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3.空间点、线、面之间的位置关系


空间点、线、面之间的位置关系

一.平面的基本性质
两个点 在一个平面内, 公理1:如果一条直线上的_______ 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 作用:用于判断直线是否在平面内 _________________________. 不共线的三点 ,有且只有一个平面. 公理2:经过______________ 一条直线和这条直线外的一点 , 推论1:经过____________________________ 有且只有一个平面. 两条相交直线 ,有且只有一个平面. 推论2:经过_____________

推论3:经过两条平行直线 ____________,有且只有一个平面. 用于判断点、线共面 作用:______________________.

公理3:如果两个平面有一个公共点,那么它们有 一条通过这个点的公共直线 . 且只有__________________________ 用于判断点共线、线共点,作截面 作用:_______________________________.

公理的辨析应用

1.下列判断中,错误的是(C ) A. A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ?

B. D.

A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB A, B , C ? ? , A, B , C ? ? , 且A、B、C 不共线 ? ?、? 重合

C. l ? ? , A? l ? A??

2.下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法 都正确的是 C( )

A. ? A ? ? , B ? ? , ? AB ? ?

B. ? A ? ? , A ? ? , ?? ? ? ? A C . ? A ? a, a ? ? , ? A ? ? D. ? A ? a , a ? ? , ? A ? ?

题型一:证明若干点或直线共面
(08’四川)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形
?BAD ? ?FAB ? 900 , ABEF与ABCD都是直角梯形,

1 1 BC // AD, BE // AF . 2 2
(Ⅰ)证明:C , D , F , E四点共面;

题型二:证明点共线或线共点
例2.如图所示,点A ?平面BCD, E、F、G、H分别

是AB、BC、CD、DA上的点, 若EH与FG交于点K,
求证:K在直线BD上.
A E H D B F
G C

K

变式训练 :如图,在四面体 ABCD中作截面 PQR, 若PQ、CB的延长线交于M,RQ、DB的延长线交 于N,RP、DC的延长线交于K . 求证:M、N、K三点共线.

通常证明这些点都是某两个平面的公共点.

例 3. 已知空间四边形 ABCD 中, E 、 H 分别是边
CF CG 2 ? ? . CB CD 3

AB、 AD 的中点, F、 G 分别是边 BC、 CD 上的点, 且 求证:三条直线EF、GH、 AC交于一点.

变式训练:已知 ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ? ? ? ? c, 且a、b 不平行,证明:a、b、c三线共点.

通常先证其中的两条直线相交于一点,然后再 证第三条直线经过这一点.

题型三.作交线和截面
D1C1的中点.
请作出平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.
D1
A1

例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M、N分别是AA1、

?

N

C1 B1

P
只须找出两平面 的两个公共点.

M?

D
A B

C

变式训练:在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4. M为AA1的中点, N是CC1上的点, 且CN=1,P是BC 上一点,且CP=2.请作出平面MNP截此三棱柱所得 的截面.

A1

C1 B1

截面MNPQ为所求.

M A

N C
Q

B

P

G

二、空间两直线的位置关系
1.空间两直线位置关系有: ①相交—有且只有一个公共点;

②平行—在同一个平面内,没有公共点; ③异面—不同在任何一个平面内.
2.平行直线 (1)公理4:a || b, b || c ? a || c (2)等角定理:如果一个角的两边分别平行于另一 个角的两边,且方向相同,那么这两个角相等.

3.异面直线所成的角

①定义:设a、b是异面直线,经过空间任一点O, 分别引直线 ,则直线 所成的 ?//b a?//a, b a?、 b? 锐角(或直角)叫异面直线a、b所成的角.
π ] ②范围:(0, 2

题型一:异面直线的判定
判定定理:连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过该点的直线是异面直线. 1.已知异面直线m、n,若A,B∈m,C、D∈n,则 异面直线 直线AC、BD的位置关系是___________. 2.(05’全国)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条, 其中异面直线有 ( D A.18对 B.24对 ). C.30对 D.36对

题型二:求异面直线所成的角
1.(07’全国Ⅰ,7)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB, 则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值
4 为_____. 5

2. 四面体 ABCD 中, AB=CD=3, E , F 分别是 BC 、
AD上的点,且BE:EC=AF:FD=1:2, EF ? 7, 则异

60° 面直线AB与CD所成的角为______.

三.直线和平面的位置关系
1.直线在平面内—有无数个公共点;

记作:a ? ?

a ??

2.直线与平面相交—有且只有一个公共点;

记作:a ? ? ? A
记作:a || ?

3.直线与平面平行—没有公共点.

四.平面与平面的位置关系
1.两个平面平行—没有公共点;

记作:? || ?
2.两个平面相交—有一条公共直线.

记作:? ? ? ? m

1.( 06’重庆)对于任意的直线l与平面? ,在平面? 内 必有直线m , 使 m 与 l ( C ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2.(07’浙江,6)若P是两条异面直线l,m外的任意 一点,则( B ) A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面


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