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三角形中边与角之间的关系


三角形中边与角之间的关系

等腰三角形的边角关系: 等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角) 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等.(等角对等边) 在一个三角形中,不相等的边 (或角)所对的角(或边)之间的 大小关系怎样呢?大边所对的角也 大吗?

A A

B ∵AB=AC

C

B

C

∴∠B=∠C(等边对等角) ∵∠ B=∠C ∴AB=AC(等角对等边)

如果AB>AC,那么∠B与∠C 大小如何? 如果∠C>∠B,那么AB与AC 大小如何?

已知:△ABC中,AB>AC

求证:∠C> ∠B
A

B

C

已知:△ABC中,AB>AC 求证:∠C> ∠B
在△ABC中,如果AB>AC,那么 我们可以将△ABC折叠,使边AC 落在AB上,点C落在AB上的D点, 则, ∠C= ∠ADE 而∠ADE> ∠B

A

D

B

E

C

所以∠C> ∠B

从上面的过程可以看出,利用 轴对称的性质,可以把研究边与角 之间的不等问题,转化为较大量的 一部分与较小量相等的问题,这是 几何中研究不等问题时的常用方法。

证明:在AB 上截取AD,使AD=AC,连结DC. A
∵AD=AC(已知) ∴∠1= ∠2(等边对等角) D 又∵ ∠ ACB > ∠2 (角的大小定义) B ∴∠ACB > ∠1 (等量代换) 又∵ ∠1> ∠B (三角形外角定理) ∴∠ACB > ∠B (不等式的基本性质) 1 2

C

本题还可以延长小边来证吗?
已知:△ABC中,AB>AC 求证:∠ACB> ∠B

A

2
B

1

C E

在一个三角形中,如果两条边不相 等,那么它们所对的角也不相等,大边 所对的角较大。
A

∵AB>AC ∴∠C>∠B(大边对大角)

B

C

已知:△ABC中, ∠B<∠C 求证: AB>AC
在△ABC中,如果∠B<∠C , 那么我们可以将△ABC折叠, 使点B落在C上, ∠B落在∠C 内部,则, BD=CD 而AD+CD>AC B 所以AD+BD>AC 即AB>AC D

A

E

C

已知:△ABC中, ∠ B<∠C 求证: AB>AC
在△ABC中,如果∠ B<∠C ,那么 在∠C 内部可以作∠BCD= ∠ B. 因为∠BCD= ∠ B, 所以BD=CD 而AD+CD>AC 所以AD+BD>AC B 即AB>AC D

A

C

在一个三角形中,如果两个角不相 等,那么它们所对的边也不相等,大角 所对的边较大。
A

∵∠C>∠B ∴AB>AC (大角对大边)

B

C

利用上面两个结论,回答下面的问题:

1.在△ABC中,已知BC>AB>AC,那么∠A ,∠ B , ∠ C有怎样的大小关系?
2.如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角,这个三 角形一定是锐角三角形吗?为什么?

3.直角三角形的哪一条边最长?为什么?


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