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必修1高一数学对数与对数函数


高一数学——对数与对数函数 一、本次课教学目标 1. 掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、 换底公式与自然对数; 2. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 二、考点、热点回顾
知识点一、对数及其运算
我们在学习过程遇到 2x=4 的问题时,可凭经验得到 x=2 的解,而一旦出现 2x=3 时,我们就无法 用已学过的知识来解决,从而引入出

一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1. 如果 对数的底 数,N 叫做真数. ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:logaN=b.其中 a 叫做

2. 对数恒等式: 3. 对数 (1)0 和负数没有对数,即 (2)1 的对数为 0,即 (3)底的对数等于 1,即 (二)常用对数与自然对数 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数, . (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的 关系可由下图表示. .以 e 为底的对数叫做自然对数, 具有下列性质: ; ; .

1

由此可见 a,b,N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知 (1) 推广: ;

(2) (3) .



(五)换底公式 同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在 a>0, a≠1, M>0 的前提下有: (1) 令 logaM=b, 则有 ab=M, (ab)n=Mn,即 即: . , 即 ,

(2)

, 令

logaM=b ,

则 有

ab=M ,

则 有



, 即

,即

当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2) 还可以得到一个重要的结论:

.

知识点二、对数函数
1. 函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数. 2. 在同一坐标系内,当 a>1 时,随 a 的增大,对数函数的图像愈靠近 x 轴;当 0<a<1 时,对
2

数函数的图 象随 a 的增大而远离 x 轴.(见图 1)

(1)对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为 R (2)对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图像过点(1,0)

(3)当 a>1 时,

三、规律方法指导
容易产生的错误 (1)对数式 logaN=b 中各字母的取值范围(a>0 且 a≠1, N>0, b∈R)容易记错. (2)关于对数的运算法则,要注意以下两点: 一是利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式 才能成立.如:log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的,但 log2(-3)与 log2(-5)是不存在的. 二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是 错误的: loga(M±N)=logaM±logaN, loga(M·N)=logaM·logaN,

loga

.

(3)解决对数函数 y=logax (a>0 且 a≠1)的单调性问题时,忽视对底数 a 的讨论. (4)关于对数式 logaN 的符号问题,既受 a 的制约又受 N 的制约,两种因素交织在一起,应用时经 常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习时参考. 以 1 为分界点,当 a, N 同侧时,logaN>0;当 a,N 异侧时,logaN<0.

三、典型例题
类型一、指数式与对数式互化及其应用
1.将下列指数式与对数式互化:

3

(1)

;(2)

;(3)

;(4)

;(5)

;(6)

.

思路点拨:运用对数的定义进行互化.

解:(1)



(2)



(3)



(4)



(5)



(6)

.

总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解 决问题的重要手段. 举一反三: 【变式 1】求下列各式中 x 的值:

(1)

(2)

(3)lg100=x (4)

思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出 x.

解:(1)

; ;

(2) (3)10x=100=102,于是 x=2; (4)由

.

类型二、利用对数恒等式化简求值
2.求值:

解: 总结升华:对数恒等式 其值为真数. 举一反三: 【变式 1】求

. 中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③

的值(a,b,c∈R+,且不等于 1,N>0)

思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算. 解: .

类型三、积、商、幂的对数
3.已知 lg2=a,lg3=b,用 a、b 表示下列各式.
4

(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解:(1)原式=lg32=2lg3=2b (2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b (4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a (6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三: 【变式 1】求值 (1) 解:(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式 2】已知 3a=5b=c,

,求 c 的值.

解:由 3a=c 得:

同理可得 .

【变式 3】设 a、b、c 为正数,且满足 a2+b2=c2.求证:

.

证明:

.

【变式 4】已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0. 求证:

.

证明:∵ a2+b2=7ab, ∴ a2+2ab+b2=9ab,即 (a+b)2=9ab, ∴ lg(a+b)2=lg(9ab), ∵ a>0,b>0, ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

5



.

类型四、换底公式的运用

4.(1)已知 logxy=a, 用 a 表示



(2)已知 logax=m, logbx=n, logcx=p, 求 logabcx.

解:(1)原式= (2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底. 方法一:am=x, bn=x, cp=x ∴ ,







方法二: 举一反三: 【变式 1】求值:(1) 解:(1) ;(2) ;(3)

.

.



(2)



(3)法一:

法二:

.

总结升华:运用换底公式时,理论上换成以大于 0 不为 1 任意数为底均可,但具体到每一个题, 一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以 10 为底的常用对数也可.
6

类型五、对数运算法则的应用
5.求值 (1) log89·log2732

(2)

(3) (4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解:(1)原式= (2)原式=

.

(3)原式= (4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

举一反三:

【变式 1】求值:

解:

另解:设

=m (m>0).∴





,∴



∴ lg2=lgm, ∴ 2=m,即

.

【变式 2】已知:log23=a, log37=b,求:log4256=?

解:∵





7

类型六、函数的定义域、值域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但 要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用. 6. 求下列函数的定义域: (1) ; (2) .

思路点拨:由对数函数的定义知:x2>0,4-x>0,解出不等式就可求出定义域. 解:(1)因为 x2>0,即 x≠0,所以函数 (2)因为 4-x>0,即 x<4,所以函数 举一反三: 【变式 1】求下列函数的定义域. ; .

(1) y=

(2) y=ln(ax-k·2x)(a>0 且 a≠1,k∈R).

解:(1)因为

, 所以



所以函数的定义域为(1,

)

(

,2).

(2)因为 ax-k·2x>0, 所以(

)x>k.

[1]当 k≤0 时,定义域为 R; [2]当 k>0 时, (i)若 a>2,则函数定义域为( k,+∞);

(ii)若 0<a<2,且 a≠1,则函数定义域为(-∞, k); (iii)若 a=2,则当 0<k<1 时,函数定义域为 R;当 k≥1 时,此时不能构成函数, 否则定义域为 . 【变式 2】函数 y=f(2x)的定义域为[-1,1],求 y=f(log2x)的定义域.

8

思路点拨:由-1≤x≤1,可得 y=f(x)的定义域为[ 域为[ ,4].

,2],再由

≤log2x≤2 得 y=f(log2x)的定义

类型七、函数图象问题
7.作出下列函数的图象: (1) y=lgx, y=lg(-x), y=-lgx; (2) y=lg|x|; (3) y=-1+lgx. 解:(1)如图(1); (2)如图(2); (3)如图(3).

类型八、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以:①比较大小;②解不等式;③判断单调性;④求单调区间;⑤求值域和 最值.要求同学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是 树立定义域优先的观念. 8. 比较下列各组数中的两个值大小: (1)log23.4,log28.5 (2)log0.31.8,log0.32.7 (3)loga5.1,loga5.9(a>0 且 a≠1) 思路点拨:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法 1:画出对数函数 y=log2x 的图象,横坐标为 3.4 的点在横坐标为 8.5 的点的下方, 所以,log23.4<log28.5; 解法 2:由函数 y=log2x 在 R+上是单调增函数,且 3.4<8.5,所以 log23.4<log28.5; 解法 3:直接用计算器计算得:log23.4≈1.8,log28.5≈3.1,所以 log23.4<log28.5; (2)与第(1)小题类似,log0.3x 在 R+上是单调减函数,且 1.8<2.7,所以 log0.31.8>log0.32.7; (3)注:底数是常数,但要分类讨论 a 的范围,再由函数单调性判断大小. 解法 1:当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数,且 5.1<5.9,所以,loga5.1<loga5.9 当 0<a<1 时,y=logax 在(0,+∞)上是减函数,且 5.1<5.9,所以,loga5.1>loga5.9 解法 2:转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小, 令 b1=loga5.1,则 ,令 b2=loga5.9,则

当 a>1 时,y=ax 在 R 上是增函数,且 5.1<5.9 所以,b1<b2,即 当 0<a<1 时,y=ax 在 R 上是减函数,且 5.1<5.9 所以,b1>b2,即 举一反三:
9

.

【变式 1】若 logm3.5>logn3.5(m,n>0, 且 m≠1, n≠1),试比较 m ,n 的大小. 解:(1)当 m>1, n>1 时,∵3.5>1,由对数函数性质:当底数和真数都大于 1 时,对同一真数, 底数大的对数值小,∴n>m>1. (2)当 m>1,0<n<1 时,∵logm3.5>0, logn3.5<0,∴ 0<n<1<m 也是符合题意的解. (3)当 0<m<1,0<n<1 时,∵3.5>1,由对数函数性质,此时底数大的对数值小, 故 0<m<n<1. 综上所述,m,n 的大小关系有三种:1<m<n 或 0<n<1<m 或 0<m<n<1. 9. 证明函数 上是增函数. 思路点拨:此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉利用对函数单调性比较同底 数对数大小的方法. 证明:设 则 ,且 x1<x2

又∵y=log2x 在

上是增函数

即 f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)=log2(x2+1)在 举一反三: 上是增函数.

【变式 1】已知 f(logax)=
+

(a>0 且 a≠1),试判断函数 f(x)的单调性.

解:设 t=logax(x∈R , t∈R).当 a>1 时,t=logax 为增函数,若 t1<t2,则 0<x1<x2,

∴ f(t1)-f(t2)=



∵ 0<x1<x2, a>1, ∴ f(t1)<f(t2),∴ f(t)在 R 上为增函数, 当 0<a<1 时,同理可得 f(t)在 R 上为增函数.∴ 不论 a>1 或 0<a<1, f(x)在 R 上总是增 函数.

10.求函数 y=

(-x2+2x+3)的值域和单调区间.

解:设 t=-x2+2x+3,则 t=-(x-1)2+4.∵ y=

t 为减函数,且 0<t≤4,

∴ y≥

=-2,即函数的值域为[-2,+∞ .

10

再由:函数 y=

(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1<x<3.

∴ t=-x2+2x+3 在 -1,1)上递增而在[1,3)上递减,而 y=

t 为减函数.

∴ 函数 y=

(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为[1,3 .

类型九、函数的奇偶性
11. 判断下列函数的奇偶性.

(1)

(2)

.

(1)思路点拨:首先要注意定义域的考查,然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.

解:由 所以函数的定义域为:(-1,1)关于原点对称



所以函数

是奇函数;

总结升华:此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质. 说明判断对数形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的恒等变形.

(2)解:由 所以函数的定义域为 R 关于原点对称 又

即 f(-x)=-f(x);所以函数

.

总结升华:此题定义域的确定可能稍有困难,函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,要求 掌握.

类型十、对数函数性质的综合应用
12.已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1).
11

(1)若函数 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;(2)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值 范围. 思路点拨:与求函数定义域、值域的常规问题相比,本题属非常规问题,关键在于转化成常规问 题.f(x)的定义域为 R,即关于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集为 R,这是不等式中的常规问题. f(x)的值域为 R 与 ax2+2x+1 恒为正值是不等价的,因为这里要求 f(x)取遍一切实数,即要求 u=ax2+2x+1 取遍一切正数,考察此函数的图象的各种情况,如图,我们会发现,使 u 能取遍一切正

数的条件是

.

解:(1)f(x)的定义域为 R,即:关于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集为 R, 当 a=0 时,此不等式变为 2x+1>0,其解集不是 R;

当 a≠0 时,有

a>1.∴ a 的取值范围为 a>1.

(2)f(x)的值域为 R, u=ax2+2x+1 能取遍一切正数 即 ∴ a 的取值范围为 0≤a≤1.

a=0 或

0≤a≤1,

13.已知函数 h(x)=2x(x∈R),它的反函数记作 g(x),A、B、C 三点在函数 g(x)的图象上,它 们的横坐标分别为 a,a+4,a+8(a>1),记Δ ABC 的面积为 S. (1)求 S=f(a)的表达式; (2)求函数 f(a)的值域; (3) 判断函数 S=f(a)的单调性,并予以证明; (4)若 S>2,求 a 的取值范围. 解:(1)依题意有 g(x)=log2x(x>0). 并且 A、B、C 三点的坐标分别为 A(a, log2a), B(a+4, log2(a+4)), C(a+8, log2(a+8)) (a>1),如图.

∴A,C 中点 D 的纵坐标为

〔log2a+log2(a+8)〕

∴ S=

|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).

(2)把 S=f(a)变形得:

S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2

=2log2(1+

).

12

由于 a>1 时,a2+8a>9, ∴1<1+ 数,



,又函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函

∴ 0<2log2(1+

)<2log2

,即 0<S<2log2

.

(3)S=f(a)在定义域(1,+∞)上是减函数,证明如下:任取 a1,a2,使 1<a1<a2<+∞,则:

(1+

)-(1+

)=16(

)=16· +8a2>0, +8a1>0, a1-a2<0,



由 a1>1,a2>1,且 a2>a1,∴ a1+a2+8>0,

∴ 1<1+

<1+

,再由函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,

于是可得 f(a1)>f(a2) ∴ S=f(a)在(1,+∞)上是减函数.

(4)由 S>2,即得

,解之可得:1<a<4

-4.

四、课后练习
1.函数 f(x)=|log2x|的图象是
y 1 O 1 x y 1 -1 O 1 x

A
y 1 O 1 x

B
y 1 O 1 x

C

D

2.已知 f(x)的定义域为[0,1] ,则函数 y=f[log 1 (3-x) ]的定义域是__________.
2

3.若 logx 7 y =z,则 x、y、z 之间满足 A.y7=xz B.y=x7z C.y=7xz D.y=zx 4.已知 1<m<n,令 a=(lognm)2,b=lognm2,c=logn(lognm) ,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 5.若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 等于

1 1 2 2 B. C. D. 4 2 4 2 6.函数 y=log2|ax-1|(a≠0)的对称轴方程是 x=-2,那么 a 等于
A.
13

A.

1 2

B.-

1 2

C.2

D.-2

8.方程 lgx+lg(x+3)=1 的解 x=__________________

五、课后反馈表
1、本次课学生总体满意度打分(满分 100 分)______ 2、学生对课程内容的满意度( A.非常满意 B.比较满意 ) C.一般 ) C.一般 ) C.一般 ) D.比较不满意 ______ _______ __ 。 E.非常不满意 D.比较不满意 E.非常不满意 D.比较不满意 E.非常不满意 D.比较不满意 E.非常不满意 _________________ 。

3、学生对授课教师的满意度( A.非常满意 B.比较满意

4、学生对授课场地的满意度( A.非常满意 B.比较满意

5、学生对授课教师的上课的总体精神状态( A.非常满意 B.比较满意 C.一般

6、您对本课程的意见和建议:______ __

家长(学生)签字:

14


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