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湖北省襄阳市普通高中2016届高三统一调研测试数学理试题 Word版含答案


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2016 年 1 月襄阳市普通高中调研统一测试 高三数学(理工类)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 集合 A = { x | x < a},B = { x | 1 < x < 2},若 A ? ?R B ? R

,则实数 a 的取值范围是

A.a≤1

B.a < 1

C.a≥2

D.a > 2

2. 若向量 a = (2,-1,0),b = (3,-4,7),且(ta + b)⊥a,则实数 t 的值是

A.0

B.1

C.-2

D.2

3. 已知等比数列{an}的公比为 3,且 a1 + a3 = 10,则 a2a3a4 的值为

A.27

B.81

C.243

D.729

4. 已知函数 y = f (x) + x 是偶函数,且 f (2) = 1,f (-2) =

A.1

B.5

C.-1

D.-5

5. 由曲线 y ? x 3 与直线 y ? 4 x 所围成的平面图形的面积为

A.4

B.8

C.12

D.16

6. f (x)是定义在 R 上的以 2 为周期的奇函数,f (3) = 0,则函数 y = f (x)在区间(-2,5)内的零点 个数为

A.6

B.5

C.4

D.3

? x ? y ? 1≥ 0 2x ? y ? 1 ? 7. 实数 x、y 满足条件 ?4 x ? 3 y ? 12 ≤ 0 ,则 z ? 的最大值为 x ?1 ? ?y ? 2≥ 0

A.

4 5

B.

5 4

C.

9 16

D.

1 2

8. 向量 a、b、c 满足 a + b + c = 0,a⊥b,(a-b)⊥c, M ?

|a| |b| |c| ? ? ,则 M = |b| |c| |a|

A.3

B. 3 2

C. 2 ?

2 2

D. 1 ?

3 2 2

9. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1 ,线段 B1D1 上有两个动点 E、

C1 D1

E

F,且 EF ? A.AC⊥BE

2 ,则下列结论中错误的是 2

A1F

B1

B.EF∥平面 ABCD
D

C A

C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.异面值线 AE、BF 所成的角为值

B

-1-

10. 将 函 数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) 的 图 像 向 左 平 移 ? (0 ? ? ?

?
2

) 个 单 位 得 到 y ? g ( x) 的 图 像 , 若 对 满 足

| f ( x1 ) ? g ( x2 )|? 2 的 x1、x2, | x1 ? x2 |min ?

?
4

,则 ? 的值是

A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

5? 12

11. 若定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (0) ? ?1 ,其导函数 f ?( x) 满足 f ?( x) ? k ? 1 ,则下列结论中一定正确 的是

1 1 A. f ( ) ? k k

1 1 B. f ( ) ? k k ?1

C. f (

1 1 1 k D. f ( )? )? k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

12. 已知 F1、F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点,若 F2 关于渐近线的对称点恰落 a 2 b2

在以 F1 为圆心,| OF1 |为半径的圆上,则双曲线 C 的离心率为

A. 3

B.3

C. 2
第Ⅱ卷

D.2

第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。第 13-21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22-24 题 为选考题,考生按要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置上。答错位 ....... 置,书写不清,模棱两可均不得分。 13. 动圆圆心在抛物线 x2 ? ?8 y 上,且动圆恒与直线 y ? 2 ? 0 相切,则动 圆必过定点 ▲ . 14. 右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ▲ .

3? ) 10 ? 15. 若 tan ? ? 2 tan ,则 ? 5 sin(? ? ) 5

?

cos(? ?

▲ .

16. 观 察 下 列 等 式 :

1 2 ? ?1 , 3 3

7 8 10 11 ? ? ? ? 12 , 3 3 3 3

16 17 19 20 22 23 3n ? 1 3n ? 2 3m ? 2 3m ? 1 …, 则当 n < m, 且 m、 n∈N*时, ? ? ? ? ? ? 39 , ? ??? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
▲ (最后结果用 m、n 表示).

-2-

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知在△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, 且b 、 c 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? (a2 ? bc) x ? m ? 0
2

2

的两根. (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 3 ,设角 B ? ? ,△ABC 周长为 y,求 y ? f (? ) 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 四棱锥 P-ABCD 底面是菱形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC = 60°,

P

E、F 分别是 BC、PC 的中点.
(1)求证:平面 AEF⊥平面 PAD; (2)H 是 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成的最大角为 45°, 求二面角 E-AF-C 的正切值. B E C F A H D

19. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正,其前 n 项和 Sn 满足 8Sn ? an2 ? 4an ? 3 ,且 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)符号表示不超过实数 x 的最大整数,记 bn ? [log2 (

an ? 3 )] ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2 . 4
n

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
2 2 y 2 x2 ,且过定点 M(1, ). ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l: y ? kx ?

1 (k ? R) 与椭圆 C 交于 A、B 两点,试问在 y 轴上是否存在定点 P,使得以弦 3

AB 为直径的圆恒过 P 点?若存在,求出 P 点的坐标和△PAB 的面积的最大值,若不存在,说明理由.

-3-

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x2 ? ax ? sin

?x
2

,x∈(0,1).

(1)若 f (x)在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)当 a ? ?2 时,记 f (x)的极小值为 f (x0),若 f (x1) = f (x2),求证:x1 + x2 > 2x0.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第一 个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:平面几何选讲 已知 AB 为半圆 O 的直径,AB = 4,C 为半圆上一点,过 点 C 作半圆的切线 CD,过 A 点作 AD⊥CD 于 D,交半圆 于点 E,DE = 1. (1)证明:AC 平分∠BAD; (2)求 BC 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 3 ? 4cox? 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? 4 ? 4sin ?

D E C

A

O

B

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点所在直线的极坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 . (1)求函数 f (x)的定义域 A; (2)设 B = { x |-1< x < 2},当实数 a、b∈( B ? ?R A )时,证明:

|a?b| ab ? |1 ? |. 2 4

-4-

2016 年 1 月襄阳市普通高中调研统一测试 高三数学(理工类)参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神 进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解 答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时,可视影响程 度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半,如果有较严重的概念性错误, 就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:CCDBB

AADDB

CD
14. 64 ? 4? 15.3 16.m -n
2 2

二.填空题:13.(0,-2) 三.解答题:

17.(1)解:在△ABC 中,依题意有: b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ∴ cos A ?

2分 4分 6分

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

? ) ,∴ A ? 又 A ? (0 ,

?
3

(2)解:由 a ? 3 , A?

?
3

及正弦定理得:

b c a ? ? ?2 sin B sin C sin A
8分

∴ b ? 2sin B ? 2sin ? , c ? 2sin C ? 2sin( 故 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin ? ? 2sin( 即 y ? 2 3 sin(? ? 由 0 ?? ? ∴当 ? ?

2? 2? ? B) ? 2sin( ?? ) 3 3

2? ??) 3
10 分

?
6

)? 3

2? ? ? 5? 得: ? ? ? ? 3 6 6 6 ?

?
6

?
2

,即 ? ?

?
3

时, ymax ? 3 3 .

12 分

18.(1)证:∵底面 ABCD 底面是菱形,∠ABC = 60° ∴△ABC 是正三角形 又 E 为 BC 中点,∴AE⊥BC,∠BAE = 30° 故∠EAD =∠BAD-∠BAE = 120°-30° = 90°,即 AE⊥AD ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AE 又 AD、PA 相交于 A,∴AE⊥平面 PAD -52分 4分

而 AE 在平面 AEF 内,∴平面 AEF⊥平面 PAD (2)解法一:由(1)知,AE⊥平面 PAD,∴∠AHE 是 EH 与平面 PAD 所成的角 由于 AE 为定值,∴当 AH 最小时,∠AHE 最大 此时 AH⊥PD,∠AHE = 45° 过 E 作 EQ⊥AC 于 Q 点,过 Q 作 QG⊥AF 于 G 点,连结 EG ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥EQ 又 EQ⊥AC,PA 与 AC 相交于 A,∴EQ⊥平面 PAC ∵AF 在平面 PAC 内,∴EQ⊥AF 又 QG⊥AF,QG、EQ 相交于 Q,∴AF⊥平面 EQG,进而 AF⊥EG ∴∠EGQ 是二面角 E-AF-C 的平面角 设 AB = 2a,则 AE ? 3a , AH ? AE ? 3a ∵

6分

8分

10 分

PA PD ,∴ AD? PA ? PD? AH , 2a ? PA ? 3a PA2 ? 4a2 ? AH AD

∴ PA ? 2 3 a , PC ? PA2 ? AC 2 ? 4a ∴在直角三角形 EQC 中, EQ ? EC ? sin 60? ? 又 AF ? FC ?
3 1 a, CQ ? EC ? cos 60? ? a 2 2

1 PC ? 2a ,∴△ACF 是正三角形,∠FAC = 60° 2
3 3 a 4

∴ QG ? AQ ? sin 60? ? ∴ tan ?EGQ ?

EQ 2 ? GQ 3

12 分

解法二:由(1)知,AE⊥平面 PAD,∴∠AHE 是 EH 与平面 PAD 所成的角 由于 AE 为定值,∴当 AH 最小时,∠AHE 最大 此时 AH⊥PD,∠AHE = 45° 设 AB = 2a,则 AE ? 3a , AH ? AE ? 3a ∵ 8分

PA PD ,∴ AD? PA ? PD? AH , 2a ? PA ? 3a PA2 ? 4a2 ? AH AD

∴ PA ? 2 3 a ???? ???? ???? 以 AE 、 AD 、 AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则

P(0,0, 2 3 a ),E( 3a ,0,0),C( 3a ,a,0),F(

3 1 a , a , 3a ) 2 2

???? ? ?m ? AP ? 0 设平面 AFC 的一个法向量为 m = (x,y,z),则 ? ???? ? ?m ? AC ? 0 ?( x , ?z ? 0 y, z ) ? (0 , 0, 2 3 a) ? 0 ? 即? ? ? y, z) ? ( 3a , a, 0) ? 0 ? ? 3x ? y ? 0 ?( x ,
-6-

∴可取 m = (1, ? 3 ,0)

9分

???? ? ?n ? AE ? 0 设平面 AEF 的一个法向量为 n = (x,y,z),则 ? ???? ? ?n ? AF ? 0
?( x , y, z) ? ( 3a , 0, 0) ? 0 ?x ? 0 ? ? ? 即? 3 1 y, z) ? ( a , a , 3 a) ? 0 ? 3x ? y ? 2 3z ? 0 ?( x , ? 2 2

∴可取 n = (0, ?2 3 ,1)
cos ? m , n ?? m?n (1, ? 3, 0) ? (0 , ?2 3, 1) 3 ? ? | m |?| n| 2 ? 13 13

10 分 11 分

1? tan ? m , n ??

9 13 ? 2 ,∴二面角 E-AF-C 的正切值为 2 3 3 3 13

12 分

2 19.(1)解: 8Sn ? an ? 4an ? 3

当 n = 1 时, 8a1 ? a12 ? 4a1 ? 3 ,得:a1 = 3 或 a1 = 1

2分

2 2 当 n≥2 时, 8Sn?1 ? an2?1 ? 4an?1 ? 3 ,∴ 8an ? an ? an ?1 ? 4an ? 4an?1 , (an ? an?1 ? 4)(an ? an?1 ) ? 0

∵数列{an}的各项均正,∴ an ? an?1 ? 4 ∴数列{an}是公差为 4 的等差数列, an ? 4n ? 3 或 an ? 4n ? 1 又 a2 是 a1 和 a7 的等比中项,∴ an ? 4n ? 3 (2)解: bn ? [log2 (

4分

6分

an ? 3 )] ? [log2 n] 4
n

令 S ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2 ? [log2 1] ? [log2 2] ? log2 3] ? ? ? [log2 2n ] = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + … + 3 + 3 + … + 4 + … + n = 1×2 + 2×2 + 3×2 + … + (n-1)×2 2S =
2 3 4 1 2 3

8分 ① ② 10 分

n_1

+ n
n

1×2 + 2×2 + 3×2 + … + (n-1)×2 + 2n
2 3

①-②得:-S = 2 + 2 + 2 + … + 2 -(n-1)×2 -n

n_1

n

?

2 (? 1 n?12 ) ? (n ? 1?) 1? 2

n

n ? 2n ? ? n ? ( ? 2 ? ) n ?2

2
12 分

S ? (n ? 2) ? 2n ? n ? 2

? c 2 ?e ? ? ? 2 ? 2 a 2 22 ?a ? ? 20.(1)解:由已知 ?b ? c ? a ? ? ? 1 ?b 2 ? 1 ? ? 2 ? 2 ?1 b ? ? 2a

5 2 5 4

∴椭圆 C 的方程为

2 y 2 4 x2 ? ?1 5 5
-7-

2分

1 ? y ? kx ? ? ? 3 (2)解:由 ? 2 得: 9(2k 2 ? 4) x2 ? 12kx ? 43 ? 0 2 2 y 4 x ? ? ?1 ? 5 ? 5



4分

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程①的两根 ∴ x1 ? x2 ?
12k 43 , x1 x2 ? ? 2 9(2k ? 4) 9(2k 2 ? 4)

6分

??? ? ??? ? 设 P(0,p),则 PA ? ( x1 , y1 ? p) , PB ? ( x2 , y2 ? p)

??? ? ??? ? 1 1 2p PA ? PB ? x1x2 ? y1 y2 ? p( y1 ? y2 ) ? p2 ? x1x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) ? pk ( x1 ? x2 ) ? ? p2 3 3 3
? (18 p 2 ? 45)k 2 ? 36 p 2 ? 24 p ? 39 9(2k 2 ? 4)

8分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 若 PA ? PB ,则 PA ? PB ? 0
即 (18 p2 ? 45)k 2 ? 36 p2 ? 24 p ? 39 ? 0 对任意 k∈R 恒成立
?18 p 2 ? 45 ? 0 ∴? 2 ?36 p ? 24 p ? 39 ? 0

10 分

此方程组无解,∴不存在定点满足条件 21.(1)解: f ?( x) ? 2 x ? a ?

12 分 1分

?
2

cos

?
2

x

∵f (x)在定义域(0,1)内单调递增 ∴ f ?( x) ≥ 0 在(0,1)内恒成立,即 a ≥ ?2 x ? 令 g ( x) ? 2 x ?

?
2

cos

?
2

在(0,1)内恒成立

2分

?
2

cos

?
2

x ,则 g ?( x) ? 2 ?

?2
4

sin

?
2

x

g ?(1) ? 0 ∵ g ?( x) 在(0,1)内单调递减,且 g ?(0) ? 0 ,

∴ g ?( x) 在(0,1)上存在唯一零点 m

? ?a ≥ ? g (0) ? a≥? ∴g (x)在(0,m)上递增,在(m,1)上递减,∴ ? 2 ?a ≥ ? g (1)
(2)证:当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 2x ? 2 ? 令 h( x) ? 2 x ? 2 ?

4分

?
2

cos

?
2

x

?
2

cos

?
2

x ,则 h?( x) ? 2 ?

?2
4

sin

?
2

x

由(1)知, h?( x) 在(0,1)上存在唯一零点 m ∴ f ?( x) ? h( x) 在(0,m)上递增,在(m,1)上递减 ∵ f ?(0) ? ?2 ?

?
2

? 0 ,f ?(1) ? 0 ,∴ f ?(m) ? 0

6分

∵f (x)的极小值为 f (x0),∴ f ?( x0 ) ? 0 ,因此 0 ? x 0 ? m ? 1 -8-

∴f (x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增 不妨设 x1 < x2,∵f (x1) = f (x2),∴ 0 ? x1 ? x0 ? x2 ? 1 令 F ( x) ? f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) ,则 F ?( x) ? f ?( x0 ? x) ? f ?( x0 ? x) ? 4x0 ? 4 ? ? cos ∵ F ?( x) 在(0,1)递减,∴ F ?( x) ? F ?(0) ? 0 ∴F (x)在(0,1)递减,∴F (x) < F (0) = 0, f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) 又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x0 ? ( x0 ? x2 )) ? f ( x0 ? ( x0 ? x2 )) ? f (2x0 ? x2 ) ∵ x0 ? x2 ? 1,∴ 0 ? 2 x0 ? x2 ? x0 ∵ 0 ? x1 ? x0 ,f (x)在(0,x0)上单调递减,∴ x1 ? 2 x0 ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 2 x0 22.(1)证:∵OA = OC,∴∠OAC = ∠OCA ∵CD 是圆的切线,∴OC⊥CD ∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠DAC = ∠OCA 故∠DAC = ∠OAC,即 AC 平分∠BAD

8分

? x0
2

cos

?x
2

10 分

12 分 2分 4分

6分 8分

? ? CE ? ,∴BC = CE (2)解:由(1)得: BC
连结 CE,则∠DCE = ∠DAC = ∠OAC,∴△CDE∽△ACD,△ACD∽△ABC ∴

CE DE CE AB ? DE ,故 BC ? ? ? ?2 AB BC AB CE

10 分

? x ? 3 ? 4cox? 23.(1)解:由 ? 消去 θ 得: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 16 y ? 4 ? 4sin ? ?

2分

即 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 9 ? 0
y ? ? sin ? 代入得极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos ? ? 8? sin ? ? 9 ? 0 将 x ? ? cos ? ,

4分 6分 8分

(2)解:由 ? ? 4sin ? 得 C2 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 4 y ? 0
? x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 9 ? 0 由? 2 得: 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 2 ?x ? y ? 4 y ? 0

∴C1、C2 的交点所在直线方程为 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 ∴其极坐标方程为: 6 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 9 ? 0 24.(1)解:| x + 1 | + | x + 2 |-5≥0 当 x≤-2 时,得 x≤-4,当-2 < x <-1 时,得 x≤4,当 x≥-1 时,得 x≥1 ∴A = { x | x≤-4 或 x≥1} (2)证: B ? ?R A = { x |-1< x < 1},∴a、b∈{ x |-1< x < 1} 6 分 要证 2分 4分 10 分

|a?b| ab ? |1 ? | ,只需证 4(a ? b)2 ? (4 ? ab)2 8 分 2 4

∵ 4(a ? b)2 ? (4 ? ab)2 ? 4a2 ? 4b2 ? a2b2 ? 16 ? (b2 ? 4)(4 ? a2 ) -9-

∵a、b∈{ x |-1< x < 1},∴ (b2 ? 4)(4 ? a2 ) ? 0 ∴ 4(a ? b)2 ? (4 ? ab)2 ∴

|a?b| ab ? |1 ? | 成立 2 4

- 10 -


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