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玉溪一中高2014届高三第一次月考文科数学 (1)


玉溪一中高 2014 届高三第一次月考数学试卷(文科) 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B 等于 (A) [0, ? ?) (

B) (??, 2] (2)若复数 (C) [0, 2) ? (2, ? ?) (D) ?

a?i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值为 1 ? 2i 1 1 2 (A) 2 (B) (C) ? (D) ? 5 5 2 1 (3)若 tan? ? 2 ,则 的值等于 sin 2? 4 4 5 5 (A) ? (B) (C) ? (D) 5 4 5 4
(4)“ log 3 a ? log 3 b ”是“ 2 ? 2 ”的
a b

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

(5)下列命题中,真命题的个数有 ① ?x ? R, x 2 ? x ?

1 ?0; 4

② ?x ? 0, ln x ?

1 ? 2; ln x

③“ a ? b ”是“ ac 2 ? bc 2 ”的充要条件; ④ y ? 2 x ? 2? x 是奇函数. (A)1 个 (6)已知函数 f ? x ? ? ? 的取值范围为 (A) ? 0, ? ? ? (C) ? 0, 2 ? (B) ?1, ? ? ? (D) ?1, 2?
正视图侧视图

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

? x , x ? 1, ? ? 2 , x ? 1. ?
x

若关于 x 的方程 f ? x ? ? k 有 3 个不同的实根,则实数 k

(7)一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的全面积是 (A) 4 ? 2 6 (B) 4 ? 6 (C) 4 ? 2 2 (D) 4 ? 2
俯视图

x2 y 2 (8)设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是双曲线渐近线 a b

上的一点, AF2 ? F1 F2 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为 (A) 5 或 ? 5 (B) 2 或 ? 2 (C)1 或 ?1 (D)
2

1 OF1 ,则渐近线的斜率为 3
2 2 或? 2 2

(9)若曲线 f ( x) ? cos x 与曲线 g ( x) ? x ? bx ? 1 在交点 (0, m) 处有公切线,则 b ? (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (10)已知球 O 的半径为 5 ,球面上有 A、B、C 三点,如果 AB ? AC ? 2, BC ? 2 2 , 则三棱锥 O-ABC 的体积为 (A)

3 6 2 3 (B) (C)1(D) 3 3 3

(11)设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 5 , S11 ? 22 ,则数列 ?a n ? 的公差 d 为 (A) ? 1(B) ?
(12)设函数

1 1 (C) (D) 1 3 3

1 1 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,当 x ? 0 时 f ( x) ? ( ) x ,若函数 g ( x) ? sin ? x , 4 2
? 1 ? , 2 上的零点个数为 ? 2 ? ?

则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ?

(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡上.

?x ? y ?1 ? 0 ? (13)变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,求 2x ? y 的最大值为 _______________. ?x ? 0 ?
(14)利用独立性检验来判断两个分类变量 X 和 Y 是否有关系,通过查阅下表来确定“X 和 Y 有关系”的可信度.为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系,现从某地网民中抽 取 100 位居民进行调查.经过计算得 K 2 ? 3.855 ,那么就有%的根据认为用电脑时间 与视力下降有关系.

K2 ? k

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

( 15 ) 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?C ?
??? ??? ? ? C D? C A _________. ?

?
2

??? ? ??? ? , AC ? 3 , 取 点 D 使 BD ? 2DA , 那 么

(16)已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,准线与 y 轴的交点为 M , N 为抛物线上的任意一
2

点,且满足 NF ? ? MN ,则 ? 的取值范围是. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 第 a c ? (17) 分) ?ABC 中, A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , (12 在 角 已知 , 3 cos A sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 b ? c 的取值范围. (18) (12 分)某地区因干旱缺水,政府向市民宣传节约用水,并进行广泛动员. 三个月后, 统计部门在一个小区抽取了 100 户家庭, 分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用 水量(单位:吨) ,将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示)
频率/组距
0.160
0.200

频率/组距

0.120 0.090 0.070 0.030 0.015

0.120 0.105

0.030 0.015

O

2

4

6

8

10

12

14

16用水量(吨)

O

2

4

6

8

10

12

14

用水量(吨)

动员前

动员后

(Ⅰ)已知该小区共有居民 10000 户,在政府进行动员前平均每月用水量是 8.96 ?104 吨, 请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨; (Ⅱ)为了解动员前后市民的节水情况,媒体计划在上述家庭中,从政府动员前月均用水量 在 [12, 14) 内的家庭中选出 2 户作为采访对象,其中甲、乙两家在备选之列,求恰好选中他 们两家作为采访对象的概率.

(19) (12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M 是 A1B 的中点,点 N 是 B1C 的中 点,连接 MN. (Ⅰ)证明:MN//平面 ABC; (Ⅱ)若 AB=1,AC=AA1= 3 ,BC=2, 求二面角 A—A1C—B 的余弦值的大小. (20) (12 分)已知椭圆 C : 心率为 C M A M B M N M C1 M M A1 M B1 M

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c ,0) ,上顶点为 B,离 a 2 b2

1 2 2 2 ,圆 F : ( x ? c) ? y ? a 与 x 轴交于 E 、D 两点. 2
BD BE
的值;

(Ⅰ)求

(Ⅱ)若 c ? 1 ,过点 B 与圆 F 相切的直线 l 与 C 的另一交点为 A ,求 △ABD 的面积.

(21)(12 分)设 f ( x) ? ln x ? ax ( a ? R 且 a ? 0 ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? [1, 2] 时, f ( x) ? 3 ?

1 成立. x

选考题(本小题满分 10 分)
请考生在第(22)(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 、 (22)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原 ? y ? 3sin ?

点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,得曲线 C2 的极坐标方程为 . ? ? 6sin ? ? 8cos ? ? 0 ( ? ? 0 ) (Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

? x ? 2?t ? (Ⅱ)直线 l : ? ( t 为参数)过曲线 C1 与 y 轴负半轴的交点,求与直线 l 平 3 y ? ? ??t ? ? 2
行且与曲线 C2 相切的直线方程. (23)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? | x ? 2 | (Ⅰ)解不等式: x f ( x) ? 3 ? 0 ; (Ⅱ)对任意 x ? ? ?3, 3? ,不等式 f ( x ) ? m ? x 成立,求实数 m 的取值范围.

玉溪一中高 2014 届高三第一次月考数学试卷参考答案(文科)
一、选择题 1、A2、A3、D4、A 7、A8、D9、B 二、填空题:13. 三.解答题: (17) (12 分)解: (Ⅰ)由条件结合正弦定理得, 从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?
a 3 cos A ? c a ? sin C sin A

5、C6、D 10、D11、A

12、B 16、 [

1 14、9515、6 2

2 ,1] 2

?
3

.........5 分 ........

(Ⅱ)法一:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴( (b ? c)2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 , ∴ 6 ? b ? c ? 12 , 从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] ..........12 分 ........ 法二:由正弦定理得:
b c ? ? sin B sin C 6 sin

?

3 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4 3

?
3

? 4 3 .∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C ,

2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C ) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B) ? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? 3 1 ? 4 3 ? sin B ? cos B ? ? 12 ? ?2 ? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? 2 ? ? ? ?

?? ? ? 5? ? ? 12sin ? B ? ? .∵ ? B ? ? 6? 6 6 6 ?

?? ? ? ∴ 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 ,即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 B ? 时,等号成立) 6? 3 ?
从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] ..........12 分 ........

(18) (12 分)解: (Ⅰ)根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量 为 (1? 0.015 ? 3 ? 0.030 ? 5 ? 0.105 ? 7 ? 0.200 ? 9 ? 0.120 ? 11? 0.030) ? 2 ? 6.88 (吨) 于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水

8.96 ?104 ? 6.88 ?104 ? 2.08 ?104 (吨)?????????????????6 分(Ⅱ)

由(Ⅰ)可知动员前月均用水量在 [12,14) 内的家庭有 6 户, 设为:甲、乙、 a 、 b 、 c 、 d ,从中任选 2 户,共包含 15 个基本事件: (甲,乙)(甲, a )(甲, b )(甲, c )(甲, d )(乙, a )(乙, b )(乙, c ) 、 、 、 、 、 、 、 、 (乙, d )( a , b )( a , c )( a , d )( b , c )( b , d )( c , d ) 、 、 、 、 、 、 甲、乙两家恰好被选中是其中一个基本事件: (甲,乙) , 因此所求概率为 P ?

1 ????????????????12 分 15
A M B M C M N M C1 M A1 M B1 M

(19) (12 分) (Ⅰ)证明:连接 AB1,∵四边形 A1ABB1 是 矩形,点 M 是 A1B 的中点,∴点 M 是 AB1 的中点; ∵点 N 是 B1C 的中点,∴MN//AC, ∵MN ? 平面 ABC,AC ? 平面 ABC, ∴MN//平面 ABC.???????6 分 (Ⅱ) : 解 (方法一) 如图, AD ? A1C , A1C 于点 D, 作 交 由条件可知 D 是 A1C 中点, 连接 BD,∵AB=1,AC=AA1= 3 ,BC=2, ∴AB +AC = BC ,∴AB⊥AC, ∵AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面 ACC1 A1 ∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面 ABD,∴ BD ? A1C ∴ ?ADB 为二面角 A—A1C—B 的平面角, 在 Rt ?AA1C中,AD ? C M
2 2 2

M

A M B M D MN M

M

A1 M B1 M C1 M

AA1 ? AC 3? 3 6 ? ? , ? BC ? BA1 ? 2 , A1C ? 6 , 在等 A1C 2 6

腰 ?CBA1 中, D 为 A1C 中点, BD ?

10 ,∴ ?ABD 中, ?BAD ? 90? , 2

Rt?ABD 中, tan ?ADB ?

AB 6 15 ,∴二面角 A— A1C —B 的余弦值是 ?12 分 ? AD 3 5
A M B M C Mx A1 M

(方法二)?三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ∴ AB ? AA1,AC ? AA1 ,

M

z
B1 M M

y M

? AB ? 1 , AC ? 3 , BC ? 2 ,

N M

C1 M

M

∴ AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,∴ AB ? AC 如图,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B(0,1,0), C( 3 ,0,0), A1(0,0, 3 ), 如图, 可取 a ? AB ? (0,1,0) 为平面 AA1C 的法向量, 设平面 A1 BC 的法向量为 b ? (m, l , n) , 则

?

??? ? ? ???? ? ??? ? BC ? b ? 0, A1C ? b ? 0, 又BC ? 3, 1, , ( ? 0)

???? A1C ? ( 3, 0, ? 3)







??? ? ?? BC?b ? 0,

A1C ? b ? 0,
?

??l ? 3m ? 0 ? ?? ? l ? 3m, n ? m , 3m ? 3n ? 0 ? ?
? ? 15 , 5

不妨取 m=1,则 b ? (1, 3, ,求得 cos ? a, b ?? 1)

? 二面角A ? A1C ? BD的余弦值为

15 ??????12 分 5

(20) (12 分)解: (Ⅰ)由题意, B(0 , b) ,

y B A E O F D x

E (c ? a , 0) , D(c ? a , 0) ,∵ e ?
得 a ? 2c ,b ?

1 2

3c ,则 B (0 , 3c) , E (?c , 0) ,

D(3c , 0)
得 BD ? 2 3c , BE ? 2c ,



BD BE

? 3 ………(4 分)

(Ⅱ)当 c ? 1 时, C :

x2 y 2 ? ? 1 , F : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ,得 B(0, 3) 在圆 F 上, 4 3
3 x? 3 3

直线 l ? BF ,则设 l : y ?

? x2 y2 ?1 ? ? 24 5 3 16 3 ?4 3 由? 得 A(? , ) , AB ? 13 13 13 ?y ? 3 x ? 3 ? 3 ?
又点 D(3,0) 到直线 l 的距离 d ?

3?0?3 2

? 3,

得 ?ABD 的面积 S ?

1 16 3 24 3 1 …………(12 分) ?3 ? AB ? d ? ? 2 13 13 2

(21)(12 分)解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 ?a , x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数;

ax ? 1 1 1 ,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? ;由 f ?( x) ? 0 得, x ? ? , a x a 1 1 ∴函数 f ( x) 在 (0, ? ) 上是增函数;在 (? , ??) 上是减函数.?????4 分 a a 1 (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x , 要证 x ? [1, 2] 时 f ( x) ? 3 ? 成立,由于 x ? 0 , x
当 a ? 0 时, f ?( x) ? ∴只需证 x ln x ? x 2 ? 3x ? 1 ? 0 在 x ? [1, 2] 时恒成立, 令 g ( x) ? x ln x ? x ? 3x ? 1 ,则 g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 2 ,
2

? g ?(1) ? 0 设 h( x) ? ln x ? 2 x ? 2 , h?( x) ?

1 ? 2 ? 0 , x ? [1, 2] x

∴ h( x ) 在 [1, 2] 上单调递增,∴ g ?(1) ? g ?( x) ? g ?(2) ,即 0 ? g ?( x) ? ln 2 ? 2 ∴ g ( x) 在 [1, 2] 上单调递增,∴ g ( x) ? g (2) ? 2ln 2 ? 3 ? 0 ∴当 x ? [1, 2] 时, x ln x ? x 2 ? 3x ? 1 ? 0 恒成立,即原命题得证.?????12 分

(22) (10 分)解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为:
2

x2 y 2 ? ? 1; 16 9

…………… 2 分

由 ? ? 6sin ? ? 8cos ? ? 0 得 ? ? 6 ? sin ? ? 8? cos ? ? 0 , ∴曲线 C2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 x ? 6 y ? 0
2 2 2

……………… 4 分

(或:曲线 C2 的直角坐标方程为: ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 )

(Ⅱ)曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 与 y 轴负半轴的交点坐标为 (0, ? 3) , 16 9

? x ? 2?t ? 0 ? 2?t 3 ? ? 又直线 l 的参数方程为: ? ,∴ ? ,得 ? ? , 3 3 4 y ? ? ??t ?3 ? ? ? ? t ? ? ? 2 ? 2

? x ? 2?t ? 即直线 l 的参数方程为: ? 3 3 ?y ? ? 2 ? 4 t ?
得直线 l 的普通方程为: 3x ? 4 y ? 12 ? 0 , 设与直线 l 平行且与曲线 C2 相切的直线方程为: 3x ? 4 y ? k ? 0 ∵曲线 C2 是圆心为 (4, ? 3) ,半径为 5 的圆, …………… 6 分 ………… 7 分



12 ? 12 ? k 5

? 5 ,解得 k ? 1 或 k ? ?49

……………… 9 分 …………… 10 分

故所求切线方程为: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 49 ? 0 (23) 解: (Ⅰ)不等式为 x | x ? 2 | ?3 ? 0

当 x ? 2 时,不等式为 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,即 ( x ?1) ? 2 ? 0 ,此不等式恒成立,故
2

x ? 2,

…………… 2 分

当 x ? 2 时,不等式为 ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 ?1 ? x ? 3 ,故 ?1 ? x ? 2 , ∴原不等式的解集为: { x x ? ?1} (Ⅱ)不等式 f ( x ) ? m ? x 为 | x ? 2 | ? x ? m …………… 4 分

,

? ?( x ? 2) ? x ? 由于 y ? x ? 2 ? x ? ? ?( x ? 2) ? x ? ( x ? 2) ? x ? ( x ? 0) ? ?2 x ? 2 ? ?? 2 (0 ? x ? 2) …… 7 分 ?2 x ? 2 ( x ? 2) ?
作出函数 y ? | x ? 2 | ? x 的图象如右, 当 ?3 ? x ? 3 时, 2 ? x ? 2 ? x ? 8 ,

( x ? 0) (0 ? x ? 2) ( x ? 2)

所以对任意 x ? ? ?3, 3? ,不等式 f ( x ) ? m ? x 成立,则 m ? 8 .

…………… 10 分


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