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浙江省杭州市七校2014届高三上学期期中联考数学理试题


杭州市七校 2014 届高三第一学期期中联考数学(理科)试 题

考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的

四个选项中,只有一个选项符合题 目要求,把答案写在答题卷中相应的位置上) 1、已知全集 U ? R , M ? {x ?2 ? x ? 2}, N ? {x x ? 1} ,那么 M ? N ? ( A. {x ?2 ? x ? 1} B. {x ?2 ? x ? 1} C. {x x ? ?2} ) D.-2 ) D. {x | x ? 2}

2、在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? 4 ,则公差 d 等于( A.1 B. ?1 C.2

?x ? 2 ? 0 ? 3、若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为( ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A. ? 2 B. ? 1 C.1 ) 4、等比数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件



D.2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

cos(? ? 2? )
5、已知

sin(? ?

?
4

??

)

2 2

,则 cos ? ? sin ? 等于( )

A. ?

7 2

B.

7 2

C.

1 2

D. ?

1 2

6、已知函数 f ( x) ? ? A. {x | x ? ?1}

x?0 ?1 , 2 ,则不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的解集是( 2 ? x ? 1, x ? 0
B. {?1 ? 2} D. {x | x ? ?1 或 x ? ?1 ? 2}



C. {x | x ? ?1 或 x ? ?1 ? 2} 7.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 值,则 ? 的值为( )

?

)(? ? 0) ,若 f ( ) ? f ( ) 且 f ( x) 在区间 ( , ) 上有最小值,无最大 6 3 3 6 3

?

?

? ?

A.

2 3

B.

5 3

C.

14 3

D.

38 3


8、数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 1, 并且

an ? an ?1 a ?a ? n n ?1 (n ? 2) ,则数列 {an } 的第 100 项为( an ?1 ? an an ? an ?1
C.

A.

1 2100

B.

1 2 50

1 100

D.

1 50


9、正 ?ABC 边长等于 3 ,点 P 在其外接圆上运动,则 AP ? PB 的取值范围是( A. [ ?

3 3 , ] 2 2

B. [ ?

3 1 , ] 2 2

C. [ ?

1 3 , ] 2 2

D. [ ?

1 1 , ] 2 2

10 、 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ) ? f ( 3x , , f ( x) ? ln x , 若 在 区 间 [1,9) 内 , 函 数 ) 当 x ? [1, 3 )

g ( x) ? f ( x) ? ax 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是(
A. (

) D. (

ln 3 1 , ) 3 e

B. (

ln 3 1 , ) 9 3e

C. (

ln 3 1 , ) 9 2e

ln 3 ln 3 , ) 9 3

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案写在答题卷中相应的位置上) 11、已知 ? ? (

?

3 , ? ),sin ? ? , 则 tan ? = 2 5

.

12、函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? ax ( x ? R) 不存在极值点,则 a 的取值范围是_________. 13 、 在 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的 边分别为 a, b, c , a ?

2, A ?

?
4

,B?

? ,则 △ ABC 的面积 为 3

S ? ________ .
14 、 已 知 函 数 f ( x) 是 (??,??) 上 的 奇 函 数 , x ? ?0,2? 时 , f ( x) ? x2 , 若 对 于 任 意 x ? R , 都 有

f ( x ? 4) ? f ( x) ,则 f (2) ? f (3) 的值为

. .

15、已知 x ? 0, y ? 0, x ? y ? xy ? 8 ,则 x ? y 的最小值是

16、已知不等式 xy ? ax 2 ? 2 y 2 对于 x ??1, 2? , y ? ? 2,3? 恒成立,则实数 a 的取值范围是____________. 17 、 已 知 ?ABC 中 , A B ? A C, | AB ? AC |? 2 , 点 M 是 线 段 BC ( 含 端 点 ) 上 的 一 点 , 且

????

???? ??? ? ??? ?

???? ? ??? ? ??? ? ???? ? AM ? ( AB ? AC) ? 1,则 | AM | 的取值范围是

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,把解答写在答题 卷中相应的位置上)

18、 (14 分)已知函数 f ( x) ?

lg( x 2 ? 2 x) 9 ? x2

的定义域为 A ,

(1)求 A ; (2)若 B ? x x 2 ? 2x ? 1 ? k 2 ? 0 ,且 A 是 B 的真子集,求实数 k 的取值范围.

?

?

19、 (14 分)在 ?ABC 中,满足 AB与AC 的夹角为 60

??? ? ??? ?

0

, M 是 AB 的中点,

(1)若 AB ? AC ,求向量 AB ? 2 AC与AB 的夹角的余弦值;. (2)若 AB ? 2, BC ? 2 3 ,点 D 在边 AC 上且 AD ? ? AC ,如果 MD ? AC ? 0 ,求 ? 的值。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

20 、 ( 14 分)函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? c ( a, b, c 为常数)的图象过原点,且对任意 x ? R 总有

f ( x ) ? f ( ) 成立; 3
(1)若 f ( x ) 的最大值等于 1,求 f ( x ) 的解析式; (2)试比较 f ( ) 与 f ( ) 的大小关系.

?

b a

c a

21、 (15 分)数列 ?an ? 前 n 项和 S n ?

n2 ,数列 ?bn ? 满足 3bn ? bn?1 ? n ( n ? 2, n ? N ? ) , 4

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:当 b1 ?

1 时,数列 ?bn ? a n ?为等比数列; 4

(3)在题(2)的条件下,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若数列 ? Tn ?中只有 T3 最小, 求 b1 的取值范围.

22、 (15 分)设函数 f ( x) ? e x ? sin x , g ( x ) ? x ? 2 ; (1)求证:函数 y ? f ( x) 在 [0,??) 上单调递增; (2)设 P( x1 , f ( x1 )) , Q( x2 , g ( x2 )) ( x1 ? 0, x2 ? 0) ,若直线 PQ // x 轴,求 P, Q 两点间的最短距离.

2014 届高三数学(理科)参考答案

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1~5.DBBAD 6~10.CCDBB

二、填空题(每题 4 分,共 28 分) 11. ? 15.4;

3 ; 4

12. ?a | 0 ? a ? 3?; 16. ?a | a ? ?1?;

13.

3? 3 ; 4
1 2

14.1;

17. ( ,1] .

三、解答题(前三题每题 14 分,最后两题每题 15 分,共 72 分) 18、 (1)由 ?
2 ? ?x ? 2x ? 0 , 2 ? 9 ? x ? 0 ?

----------------------------------------------------------2 分

解得 ? 3 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3 , (2)法一:

? A ? (?3,0) ? (2,3) ---------------4 分

B 中 ?x ? (1 ? k )??x ? (1 ? k )? ? 0 --------------------------------------6 分

1 k ? 0 时, 1 ? k ? 1 ? k ,此时 B ? R ,符合题意;----------------------8 分 ○ 2 k ? 0 时, 1 ? k ? 1 ? k ,此时 B ? ?? ?,1 ? k ? ? ? 1 ? k ,??? ,由 A 是 B 的 ○

?1 ? k ? 2 ? 真子集得 ?1 ? k ? 0 ? 0 ? k ? 1 , -----------------------------------10 分 ?k ? 0 ?
3 k ? 0 时, 1 ? k ? 1 ? k ,此时 B ? ?? ?,1 ? k ? ? ? 1 ? k ,??? ,由 A 是 B 的 ○

?1 ? k ? 2 ? 真子集得 ?1 ? k ? 0 ? ?1 ? k ? 0 , -------------------------------12 分 ?k ? 0 ?
综上得 k ? ?? 1,1? ------------------------------------------------------------------14 分 法二:因为 x ? A 时总有 x ? B ,所以 x ? ( ?3,0) ? (2,3) 时总有 k 2 ? ( x ? 1) 2 ----8 分 所以 k ? 1 , k ? ?? 1,1? ;----------------------------------------------------------------12 分
2

此时,显然有 ? 4 ? B 但 ? 4 ? A ,所以 A 是 B 的真子集,综上得 k ? ?? 1,1? --14 分

19、 (1)设 AB ? 1 ,则 AB ? 2 AC ?

7 ,-----------------3 分

而 AB ? ( AB ? 2 AC) ? 2 ,-----------------------------3 分 所以向量 AB ? 2 AC与AB 的夹角的余弦值等于

??? ?

??? ? ??? ?

2 7 。-------8 分 7

(2)在 BC ? AC ? AB ? 2 AB ? AC ? cos60? 解得 AC ? 4 ,-----10 分 因为 MD ? AC ,所以 AD ? cos 60? ? 故? ?

2

2

2

1 ,----------------------12 分 2

1 。----------------------------------------------------14 分 8

? ? f ( 0) ? b ? c ? 0 ? 3 b ? ? 20、(1)由 ? f ( ) ? a ? ? c ? 1 ----------------------------------4 分 2 2 ? 3 ? ? a 3 b?0 ? f ?( ) ? ? 2 2 ? 3
解得 a ? (2)因为 a ?

3, b ? 1, c ? ?1 ,所以 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 1 。-------8 分

? 3b 、 c ? ?b , f ( ) ? 2b ? c 为最大值,所以 b ? 0 , a ? 0 ---10 分 3



b 3 c 3 b c 3 、 ?? ,所以 f ( ) ? f ( ) ? 2a sin ,-------------12 分 ? a 3 a 3 a a 3
b a c a b a c a

所以 f ( ) ? f ( ) ? 0 ,即 f ( ) ? f ( ) 。--------------------------14 分 (没注意到 a ? 0 而进行分类讨论的扣 2 分! )

21、 (1) a n ?

2n ? 1 , n ? N ? ;-------------------------------------4 分 4

(2) 3(bn ? an ) ? (bn?1 ? an?1 ) ? (3bn ? bn?1 ) ? 3an ? an?1 ? n ? n ? 0 , 所以 (bn ? a n ) ? 项、

1 (bn ?1 ? a n ?1 ) ,且 b1 ? a1 ? 0 ,所以 ?bn ? an ?是以 b1 ? a1 为首 3

1 为公比的等比数列;----------------------------------8 分 3 2n ? 1 1 1 ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ;---------------------------10 分 (3) bn ? 4 4 3
因为数列 ? Tn ?中只有 T3 最小,所以 ? 此时, bn?1 ? bn ?

?b3 ? 0 ,解得 ? 47 ? b1 ? ?11;-----13 分 ?b4 ? 0

1 1 1 ? 2 ? (b1 ? ) ? ( ) n ? 0 ,于是, ?bn ? 为递增数列, 2 4 3

所以 n ? 3 时 bn ? 0 、 n ? 4 时 bn ? 0 ,符合题意,综上 ? 47 ? b1 ? ?11。--15 分

x 22、 (1) x ? 0 时, f ?( x) ? e ? cos x ? 1 ? cos x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 在 [0,??) 上

单调递增;-----------------------------------------------------6 分 (2)因为 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 e 1 ? sin x1 ? x2 ? 2 ---------------------8 分
x

所以 P, Q 两点间的距离等于 x2 ? x1 ? e 1 ? sin x1 ? x1 ? 2 ,------9 分
x

设 h( x) ? e x ? sin x ? x ? 2( x ? 0) ,则 h?( x) ? e x ? cos x ? 1( x ? 0) , 记 l ( x) ? h?( x) ? e x ? cos x ? 1( x ? 0) ,则 l ?( x) ? e x ? sin x ? 1 ? sin x ? 0 , 所以 h?( x ) ? h?(0) ? 1 ? 0 ,------------------------------------12 分 所以 h( x ) 在 [0,??) 上单调递增,所以 h( x ) ? h(0) ? 3 ------------14 分 所以 x2 ? x1 ? 3 ,即 P, Q 两点间的最短距离等于 3.---------------15 分


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