当前位置:首页 >> 机械/仪表 >>

弹性模量计算公式


文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT,或下载源文件到本机 查看。 第三章 压弯构件的失稳 轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载 作用的构件称为压弯构件. 由于压弯构件兼有 受压和受弯的功能,又普遍出现在 框架结构中,因此又称为梁柱. 钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称 轴, 且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心 情况.对单向偏心的压弯构件,有可 能

在弯矩平面内失稳,即发生弯曲失稳;也有可能在弯矩作 用平面外失稳,即弯扭 失稳.其弯曲失稳为第二类稳定问题,即极值点失稳;其弯扭失稳对理想 的无缺陷 的压弯构件属于第一类稳定问题,即分支点失稳,但对实际构件则是极值点失稳. 对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件,在两端作用有轴线压力 P 和 使构件产生 同向曲率变形的弯矩 M,如果在其侧向有足够的支撑 (如图 3.1(b)), 构件将发生平面内的弯 曲失稳,其荷载― 挠度曲线如图 3.2(a)中曲线 a,失稳的 极限荷载为 Pu,属于极值点失稳. 图 3.1 两端简支理想压弯构件 图 3.2 压弯构 件荷载变形曲线 如果在侧向没有设置支撑(如图 3.1(c),则构件在荷载 P 未达到 平面内极限荷载 Pu 时, ) 可能发生弯扭失稳,即在弯矩作用平面内产生挠度 v, 在平面外剪心产生位移 u,并绕纵轴产生 扭转角 (如图 3.1(d),其荷载-变形曲线 如图 3.2(b)中曲线 b,属于分支点失稳,失稳 ) 的分荷载为 Pyw, ,且 Pyw 3. 1 压 弯构件平面内失稳 对压弯构件, 当弯矩作用平面外有足够多支撑可以避免发生 弯扭失稳时, 若失稳则只可能发 生平面内弯曲失稳. 当用弹性理论分析理想压 弯构件的荷载挠度关系,可以得到图 3. 3 中的二阶弹性曲线 b,它 以轴心受压弯 构件的分岔点荷载 PE 处引出的水平线 a 为渐近线. 实际压弯构件存在初始缺 陷(残余应力、 几何缺陷), 材料为弹塑性体. 如按弹塑性理论分析, 荷载挠度曲线 将是图中曲线 OABC.曲线上 A 点标志着杆件中点截面边缘开始屈服,对应的荷 载为 Pe,随后塑性向截面内部发展,构件变形快速增加,形成 OAB 上升段,构件 处于稳定平衡 状态;B 点为曲线的极值点,对应的荷载 Pu 为构件在弯矩作用平 面内失稳的极限荷载;到达 B 点以后,由于弹性区缩小到导致构件抵抗力矩的增 加小于外力矩的增加程度,出现下降段 BC, 52 构件处于不稳定平衡状态. 由失 稳全过程可以看出实际压弯构件在弯矩作用平面内的弯曲失稳属 于二阶弹塑性 分析的极值点失稳,不能用弹性理论和平衡微分方程求解极限荷载 Pu,而可用数 值积分法通过得出荷载挠度曲线后求得极限荷载. 压弯构件平面内弯曲失稳的

弹性分析虽然不能求出极限荷载, 但它是弹塑性分析的基础, 因 此有必要先研 究压弯构件平面内弹性失稳. 图 3 .3 压弯构件荷载挠度曲线 3.1.1 压弯构件平 面内弹性弯曲性能 在第二章讨论初始几何缺陷对轴心受压构件稳定性能的影响 时,对图 2.13 所示有偏心的轴 心受压杆已作过分析,即当作偏心压弯构件得出 了荷载 P 与构件中点挠度 δ 之间的关系曲线. 从式(2.48)中可以看出,若假设材 料是无限弹性体,则当 δ →∞时,P→PE,即临界荷载 P 以欧 拉荷载 PE 为极值.然 而实际材料都是有限弹性的,由于压弯构件平面内弯曲失稳时,构件为弹 塑性工 作状态,因此弹性分析只有理论意义. 下面仅讨论两端铰接受轴向压力和平面内 横向荷载共同作用的弹性压弯构件的内力与变形 性能. 1. 横向均布荷载作用的 压弯构件 横向均布荷载作用的压弯构件 图 3.4(a)所示 为在均布荷载 q 作用 下两端铰接的压弯构件.假定材料完全弹性,取图 3. 4(c) 所示隔离体, 在距左端 x 处截面的内力矩 M f = EIy ′′ ,外力矩 M e = Py + qx (l x ) 2 ,平衡方程 为 令 k = P EI ,则 2 EIy ′′ + Py = qx(l x ) 2 qx( x l ) 2 EI 2 方程 (3. 1)的特解可写作 y = c1 x + c 2 x + c 3 ,代入方程( 3. 1 ) ,有 y ′′ + k 2 y = (3.1) (Pc1 q 2)x 2 + (Pc 2 + ql 2)x + Pc3 + 2 EIc1 = 0 上式是恒等式,故 53 c1=q∕(2P) ,c2= -q l ∕(2P) 2 ,c3= -EIq∕P 2 方 程( 3. 1 )对应的齐次线性方程 y〃+k y =0 的通解可写作 y =Asin kχ +Bcos kχ , 则方程 ( 3. 1 ) 的通解为 2 2 y= Asin kχ +Bcos kχ + qχ ∕(2P)-q l χ ∕(2P)-EIq/ P (3.2) 由边界条件 y(0) =0 , y( l )=0 得 A= EIq∕P tg (κ l ∕2) , 2 B=EIq∕P 2 则 q kl qx tg sin kx + cos kx 1 2 (l x ) k EI 2 2k EI 构件在 x = l 2 处有最大挠度 y max , 令 u = kl 2 ,可得 y= 4 (3.3) y max = ql 4 1 cos u ql 4 16 EIu 4 cos u 32 EIu 2 12(2 sec u u 2 2) = y0 5u 4 (3.4) 式中: y 0 = 5ql 4 (384 EI ) 是均布荷载作用下简支梁的最大挠 度,即当 P=0 时,由式 ( 3. 4 ) 求得 的最大挠度.式( 3. 4 ) 中括号内的值为考虑 轴线压力后最大挠度的放大系数. 图 3.4 均布荷载作用的压弯构件 将 sec u 展 开成幂级数,有 sec u = 1 + 式中 1 2 5 4 61 6 277 8 u + u + u + u + 2 24 720 8064 u= kl l = 2 2 P π = EI 2 P PE 则式( 3. 4 )可写成 y max = y 0 1 + 1.034(P PE ) + 1.0038(P PE ) + ≈ y 0 2 [ ] 1 1 P PE (3.5) 式中 Am = 1 / (1 P / PE ) 是最大挠度的 放大系数. 构件中点的最大弯矩为 = Am y0 54 1.028 P PE M max = ql 2 8 + Py max = M 0 1+ 1 P PE β mM = 1 P P = Am M 0 E (3.6) 式中 M 0 = ql 2 8 是均布荷 载作用下简支梁跨中的最大弯矩; β m 为等效弯矩系数; Am 为弯矩放大 系数,

用以考虑轴压力 P 产生的二阶效应. 2. 横向集中荷载作用的压弯构件 由图 3.5(c)知,当 0< x ≤ l 2 时,平衡方程为 EIy ′′ + Py = Qx 2 令 k 2 = P ( EI ) , 则 通 解为 y ′′ + k 2 y = Qx (2 EI ) (3.7) 3 Ql (tgu u ) = Ql 33 (tgu u ) = y0 3(tgu3 u ) (3.9) 4 Pu 48EI u u 式中 y 0 = Ql 3 (48 EI ) 是集中荷载 Q 作用在跨中时简支梁的最 大挠度,3(tgu u ) u 3 是有轴压力作 用时最大挠度放大系数. 将 tgu 展成幂级数 y = A sin kx + B cos kx Qx (2 P ) Q 引入边界条件 y (0 ) = 0 , y ′(l 2) = 0, 得 B = 0, A = sec (kl 2), 则通解 2 Pk Q kl y= sec sec kx kx 2 Pk 2 令 u = kl 2, 当 x = l 2 时,跨中最大挠度为 ymax = (3.8) tgu = u + u 3 3 + 2u 5 15 +17u 7 315 + 将 u = kl 2 = π 2 P PE 代入,则式( 3. 9 )可改写为 y max = y 0 1 + 0.987(P PE ) + 0.986(P PE ) + ≈ y 0 2 [ 图 3.5 跨中集中荷载作用的压弯构件 ] 式中 1 (1 P / PE ) 为最大挠 度放大系数. 跨中最大弯矩为 1 1 P PE (3.10) M max = Ql 4 + Py max = Ql Pl 2 1 + 4 12 EI (1 P PE ) 55 1 0.178 P PE β m M 0 = =M0 (3.11) 1 P P 1 P P = Am M 0 E E 式中 M 0 = Ql 4 是集中荷载作用下简支梁最大弯矩; β m 为等效弯矩系数;弯矩 放大系 数 1 0.2 P PE . Am ≈ 1 P PE 对于弹性压弯构件,根据各种荷载作用和支 撑情况,可以计算出跨中弯矩 M max 的表达通式 β mM (3.12) M max = 1 P PE 再考虑初始缺陷的影响,假定各种缺陷的等效初弯曲呈跨中挠度为 ν 0 的正弦曲 线,则在任意横 向荷载或端弯矩作用下跨中总弯矩应为 β M + Pν 0 (3.13) M max = m 1 P PE 当压弯构件长度中点截面边缘纤维达到屈服时,其应满足 P β m M + Pν 0 + = fy A (1 P PE )W 令( 3. 14)中 M = 0 ,则得到有初始缺陷的轴心压杆边缘 纤维屈服时的表达式 P0 P0ν 0 + = fy A (1 P0 PE )W 因为 P0 = Af y ( 为轴心压 杆稳定系数) ,则由式( 3. 15 )得 (3.14) (3.15) ν 0 = 11 PE A 将式( 3. 16 )代入( 3. 14 ),整理得由边缘纤维屈服导出的相关公式 β mM P + = fy A W (1 P PE ) 其中 等效弯矩系数 β m 取值见表 3.1. 3.1.2 压弯构件平面内弹塑性弯曲失稳 从图 3.3 可以看出,当压弯构件截面边缘纤维开 始屈服, 构件进入弹塑性阶段后, 随 着外荷载的增加, 截面弹性区越来越小, 构件抗弯刚度降低, 变形加快, 以至构 件抗弯能力增加小于外力作用效应的增加, 达 到极限状态时(图 3.3 极值点 B) , 内外力开始无法 平衡, 构件发生平面内弹塑性整体失稳. 由于压弯构件的截面 形状, 尺寸和外力作用方式 等不同, 弯曲失稳时构件塑性发展的范围可能只出 现 在图 3.6 (a) 所示的阴影区, 即弯曲凹面受压的一侧; 也可能如图 3.6(b)所示,

在受压凹面和受拉凸面同 时出现塑性区;对单轴对称截面压弯构件,塑性区也 可 能只出现在受拉凸面的一侧,图 3.6(c)所示. 1 Af y W (3.16) (3.17) 图 3.6 压弯构 件弯曲失稳的塑性区分布 压弯构件的极限荷载求解比较困难, 一般情况下可用 数值积分法得到数值解, 但如果截面形 状比较简单, 不考虑初弯曲和较复杂的 残余应力分布影响时, 经简化后也可用解析法得到近似解. 56 表 3.1 等效弯矩 系数 β m 值 1. 解析法 对于轴压力 P 和两端相同弯矩 M 共同作用的两端简 支压弯构件 (图 3.7) 用 Jezek 解析法[18] , 求解可以求出精确度比较高的极限 荷载.其假设为: (1) 材料为理想的弹塑性体; (2) 构件的变形曲线为正弦曲线的 一个半波. 图 3.7a 是矩形截面的压弯构件, 在轴力 P 和端弯矩 M 共同作用下, 平面内弹塑性弯曲失稳 时构件截面的塑性有两种类型: 只出现在受压区, 如图 3.7b 阴影部分所示, 截面弹性区高度为 he , 细长构件常属此类; 另一类为受压, 受拉区均出现塑性区,图 3.7e 所示,短粗构件常属此类. 下面分别加以讨论: 1)第 一种情况:塑性区仅出现在受压区(图 3.7b) 图 3.7c、图 3.7d 分别为第 1 种情 况截面的应变和应力图.由应力图可以分别得出轴线方向 力和力矩的平衡方程: 2 Py P 1 P = δ y A δ y + δ t bhe 或 δ y + δ t = (3.18) 2 bhe ( ) ( ) 57 图 3.7 矩形截 面压弯构件中央截面的应变和应力 M + Pv = 由上式可解出弹性区高度 1 (δ y + δ t )bhe h he 2 2 3 3h 3(M + Pν ) 2 Py P (3.19) he = (3.20) 式中, Py = Aδ y ,表示轴 心受压时全截面屈服压力. 由应变图知曲率 Φ= ε y + ε t he = δ y +δ t Ehe = 2(Py P ) Ebhe2 (3.21) 根据变形曲线假定,挠曲线为 y = ν sin (π x l ) 中央截面处的曲 率为 由式(3.21)式( 3. 22 )知 (3.22) (3.23) Φ = y ′′(l 2 ) = vπ 2 / l 2 l Ebhe2 将( 3. 20 )代入( 3. 22 )后,得到构件压力 P 与挠度 v 的函数关系 h P ν 1 2 Py 由极值 条件 ν π 2 2 = 2(Py P ) (3.24) M + Pν 2l 2 Py 1 P = 2 Py 9bπ E Py 2 3 (3.25) dP dν = 0 ,得 ν = 将式( 3. 26 )代入( 3. 25)后,得 1 Py h P M 1 3 P 2 Py Py (3.26) 58 1 2M P = 2 × bh 3 1 (3.27) 12 l hPy (1 P Py ) 1 1 由于 P = 0 时,截面边缘纤维开始屈服时 的弯矩 M y = bh 2δ y = Py h ,且全截面的惯性矩 6 6 1 I x = bh 3 ,则构件在平面 内弯曲失稳的弹塑性极值荷载 12 π 2E 3 M (3.28) Pu = 1 l 2 3M y (1 Pu Py ) 将式 ( 3. 26 )代入( 3. 20),得情况 1 的弹性区高度 M he = h 1 (3.29) 3M y (1 Pu Py ) 则 ( 3. 28 )可以写成 3 π 2 EI x he π 2 EI ex (3.30) Pu = = l2 h l2 式中, I ex 是弹性区 截面惯性矩,说明塑性发展使构件抗弯刚度下降至 EI ex ,极限荷载与以弹性 区

为截面的轴心受压构件的欧拉临界力相当. 塑性区出现第一种情况的条件是图 3.7 d 中截面受拉侧的应力 δ t ≤δ y , 由式( 3. 18 )可以得出 π 2 EI x 3 he ≥ (1 Pu Py )h (3.31) 也可写作 Pu Py ≥ M 3M y 1 Pu Py ( ) (3.32) 2) 第 2 种情况:塑性区 同时出现在受压,受拉区(图 3.7 e) 出现第 2 种情况的条件为 M Pu Py < 3M y 1 Pu Py ( ) (3.33) 根据图 3.7g 所示的应力分布,可以分别列出轴线压力和力矩平 衡方程 P = Py bhe δ y 2bcδ y 由应变图 3.7f 知曲率 (3.34) (3.35) M + Pν = bheδ y (h 2 he 3 c ) + 2bcδ y (h 2 c 2 ) he Ehe l2 联立式( 3. 34) 、( 3. 35 ) 、( 3.36 )可得 到 P 与 ν 之关系 2 P 2 M + Pν l 4δ y 2 h ν { 1 }= 4 Py Py 3hπ 4 E dv 由极值条件 = 0 ,得 dP Py h P ν = 1 3P 2 Py 2 Φ= 2ε y = 2δ y =ν π 2 (3.36) (3.37) 2M Py (3.38) 将式( 3. 38 )代入式( 3. 37 ),整理后得 59 P [1 u Pu = P l2 y 由式( 3. 36 ) 、( 3. 38 ) 、( 3. 39 )得到 π 2 EI x 2M ]3 3M y 2 2 (3.39) he = h 1 Pu Py ( ) 3 2M 3M y (3.40) 则式( 3. 39 )可以写作 Pu = π 2 EI x he l2 = h π 2 EI ex l2 (3.41) 式( 3. 41 ) 与式( 3. 30 ) 的表达形式一致. 关于压弯构件的平面内弹塑性稳定分析, 除了简 明的 Jezek 方法外,还有较精确的数值积分 法. 2. 数值积分法 上述 Jezek 方法 由于先假定压弯构件的变形曲线,此曲线与实际的变形曲线有误差,因此不 可能 建立各个截面的力平衡方程, 而只能建立弯矩最大截面处的内外力平衡方程. 在 分析中也没 有考虑残余应力等初始缺陷的影响.由于计算中简化较多,解析解的 精度有待提高,可以用数值 法确定压弯构件的极限荷载.数值法有多种,数值积分 法是常用的一种. 数值积分法可分为二步计算: 首先根据截面的内力平衡条件建 立弯矩 M , 压力 P 和曲率 Φ 之 间的关系;然后根据构件的变形曲线建立挠度, 转角和曲率之间的关系,由于曲率与外力矩相对 应, 故可通过同一截面的曲率建 立压力与挠度的关系, 通过分级加载得到压力 P 与构件中点挠度 ν m 的对应 函数关系,利用极值条件即可得到压弯构件的极限荷载. 以图 3.8(a)为例,说明数 值积分法的计算过程. 已知截面尺寸、构件长度、荷载作用条件 M P = e ,残余应 力分布如图 3.8(b) 所示,残余 压应力、 拉应力峰值分别为 δ rc 和 δ rt ,材料为理 想弹塑性体. 图 3.8 压弯构件数值积分法示例 1) 建立截面的 M P Φ 关系 图 3.9(a)表示划分为很多单元的工形截面,单元的面积为 Ai ,截面任一点的应变 ε i 是轴 向应变 ε 0 、弯曲应变 Φz i 和残余应变 ε ri = δ ri E 三部分的代数和(如 图 3.9(b)、 (c)所示) , 即 ε i = ε 0 + Φz i + ε ri (a) 60 图 3.9 截面的应变 当截面处

于弹性状态时,应力 δ i = Eε i ,根据内力平衡条件 M = ∫A δ i z i dA = ∫A E (ε 0 + Φz i + ε ri )z i dA = EΦ ∫A z i2 dA = EI x y ′′ P = ∫A δ i dA = ∫A E (ε 0 + Φz i + ε ri )dA = Eε 0 A (b) (c) 由式(c)可知,当截面处于弹性状态时,压弯构件和受弯构件 一样,弯矩 M 与曲率 Φ 成正比, 而与轴线压力 P 无关.但在弹塑性状态,因各 截面塑性发展程度不同, M P Φ 相关. 在弹塑性状态时,若以 ε y = δ y E 表示屈 服应变,任一单元面积 Ai 上的应力均取平均值, 则有 δ i = Eε i δ i =δ y δ i = δ y 当 ε y ≤ ε i ≤ ε y 时 当 当 ε i >ε y 时 ε i < ε y 时 (d) 截面的轴向压力 P 和弯 矩 M 分别为 P = ∑ δ i Ai A M = ∑ δ i Ai z i A (e) 联合(a)、 ,通过对式(e)数值积 (d) 分即可得到构件在弹塑性状态的 M P Φ 关系.具 体算法见如下框图 图 3.10 电算框图 61 2)求解压弯构件的极限荷载 Pu 以图 3.11 所示两端铰接,几何条件 和荷载作用均对称的压弯构件为例,具体求解过程见框 图 3.12. 图 3.11 两端铰 接压弯构件 图 3.11(a)中所示压弯构件在给定一个轴力 P1 情况下,端部挠度 y 0 =0,而转角 ? 0 未知, 使其满足构件中点的转角 ? m =0 即可, 若给定的 ? 0 不能使 ? m 足 不过可以先给定一个 ? 0 的初始值, 够小(如 ? m <10 5 ) ,则调整 ? 0 重新迭代,直至 ? m 足够小,满足计算精度要求.这样就可 以得 到与给定轴力 P1 对应的构件中点的挠度 v m1 值, 如图 3.11(b)所示. 同 理,可以得到不同的轴力 P 对应的构件中点的挠度 ν m 值,最终可以画出图 3.11(b)所示 的 P ν m 曲线,其极限点 B 对应的 P 即为极限荷载 Pu . 对不同 的荷载作用,数值积分的思路相同,但具体计算细节有所不同.通过理论求解和试 验 分析压弯构件在平面内的极限荷载,才可以推演出压弯构件的稳定设计公式. 62 图 3.12 压弯构件极限荷载电算框图 3.1.3 压弯构件弯矩作用平面内的稳定 理论在设计中的应用 压弯构件在弯矩作用平面内的整体稳定计算通常采用两个 计算准则, 即边缘纤维屈服准则和 极限承载力准则. 1. 边缘纤维屈服准则 边缘 纤维屈服准则以弹性分析为基础, 以弯矩最大截面边缘纤维屈服作为计算准则. 这一准 63 则比较适用于冷弯薄壁型钢压弯构件, 因为这类构件的边缘纤维屈 服荷载非常接近于构件的极限 荷载;该准则也用于格构式压弯构件绕虚轴弯曲 的稳定计算. 参照式(3.17) ,给合压弯构件弯矩作用平面内的稳定概念,可以得到 按边缘纤维屈服准则 导出的相关公式 β mx M x P + = fy (3.42) x A P W1x 1 x

PEx 式中 x 为弯矩作用平面内轴心受压构件的整体稳定系数; W1x 为受压最 大纤维的毛截面抵抗矩; β mx 为等效弯矩系数,参见表 3.1. 将式(3.42)写成设计 公式,即 β mx M x P + ≤f (3.43) x A P W x 1 x PEx 式中 f 为钢材屈服强度设计值. 2. 极限承载力准则 一般钢结构中的压弯构件当截面最大纤维刚开始屈服时尚 有较大的强度储备, 即可以容许截 面塑性有一定发展,因此应该以 弹塑性稳定 理论为基础,以失稳时的极限荷载为计算准则. 压弯构件的初偏心和初弯曲对构 件的影响性质上相同,因此在制定规范时考虑构件存在 l 1000 的初弯曲(即初弯 曲的矢高为构件长度 l 的 1/1000) ,考虑实测的残余应力分布,用数值方 法计算 出近 200 条压弯构件的极限承载力曲线.将用数值方法得到的压弯构件极限承 载力 Pu 与 用边缘纤维屈服准则导出的相关公式(3.42)中的轴心压力 P 比较后 发现,对于短粗实腹杆,式 (3.42)偏于安全;而对细长实腹杆,式(3.42)偏于不安全. 因此,规范借用了弹性压弯构件 边缘纤维屈服准则计算公式的形式, 同时考虑截 面塑性发展和二阶弯矩, 最后提出了一近似相关 公式,即规范所采用的实腹式压 弯构件弯矩作用平面内的稳定计算公式 β mx M x P + ≤ f (3.44) xA γ RP γ xW1x 1 0.8 PEx 式中 P ——所计算构件段范围内的轴向压力; M x ——所计算构件段 范围内的最大弯矩; x ——弯矩作用平面内的轴心受压构件的稳定系数; W1x ——弯矩作用平面内较大受压纤维的毛截面抵抗矩; PEx——欧拉临界力; γ R — —抗力分项系数,对 Q235 钢,γ R = 1.087 ,对 Q345,Q390,Q420 钢,γ R = 1.111 ; β mx ——等效弯矩系数,参见表 3.1. 对于 T 型钢,双角钢 T 形等单轴对称截面 压弯构件,当弯矩作用于对称轴平面且使较大翼 缘受压时,构件失稳时出现的塑 性区除存在受压区屈服和受压,受拉区同时屈服两种情况外,还 可能在受拉区首 先屈服而导致构件失去承载能力,因此除了按式(3.44)计算外,还应按下式计 算: 64 P A 式中 β mx M x γ P γ xW2 x 1 1.25 R PEx ≤ f (3.45) W2 x ——受拉侧最外 纤维的毛截面抵抗矩; γ x ——与 W2 x 相应的截面塑性发展系数. 其余符号同 式(3.44) ,上式第二项分母中的 1.25 也是经过与理论计算结果比较后引进的修 正系数. 3.2 压弯构件平面外失稳 如图 3.1(c)所示,当压弯构件没有设置侧向支 撑时,在外荷载 P 尚未达到平面内弯曲失稳的 临界荷载 Pu 之前,就可能导致压 弯构件发生空间的弯扭失稳,也称平面外弯扭屈曲.当构件长 细比较大时,有可能 在弹性阶段失稳;在长细比较小等情况下也有可能在弹塑性阶段失稳. 对于外力

作用和端部支撑条件较简单的压弯构件,可以用平衡法求解弯扭屈曲荷载的精确 解;如果外力作用或端部支撑条件较复杂,可以用能量法求解.在弹塑性阶段发生 弯扭屈曲的压 弯构件,采用数值法可以获得较高的求解精度. 3.2.1 压弯构件的 弹性弯扭失稳 压弯构件的弹性弯扭失稳 1. 平衡法求解单轴对称截面压弯构件 的弹性弯扭屈曲荷载 以两端简支单轴对称截面压弯构件(图 3.13)为例,说明平 衡法求解弹性弯扭屈曲荷载的过 程. 图 3.13 压弯构件弯扭变形及受力 65 分 析中采用两个坐标系,即截面的固定坐标系 oxyz 和移动坐标系 o ′ ξ ? ? (图 3.13) ,且 采用如下假设: ① 构件为弹性体; ② 发生弯曲与扭转变形时,截面的 形状不变; ③ 弯曲与扭转变形微小; ④ 构件是无缺陷的等截面直杆; ⑤ 在弯 矩作用平面内抗弯刚度很大, 屈曲前平面内的弯曲变形对弯扭屈曲的影响可以 忽略. 参考第二章 2.4 节中单轴对称截面轴心受压构件弹性弯扭失稳建立平衡 微分方程的过程, 可 以分别得到绕 ξ 轴和? 轴 的弯矩平衡方程. EI xν ′′ + Pν + M x = 0 (3.46) EI y u ′′ + Pu + (M x + Py 0 ) = 0 (3.47) 由图 3.13a 所示受力条件 和坐标系,如以压应力为正值,则构件截面上任一点的正应力 P M y (3.48) δ = x A Ix Wagner 效应系数为 M P 2 2 K = ∫A (δ + δ r )ρ 2 dA = ∫A x 2 + ( y y 0 ) dA x ∫A y x 2 + ( y y 0 ) dA + ∫A δ r x 2 + y 2 dA A Ix [ ] [ ] ( ) = 式中 : M P 2 I x + I y + Ay 0 x A Ix ( ) [∫ y(x A 2 + y 2 )dA 2 I x y 0 + ∫A δ r (x 2 + y 2 )dA = ρ i 0 2 β y M x + R 2 ] 2I x 是截面的几何性质参数, β y 为不对称截面常数,对于单轴对称工形截面, β y 中前一项数值常比 y 0 小得多,对图 3.13c 所示坐标系,剪心矩 y 0 是正值,则 β y 将是负值. 外弯矩 M x 在纵轴? 方向的分量为 i0 2 = (I x + Iy ) A+ y , 2 0 β y ∫ y (x = A 2 + y 2 )dA y 0 , R = ∫A δ r (x 2 + y 2 )dA . i 0 和 β y 都 M x sin ? ≈ M x ? = M x u ′ 切力 Pu ′ 产生的扭矩从图 3.13c 知为 则在? 方向总的非均 匀扭矩 扭矩平衡方程为 Pu ′ y 0 cos ≈ Py 0 u ′ 2 M ? = Pi 0 2 β y M x + R ′ + M x u ′ + Py 0 u ′ EI w ′′′ + Pi0 2 β y M x GI t + R ′ + (M x + Py 0 )u ′ = 0 2 ( ) (3.49) (3.50) ( ) 联立方程(3.46)(3.47)和(3.50) , ,得到适合任何边界条件的压弯构件微分 方程组 EI x ν IV + Pν ′′ = 0 (3.51) EI w IV + Pi0 2 β y M x GI t + R ′′ + (M x + Py 0 )u′′ = 0 2 ( EI y u IV + Pu′′ + (M x + Py0 ) ′′ = 0 ) (3.52) (3.53) 由于忽略了屈曲前

平面内弯曲变形对弯扭屈曲的影响,因此方程(3.51)与后面两方程解耦, 只能用于 描述平面内荷载—挠度弹性曲线.后两个方程是耦联的,引入边界条件,可联立求 解得 到构件的弹性弯扭屈曲荷载 Pyw . 对两端简支的压弯构件,满足边界条件 的变形函数为 π z π z = c 2 sin u = c1 sin , l l 66 将它们代入方程(3.52)(3.53) , ,得 (M x + Py 0 )c 2 = 0 Py P c1 2 2 (M x + Py 0 )c1 + i0 Pw i0 P 2 β y M x c 2 = 0 ( ) [ ( )] (3.54) 式中: p y = π 2 EI y l 2 , Pw = 2 1 π EI w + GI t R . 2 2 i0 l 由 c1 和 c 2 有非零解的条件为系数行列式为零, 可以得到屈曲方程 (P y P ) i 02 Pw (i 02 P 2 β y M x ) (M x + Py 0 ) = 0 2 [ ] (3.55) 方程(3.55)中的 M x 以弯矩使形心以上 的负方向受压时为正,受拉时为负;而偏心矩 e y 符号与 y 轴正负一致,由图 3.13a 知 M x = Pe y ,代入方程(3.55) ,则有 (P y P ) i02 Pw P (i02 + 2 β y e y ) ( y 0 e y ) P 2 = 0 2 [ ] (3.56) 2 解之得弹性弯扭屈曲荷载 Pyw = i 02 (Py + Pw ) + 2 β y e y Py [i (P 2 0 2 i02 + 2 β y e y ( y 0 e y ) y [ + Pw ) + 2 β y e y Py ] 2 4i02 Py Pw i 02 + 2 β y e y ( y 0 e y ) 2 ] [ ] (3.57) 相应的弯扭屈曲应力 δ yw = Pyw A = π 2E λ 2 yw (3.58) 式中 λ yw 为计算弯扭屈曲应力的换算长细化 λ yw = λ y 其中 w = 2 2 w 2 + i0 + 2β y e y 2w 2 2 w 2 + i0 + 2β y e y + 2w 2 i 2 + 2β y e y y 0 e y 0 w2 2 ( ) ( 2 ) 2 (3.59) A l2 对双轴对称截面压弯构件,因 y 0 = 0, β y = 0, i02 = (I x + I y ) A ,则方程(3.55)为 λ 2y I ω + GI t R . π 2E (P y P )(Pw P ) M x2 i02 = 0 (3.60) 解出 弯扭屈曲荷载 1 Pyw = Py + Pw 2 (P y + Pw ) 2 2 2 4 Py Pw M x l 0 ( ) (3.61) 对无 对称轴截面压弯构件,开始施加压力 P,构件就产生双向弯曲变形和扭转,因此属 于极 值点失稳问题.对此类问题用平衡法求解析解较困难,一般采用能量法[19] 或数值法求解其极限 荷载. 【例题 3.1】 已知两端简支的单轴对称 T 形截面压 弯构件的长度 例题 为 4m,构件的两端作用有弯矩 M x = 10kN m ,截面尺寸如 图 3.14 . 钢 材 δ y = 23.5 kN cm 2 , E = 2.06 × 10 4 kN / cm 2 , G = 7.9 × 10 3 kN / cm 2 ,按理想弹塑性体计算,不计残余应力.构 件在弯矩作用平面内的极限荷载 Pu = 735kN .求此压弯构件的屈 曲荷载. 图 3.14 T 形截面压弯构件 67 [解]: 1) 计算截面的几何性质 截面积 A=2 × 1 × 20=40cm 2 1 × 20(10 + 0.5) y0 = = 5.25cm 剪心矩 2 × 20 1 惯性矩 I x = 1 × 20 × 5.25 2 + × 1 × 20 3 + 1 × 20 × 5.25 2 = 1769.2cm 4 12 1 3 I y = × 1 × 20 = 666.7cm 4 12 1 I k = 2 × × 20 × 13 = 13.33cm 4 , Iw = 0 3 Ix 对翼缘边缘抵抗矩 W1x = = 307.07cm 3 5.25 + 0.5 I W2 x = x =

116cm 3 对腹板边缘抵抗矩 15.25 Ix + Iy 2 i02 = + y 0 = 88.46cm 2 A ∫ y (x A 2 7000 ( 5.25) = 1.98 + 5.25 = 7.23cm 2I x 2 × 1769.2 2) 计算 M x = 10kN m 时构件 的弯扭屈曲荷载 Pyw β y = ∫ y (x A + y 2 )dA = t ∫ 4.75 y 3 dy + 2t ∫0 ( 5.25)(x 2 + 5.25 2 )dx = 7000cm 5 15.25 10 2 + y 2 )dA y0 = Py = π 2 EI y l 2 = π 2 × 2.06 × 10 4 × 666.7 / 400 2 = 847.2kN Px = π 2 EI x / l 2 = π 2 × 2.06 × 10 4 × 1769.2 / 400 2 = 2248.2kN 3 1 2 Pw = 2 (π 2 EI w l w + GI k ) = GI k i02 = 7.9 × 10 × 13.33 = 1190.4kN 88.46 i0 由式(3.55)得 60.9 P 2 184206 P + 100463044 = 0 解出 (847.2 P )[88.46 × 1190.4 (88.46 P 2 × 7.23 × 10 × 10 2 )] [10 × 10 2 + ( 5.25P )]2 = 0 Pyw = 713.86kN 3) 确定屈曲荷载 由于翼缘边缘纤维的压应力 713.86 10 × 10 2 1 + 0.234 × 713.86 2248.2 δ 1 = + =17.85+5.12= 22.97 kN cm 2 < δ y = 23.5 kN cm 2 713.86 40 307.71 2248.2


相关文章:
弹性模量计算公式
弹性模量计算公式_机械/仪表_工程科技_专业资料。弹性模量计算公式 文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT,或下载源文件到本机 查看。 第三章 压弯...
混凝土静力受压弹性模量计算公式
混凝土静力受压弹性模量计算公式(混凝土试块尺寸 150*150*300)换算系数=1.0 弹性模量= 【Fmax1/3—F ( / 150*150) 】×【150/ (0.5MPa) (S 终-S 初...
弹性模量E和泊松比
材料在弹性范围内抵抗 变行的难易程度, 在实际工程结构中, 材料弹性模量 E ...6.6.将测试结果代入有关公式进行计算,求出 E,μ。 (六) (六) 思考题 1...
钢筋混凝土弹性模量计算方法
钢筋混凝土弹性模量计算方法 这里我们选用 ANSYS 软件自带的专门针对 (1) 首先建立有限元模型, 混凝土的单元类型 Solid 65,进入 ANSYS 主菜单 Preprocessor->Element...
弹性模量的测定整理
静态测试的是材料在弹性变形区间的应力-应变,静态指在试样上施加一恒定的弯曲应 力,测定其弹性弯曲挠度,根据应力和应变计算弹性模量。静态法属于对试样具有...
三点.四点抗弯强度.模量计算公式
三点.四点抗弯强度.模量计算公式_电力/水利_工程科技_专业资料。三点.四点抗弯强度.模量计算公式板材 I=a*h^3/12 棒材 I=d^4*3.1416/64 弹性比率 s=...
土的弹性模量参考值
土的弹性模量参考值_建筑/土木_工程科技_专业资料。常见土的弹性模量参考值 静止侧压力系数 K0 参考值 土类 饱和松砂 饱和紧砂 干紧砂(e=0.6) 干松砂(e=...
弹性模量解析
英文名称:Elastic Modulus,又称 Young 's Modulus(杨氏模量) 定义: 材料在弹性变形阶段, 其应力和应变成正比例关系 (即符合胡克定律) , 其比例系数称为弹性模量...
力学计算公式
力学计算公式_建筑/土木_工程科技_专业资料。常用力学计算公式统计一、材料力学:...的弹性模量,ε 为轴向应变, EA 为杆件的刚度 (表示杆件抵抗拉、 压弹性...
关于土体的弹性模量
压缩模量),在数值计算中,有两种 取法: 1)一种是按弹性理论推出的弹性模量与...论述三(实际遇上的情况) 土的弹性模量是土抵抗弹性变形的能力,压缩模量是土在...
更多相关标签:
弹性模量 | 弹性模量公式 | 弹性模量的计算公式 | 弹性模量的测定 | 弹性模量测量 | 弹性模量 单位 | 弹性模量e计算公式 | 拉伸弹性模量计算公式 |