 外接圆的直径; (Ⅱ)若 D B ? B E ? E A ,求过 B 、 E 、 F 、 C 四点的圆的面积与 ? A B C 外接圆面积的比值。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 已知动点 P 、 Q 都在曲线 C : ?
? x ? 2 c o st , ? y ? 2 sint

( t 为参数)上,对应参数分别为 t = ? 与 t = 2 ?

( 0 ? ? ? 2 ? ) M 为 P Q 的中点。 , (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 设 a 、 b、 c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) a b ? b c ? a c ?
1 3

;(Ⅱ)

a

2

?

b

2

?

c

2

?1

b

c

a

-8-

-9-

- 10 -

- 11 -


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