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江苏省2013届高考数学复习专题3 导数


江苏省 2013 届高考数学复习专题 3

导数(Ⅰ)

导数作为研究函数的重要工具,同时也是学习高等数学的基础,一直受到命题者的青 睐.2008 年考了 2 小题,并在 17 题中进行了考查?运用导数求三角函数的最值?;2009 年考了 2 小题,都是考查三次函数的导数,显然重复;2010 年第 8 题和压轴题都考查了导数;2011 年

12 题和 19 题;2012 年 14 题和 18 题.可以看出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几 何意义或者导数的四则运算以及利用导数研究极值、单调性等. 预测在 2013 年的高考题中: ?1?导数的几何意义; ?2?利用导数研究函数的单调性或者极值、最值.

1.(2009· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在 第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为________. 解析: y′=3x2-10=2?x=± 又点 P 在第二象限内, x=-2.点 P 的坐标为(-2,15). 2, 故 答案:(-2,15)
2 2.(2010· 江苏高考)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为

ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=________. ak 解析:在点(ak,a2)处的切线方程为 y-a2=2ak(x-ak),当 y=0 时,解得 x= ,所以 k k 2 ak ak+1= .则 a1+a3+a5=16+4+1=21. 2 答案:21

3.若函数 f(x)=ex-2x-a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值 范围是________. 解析:当直线 y=2x+a 和 y=ex 相切时,仅有一个公共点,这时 切点是(ln 2,2),直线方程是 y=2x+2-2ln 2,将直线 y=2x+2-2ln 2

1

向上平移,这时两曲线必有两个不同的交点. 答案:(2-2ln 2,+∞) 4.(2010· 江苏高考)将边长为 1 m 的正三角形薄片, 沿一条平行于底边的直线剪成两块, ?梯形的周长?2 其中一块是梯形,记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 解析:设剪成的小正三角形的边长为 x,则
2 ?3-x?2 4 ?3-x? S= = · 2 (0<x<1). 1 3 3 1-x ?x+1?· ?1-x? 2 2

法一:利用导数求函数最小值. S(x)= 4 ?3-x? · 2 , 3 1-x
2

S′(x)= =

?1-x2?-?3-x?2· ?-2x? 4 ?2x-6?· · 2 2 ?1-x ? 3

4 -2?3x-1??x-3? · . ?1-x2?2 3

1 令 S′(x)=0,又 0<x<1,所以 x= . 3 1 1 当 x∈?0,3?时,S′(x)<0,函数单调递减;当 x∈?3,1?时,S′(x)>0,函数单调递增; ? ? ? ? 1 32 3 故当 x= 时,S 取最小值为 . 3 3 法二:利用函数的方法求最小值. 1 1 1 令 3-x=t,t∈(2,3), ∈?3,2?,则 ? t ? S= 4 t2 4 1 · 2 = · . 3 -t +6t-8 3 8 6 - 2+ -1 t t

1 3 1 32 3 故当 = ,x= 时,S 取最小值为 . t 8 3 3 32 答案: 3 3

5.(2011· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图象上 的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是________. 解析:设 P(x0,ex0),则 l:y-e x0=e x0 (x-x0), 所以 M(0,(1-x0)e x0).过点 P 作 l 的垂线其方程为 y-e x0=-e-x0 (x-x0),N(0,e x0+x0e-x0),

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1 所以 t= [(1-x0)e x0+e x0+x0e-x0] 2 1 =e x0+ x0(e-x0-e x0). 2 1 t′= (ex0+e-x0)(1-x0),所以 t 在(0,1)上单调增,在(1,+∞)上单调减,所以当 x0=1 2 1 1 时,t 取最大值 tmax= ?e+e?. ? 2? 1 1 答案: ?e+e? ? 2?

[典例1] (2012· 扬州调研)已知函数 f(x)=ex+ax,g(x)=ex ln x(e 是自然对数的底数). (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线也是抛物线 y2=4(x-1)的切线,求 a 的值; (2)若对于任意 x∈R,f(x)>0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围; (3)当 a=-1 时,是否存在 x0∈(0,+∞),使曲线 C:y=g(x)-f(x)在点 x=x0 处的切线 斜率与 f(x)在 R 上的最小值相等?若存在,求符合条件的 x0 的个数;若不存在,请说明理 由. [解] (1)f′(x)=ex+a, f′(1)=e+a, 所以在 x=1 处的切线为 y-(e+a)=(e+a)(x-1), 即 y=(e+a)x. 与 y2=4(x-1)联立,消去 y 得 (e+a)2x2-4x+4=0, 由 Δ=0 知,a=1-e 或 a=-1-e. (2)f′(x)=ex+a, ①当 a>0 时,f′(x)>0,f(x)在 R 上单调递增,且当 x→-∞时,ex→0,ax→-∞, 所以 f(x)→-∞,故 f(x)>0 不恒成立, 所以 a>0 不合题意; ②当 a=0 时,f(x)=ex>0 对 x∈R 恒成立, 所以 a=0 符合题意; ③当 a<0 时,令 f′(x)=ex+a=0,得 x=ln(-a),当 x∈(-∞,ln(-a))时,f′(x)<0; 当 x∈(ln(-a),+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,在(ln(-a),+∞) 上单调递增, 所以 f(x)min=f(ln(-a))=-a+a ln(-a)>0, 所以 a>-e.又 a<0, 所以 a∈(-e,0). 综上 a 的取值范围为(-e,0]. (3)当 a=-1 时,由(2)知 f(x)min=f(ln(-a))=

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-a+a ln(-a)=1. 设 h(x)=g(x)-f(x)=ex ln x-ex+x, 1 则 h′(x)=exln x+ex·-ex+1 x 1 =ex?ln x+x -1?+1, ? ? 假设存在实数 x0∈(0,+∞),使曲线 C∶y=g(x)-f(x)在点 x=x0 处的切线斜率与 f(x) 在 R 上的最小值相等,x0 即为方程的解, 1 令 h′(x)=1 得,ex?ln x+x -1?=0, ? ? 1 因为 ex>0,所以 ln x+ -1=0. x 1 1 1 x-1 令 φ(x)=ln x+ -1,则 φ′(x)= - 2= 2 , x x x x 1 当 0<x<1 时,φ′(x)<0;当 x>1 时,φ′(x)>0.所以 φ(x)=ln x+ -1 在(0,1)上单调递减, x 1 在(1,+∞)上单调递增.所以 φ(x)>φ(1)=0,故方程 ex?ln x+x -1?=0 有惟一解为 1. ? ? 所以存在符合条件的 x0,且仅有一个 x0=1.

第一问考查导数的几何意义; 第二问还可采用分离参数构造函数求最值的方法, 不过也 要进行讨论;第三问先求 f(x)的最小值,然后再研究函数 h(x)=g(x)-f(x)=exln x-ex+x 在 x =x0 处的切线斜率,最后利用函数与方程思想,把方程实根的问题转化为函数的零点问题. [演练1] 已知抛物线 C1:y=x2+2x 和 C2:y=-x2+a.如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线,称 l 是 C1 和 C2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段. (1)a 取什么值时,C1 和 C2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; (2)若 C1 和 C2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分. 解:(1)函数 y=x2+2x 的导数 y′=2x+2 曲线 C1 在点 P(x1,x2+2x1)的切线方程是 1 y-(x2+2x1)=(2x1+2)(x-x1), 1 即 y=(2x1+2)x-x2.① 1 函数 y=-x2+a 的导数 y′=-2x, 曲线 C2 在点 Q(x2,-x2+a)的切线方程是 2 y-(-x2+a)=-2x2(x-x2), 2 即 y=-2x2x+x2+a.② 2 如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线, 则①式和②式都是 l 的方程.
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?x1+1=-x2, ? 所以? 2 2 ? ?-x1=x2+a.
2 消去 x2 得方程 2x1+2x1+1+a=0.

1 当判别式 Δ=4-4×2(1+a)=0,即 a=- 时, 2 1 1 解得 x1=- ,x2=- ,此时点 P 与 Q 重合. 2 2 1 即当 a=- 时 C1 和 C2 有且仅有一条公切线, 2 1 由①得公切线方程为 y=x- . 4 1 (2)证明:由(1)可知,当 a<- 时 C1 和 C2 有两条公切线. 2 设一条公切线上切点为 P(x1,y1),Q(x2,y2), 其中 P 在 C1 上,Q 在 C2 上,则有 x1+x2=-1, y1+y2=x2+2x1+(-x2+a)=x2+2x1-(x1+1)2+a=-1+a, 1 2 1 1 -1+a? 线段 PQ 的中点为?- , . 2 ? ? 2 1 -1+a? 同理,另一条公切线段 P′Q′的中点也是?- , . 2 ? ? 2 所以公切线段 PQ 和 P′Q′互相平分. [典例2] (2012· 苏锡常镇一调)若斜率为 k 的两条平行直线 l,m 经过曲线 C 的端点或与曲线 C 相 切,且曲线 C 上的所有点都在 l,m 之间(也可在直线 l,m 上),则把 l,m 间的距离称为曲 线 C 在“k 方向上的宽度”,记为 d(k). (1)若曲线 C:y=2x2-1(-1≤x≤2),求 d(-1); (2)已知 k>2,若曲线 C:y=x3-x(-1≤x≤2),求关于 k 的函数关系式 d(k). 解:(1)y=2x2-1(-1≤x≤2)的端点为 A(-1,1),B(2,7), 1 7 ∵y′=4x,由 y′=-1 得到切点为?-4,-8?, ? ? ∴当 k=-1 时,与曲线 C 相切的直线只有一条. 结合题意可得,两条平行直线中一条与曲线 C:y=2x2-1(-1≤x≤2)相切,另一条直 线过曲线的端点 B(2,7). 9 ∴平行的两条直线分别为:x+y-9=0 和 x+y+ =0. 8 81 2 由两条平行线间的距离公式可得,d(-1)= . 16 (2)曲线 C:y=x3-x(-1≤x≤2)的端点 A(-1,0),B(2,6),

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∴y′=3x2-1∈[-1,11]. 下面分两种情况: ①当 k≥11 时,两条直线都不是曲线的切线,且分别经过点 A(-1,0),B(2,6),此时两 条直线方程分别为 l:y=k(x+1),m:y-6=k(x-2),所以 d(k)= 3k-6 ; 1+k2

②当 2<k<11 时,设切点 N(a,a3-a)得到 k=3a2-1>2 且-1≤a≤2 得到 1<a≤2,且 a = 1+k 从而推出 l,m 当中有一条与曲线 C 相切,有一条经过一点,且是经过 A(-1,0) 3

的直线,和以 B(2,6)为切点的直线,方程分别为 l:y=k(x+1),m:y=(3a2-1)(x-a)+a3 3 9k+2 3?1+k? 2 2 3 3 -a=kx- (1+k) ,所以 d(k)= . 2 9 2 9 1+k

? 1+k ,k≥11, 综上得 d(k)=? 3 9k+2 3?1+k? 2 ? 9 1+k ,2<k<11.
3k-6
2 2

本题是一个即时定义问题,背景新颖,在解决第二问时要注意将 k 看成一个常数,对 k 进行讨论,探究出两条直线与曲线 C 的关系是都相切还是都是经过点还是一个相切一个经 过点,并且了解经过哪个点.这些都可以利用导数这个工具解决. [演练2] 1 设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=3. x+b (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定 值,并求出此定值.

?2a+2+b=3, 1 解:(1)f′(x)=a- ,于是? ?x+b? 1 a- ? ?2+b? =0.
1
2 2

?a=1, ? 解得? 或 ? ?b=-1,

?a=4, ? 8 ?b=-3.
9 1 . x-1

因为 a,b∈Z,故 f(x)=x+

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1 (2)证明:在曲线上任取一点?x0,x0+x -1?, ? ? 0 1 由 f′(x0)=1- 知,过此点的切线方程为 ?x0-1?2 1 x2-x0+1 ? 0 y- = 1-?x -1?2?(x-x0). ? ? x0-1 0 x0+1 ? x0+1?; 令 x=1,得 y= ,切线与直线 x=1 的交点为?1, ? x0-1 ? x0-1? 令 y=x,得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1). 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1). 1?x0+1 ? 1? 2 ? -1?|2x0-1-1|= ? 从而所围三角形的面积为 ? |2x -2 |=2. 2?x0-1 ? 2? x0-1? 0 所以所围三角形的面积为定值 2. [典例3] (2012· 泰州中学期中)已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x(a, b∈R)在点(1, f(1))处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2 都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数 c 的最 小值; (3)若过点 M(2,m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 解:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3.
? ? ?f?1?=-2, ?a+b-3=-2, 根据题意,得? 即? ?f′?1?=0, ?3a+2b-3=0, ? ? ?a=1, ? 解得? ? ?b=0.

所以 f(x)=x3-3x. (2)令 f′(x)=0,即 3x2-3=0,得 x=± 1. x f′(x) f(x) -2 -2 (-2,-1) + ? -1 0 极大值 (-1,1) - ? 1 0 极小值 (1,2) + ? 2 2

因为 f(-1)=2,f(1)=-2, 所以当 x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2. 则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,
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所以 c≥4, 即 c 的最小值为 4. (3)因为点 M(2,m)(m≠2)不在曲线 y=f(x)上,所以可设切点为(x0,y0).因为 f′(x0)= 3x2-3,所以切线的斜率为 3x2-3. 0 0 x3-3x0-m 0 则 3x2-3= ,即 2x3-6x2+6+m=0. 0 0 0 x0-2 因为过点 M(2,m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,所以方程 2x3-6x2+6+m=0 有 0 0 三个不同的实数解. 所以函数 g(x)=2x3-6x2+6+m 有三个不同的零点. 则 g′(x)=6x2-12x.令 g′(x)=0,则 x=0 或 x=2. x g′(x) g(x) (-∞,0) + ? 0 0 极大值 (0,2) - ? 2 0 极小值 (2,+∞) + ?

?g?0?>0, ?6+m>0, ? ? 则? 即? 解得-6<m<2. ? ? ?g?2?<0, ?-2+m<0,

所以 m 的取值范围为(-6,2).

本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、极值、最值等问题,一、二两问中规中矩, 掌握好计算方法即可,第三问主要能够将“若过点 M(2, m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切 线”转化成“关于切点横坐标 x0 的方程 2x3-6x2+6+m=0 有三个不同的实数解”, 问题就 0 0 迎刃而解了. [演练3] (2012· 南京一模)已知函数 f(x)=x-1-ln x. (1)求函数 f(x)的最小值; 1 1 1 (2)求证:当 n∈N*时,e1+ + +?+ >n+1; 2 3 n (3)对于函数 h(x)和 g(x)定义域上的任意实数 x,若存在常数 k,b,使得不等式 h(x)≥kx +b 和 g(x)≤kx+b 都成立, 则称直线 y=kx+b 是函数 h(x)与 g(x)的“分界线”. 设函数 h(x) 1 = x2, g(x)=e[x-1-f(x)], 试问函数 h(x)与 g(x)是否存在“分界线”?若存在, 求出常数 k, 2 b 的值;若不存在,说明理由. 解:(1)∵f(x)=x-1-ln x(x>0), 1 x-1 ∴f′(x)=1- = . x x

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当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增. ∴f(x)的最小值为 f(1)=0. (2)证明:由(1)知当 x>0 时,恒有 f(x)≥0, 即 x-1≥ln x. 1 1 1 - 故 ex 1≥x,从而有 ex≥x+1,当且仅当 x=0 时取等号.分别令 x=1, , ,?, 可 2 3 n n+1 1 1 3 1 1 4 1 1 得 e1>1+1=2,e > +1= ,e > +1= ,?,e > +1= , 2 2 2 3 3 3 n n n n+1 1 1 1 3 4 1 1 1 相乘可得 e1+ + +?+ >2× × ×?× =n+1,即 e1+ + +?+ >n+1. 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1 (3)令 F(x)=h(x)-g(x)= x2-eln x(x>0), 2 e ?x+ e??x- e? 则 F′(x)=x- = , x x 当 x∈(0, e)时,F′(x)<0,F(x)递减; 当 x∈( e,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增. 所以当 x= e时,F(x)取得最小值 0. e 则 h(x)与 g(x)的图象在 x= e处有公共点? e,2?. ? ? e e 设函数 h(x)与 g(x)存在“分界线”,方程为 y- =k(x- e),应有 h(x)≥kx+ -k e在 2 2 x∈R 时恒成立,即 x2-2kx-e+2k e≥0 在 x∈R 时恒成立, 必须 Δ=4k2-4(2k e-e)=4(k- e)2≤0,得 k= e. e 下证 g(x)≤ ex- 在 x>0 时恒成立, 2 e 记 G(x)=eln x- ex+ , 2 e- ex e 则 G′(x)= - e= ,当 x∈(0, e)时,G′(x)>0,G(x)递增;当 x∈( e,+∞) x x 时 G′(x)<0,G(x)递减. 所以当 x= e时,G(x)取得最大值 0, e 即 g(x)≤ ex- 在 x>0 时恒成立. 2 e 综上可知,函数 h(x)与 g(x)存在“分界线”,其中 k= e,b=- . 2 [专题技法归纳] (1)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围和符号.

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(2)可以利用导数求曲线的切线方程,由于函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数表示曲线在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率,因此,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程可如下求得: ①求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y=y0+f′(x0)(x-x0).

1.(2012· 南通调研)设 P 是函数 y= x(x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为 θ,则 θ 的取值范围是________. 3 1 3 1 1 1 3 1 1 1 解析:依题意得,y=x +x ,y′= x + x- (x>0),当 x>0 时,y′= x + x- ≥2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 x × x- = 2 2 2 2 3,即该图象在点 P 处的切线的斜率不小于 3,即 tan θ≥ 3.又 θ∈[0,

π π π π π),因此 ≤θ< ,即 θ 的取值范围是?3,2?. ? ? 3 2 π π 答案:?3,2? ? ? 2.若方程 ln x-2x-a=0 有两个不等的实数根,则实数 a 的取值范围是________. 解析:作出 y=ln x 和 y=2x+a 的图象,分析方程 ln x-2x-a=0, 有两个不等的实数根问题, 即是研究 y=ln x 和 y=2x+a 的图象交点问题, 如图可知,y=2x+a 与 y=ln x 相切时,a=-1-ln 2,只要 a<-1-ln 2, 图象都有两个不等的交点, 即 a∈(-∞,-1-ln 2). 答案:(-∞,-1-ln 2) 3 3.若函数 f(x)= +ln x 在区间(m,m+2)上单调递减,则实数 m 的范围是________. x 3 3 1 x-3 解析:由 f(x)= +ln x,得 f′(x)=- 2+ = 2 ,由 f′(x)<0 得 0<x<3,所以 f(x)的减 x x x x 区间是(0,3].由(m,m+2)?(0,3]得 0≤m≤1. 答案:[0,1] 4.f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 a=________,b=________. 解析:f′(x)=3x2+2ax+b,
? ? ?f′?1?=0, ?2a+b=-3, 由已知,得? 即? 2 ? ? ?f?1?=10, ?a +a+b=9, ? ? ?a=-3, ?a=4, 解得? 或? 经检验, a=-3, 当 b=3 时, x=1 不是极值点; a=4, 当 ?b=3 ?b=-11. ? ?

b=-11 时,符合题意.
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答案:4 -11 5.设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 y 轴的交点的纵坐标为 yn,令 bn=2yn, 则 b1·2· b2 010 的值为________. b ?· 解析:先求出函数在(1,1)处的切线方程 y-1=(n+1)· (x-1),令 x=0,求出 yn=-n, 下面利用指数式的运算法则以及等差数列求和即可. 1 × 答案:?2?2 011 1 005 ? ? 3 6.已知函数 y=f(x)在定义域?-2,3?上可导,其图象如图,记 y ? ? =f(x)的导函数 y=f′(x),则不等式 xf′(x)≤0 的解集是________. 1 解析:利用函数 f(x)的图象信息得出 f′(x)≤0 的解集是?-2,1?, ? ?
?x≥0, ?x≤0, ? ? 3 1 f′(x)≥0 的解集是?-2,-2?∪[1,3),从而由 xf′(x)≤0,得? 或? 从 ? ? ?f′?x?≤0 ?f′?x?≥0, ? ?


3 1 而 0≤x≤1 或- <x≤- . 2 2 3 1 答案:[0,1]∪?-2,-2? ? ? 7.曲边梯形由曲线 y=ex,y=0,x=1,x=5 所围成,过曲线 y= ex,x∈[1,5]上一点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最 大的普通梯形,这时点 P 的坐标是________. 解析:如图设 P(x0,y0),得切线 AB 方程 y-ex0=ex0(x-x0),从而 A(1,e x0 (2-x0)), B(5,ex0(6-x0)),所以梯形的面积 S=2e x0(8-2x0)=4ex0(4-x0),对 S 求导得 S′=4ex0(3-x0),易知 S(x0)在(1,3)上递增,(3,5)上递减,所以 S(x0)取最大时,P 点坐 标为(3,e3). 答案:(3,e3) 1 8.已知函数 f(x)=- x2+4x-3ln x 在[t,t+1]上不是单调函数,则 t 的取值范围是 2 ________.
2 ?x-1??x-3? 3 -x +4x-3 解析:由题意知 f′(x)=-x+4- = =- ,由 f′(x)=0 得函数 x x x

f(x)的两个极值点为 1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数 f(x)在区间[t, t+1]上就不是单调函数,由 t<1<t+1 或者 t<3<t+1,得 0<t<1 或者 2<t<3. 答案:(0,1)∪(2,3) 9.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导, 则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立,则称 f(x)
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π 在 D 上为凸函数.以下四个函数在?0,2?上不是凸函数的是________.(把你认为正确的序 ? ? 号都填上) ①f(x)=sin x+cos x; ③f(x)=-x3+2x-1; ②f(x)=ln x-2x; ④f(x)=xex.

解析:对于①,f″(x)=-(sin x+cos x), π x∈?0,2?时,f″(x)<0 恒成立; ? ? π 1 对于②,f″(x)=- 2,在 x∈?0,2?时, ? ? x f″(x)<0 恒成立; π 对于③,f″(x)=-6x,在 x∈?0,2?时, ? ? f″(x)<0 恒成立; π 对于④,f″(x)=(2+x)·x 在 x∈?0,2?时, e ? ? f″(x)>0 恒成立,所以 f(x)=xex 不是凸函数. 答案:④ 10.设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lg xn, 则 a1+a2+?+a99 的值为________. n 解析:函数在(1,1)处切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0 得到 xn= ,所以 a1 n+1 +a2+?+a99=lg 答案:-2 a+sin x 11.已知函数 f(x)= -bx(a,b∈R). 2+cos x (1)若 f(x)在 R 上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为 2 680,试求 a 和 b 的值; (2)若 f(x)为奇函数, 2π 2π ①是否存在实数 b,使得 f(x)在?0, 3 ?为增函数,? 3 ,π?为减函数?若存在,求出 b ? ? ? ? 的值;若不存在,请说明理由; ②如果当 x≥0 时,都有 f(x)≤0 恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1)∵f(x)在 x∈R 上存在最大值和最小值, ∴b=0(否则 f(x)值域为 R). a+sin x ∴y=f(x)= ?sin x-ycos x=2y-a 2+cos x
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1 =-2. 100

?|sin(x-φ)|=

|2y-a|

≤1?3y2-4ay+a2-1≤0, 1+y2

4 又 Δ=4a2+12>0,由题意有 ymin+ymax= a=2 680, 3 ∴a=2 010. (2)若 f(x)为奇函数,∵x∈R,∴f(0)=0?a=0, 2cos x+1 sin x ∴f(x)= -bx,f′(x)= -b, 2+cos x ?2+cos x?2 2 2 2 ①若?b∈R,使 f(x)在?0,3π?上递增,在?3π,π?上递减,则 f′?3π?=0, ? ? ? ? ? ? 1+2cos x ∴b=0.这时 f′(x)= , ?2+cos x?2 2 当 x∈?0,3π?时,f′(x)>0,f(x)递增, ? ? 2 当 x∈?3π,π?时 f′(x)<0,f(x)递减. ? ? -bcos2 x+2?1-2b?cos x+1-4b ②f′(x)= , ?2+cos x?2 Δ=4[(1-2b)2+b(1-4b)]=4(1-3b), 1 若 Δ≤0, b≥ , f′(x)≤0, 则 则 对?x≥0 恒成立, 这时 f(x)在[0, +∞)上递减, ∴f(x)≤f(0) 3 =0. 若 b<0,则当 x≥0 时,-bx∈[0,+∞), sin x 3 3 ∈?- , ?, 3 3? 2+cos x ? f(x)= sin x -bx 不可能恒小于等于 0. 2+cos x

sin x 3 3 若 b=0,则 f(x)= ∈?- , ?不合题意. 3? 2+cos x ? 3 1-3b 1 若 0<b< ,则 f′(0)= >0, 3 3 f′(π)=-b-1<0,∴?x0∈(0,π),使 f′(x0)=0, x∈(0,x0)时,f′(x)>0,这时 f(x)递增,f(x)>f(0)=0,不合题意.综上 b 的取值范围为

?1,+∞?. ?3 ?
12.(2012· 无锡一中)已知函数 f(x)=x3+ax2-a2x+2,a∈R. (1)若 a<0 时,试求函数 y=f(x)的单调递减区间; (2)若 a=0,且曲线 y=f(x)在点 A,B(A,B 不重合)处切线的交点位于直线 x=2 上,证 明:A,B 两点的横坐标之和小于 4;
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(3)如果对于一切 x1,x2,x3∈[0,1],总存在以 f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,试 求正实数 a 的取值范围. a 解:(1)函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x+a)?x-3?. ? ? a 因为 a<0,由 f′(x)<0,解得 <x<-a. 3 a 所以函数 y=f(x)的单调递减区间为?3,-a?. ? ? (2)当 a=0 时,f(x)=x3+2. 设在点 A(x1,x3+2),B(x2,x3+2)处的切线交于直线 x=2 上一点 P(2,t). 1 2 因为 y′=3x2, 所以曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为 k=3x2, 1 所以在点 A 处的切线方程为 y-(x3+2)=3x2(x-x1). 1 1
3 因为切线过点 P,所以 t-(x1+2)=3x2(2-x1),即 2x3-6x2+(t-2)=0. 1 1 1 3 同理可得 2x2-6x2+(t-2)=0. 2

两式相减得 2(x3-x3)-6(x2-x2)=0, 1 2 1 2 即(x1-x2)(x2+x1x2+x2)-3(x1-x2)(x1+x2)=0. 1 2 因为 x1-x2≠0, 所以 x2+x1x2+x2-3(x1+x2)=0. 1 2 即(x1+x2)2-x1x2-3(x1+x2)=0. 因为 x1x2≤? 所以 x1x2<? x1+x2?2 ? 2 ? ,且 x1≠x2,

x1+x2?2 ? 2 ?. x1+x2?2 ? 2 ? -3(x1+x2)<0,即(x1+x2)(x1+x2-4)<0.

从而上式可以化为(x1+x2)2-? 解得 0<x1+x2<4,

即 A,B 两点的横坐标之和小于 4. (3)由题设知,f(0)<f(1)+f(1), 即 2<2(-a2+a+3),解得-1<a<2. 又因为 a>0,所以 0<a<2. a 因为 f′(x)=3(x+a)?x-3?, ? ? a 所以当 x∈?0,3?时,f′(x)<0,f(x)单调递减, ? ? a 当 x∈?3,1?,f′(x)>0,f(x)单调递增. ? ?
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a a 5 所以当 x= 时,f(x)有最小值 f?3?=- a3+2. ? ? 3 27

? ? 5 从而条件转化为?f?0?<2?-27a +2?,② ? ? 5 ?f?1?<2??-27a +2??.③ ?
3 3

a 5 f?3?=- a3+2>0,① ? ? 27

3 3 2 3 3 由①得 a< ;由②得 a< .再根据 0<a<2 得 0<a< . 3 3 3 5 5 5 10 不等式③化为 a3-a2+a-1<0. 27 10 10 令 g(a)= a3-a2+a-1,则 g′(a)= a2-2a+1>0,所以 g(a)为增函数. 27 9

?0, 3 ? 1 又 g(2)=- <0,所以当 a∈? 3 ?时, 27 5? ?
g(a)<0 恒成立,即③成立.

?0, 3 ? ?. 所以 a 的取值范围为? ? 3 5? ? ?

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