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第一讲:极限(21题)


第一讲 极限
1°函数极限的计算 方法: (1) 利用极限的定义 (2) 恒等变形利用极限的四则运算法则

(3) 利用变量代换 (极限的复合运算性质)
sin x ? 1? ?1 (4) 利用两个重要极限 lim ? 1 ? ? ? e , lim x ? ?? x ?0 x x?
x

(5) 利用夹逼定



(6) 利用无穷小的等价代换
(7) 利用左、右极限性质:
x ? x0

lim f ? x ? ? A ? f ? x0 ? 0 ? ? f ? x0 ? 0 ? ? A

(8) 利用 lim f ? x ? ? A ? f ? x ? ? A ? o?1?
(9) 利用导数

2°极限中的典型问题 (1) 函数极限的计算问题 1) 利用左、右极限性质 例1 [练习三/一(1)] 当 x →1 时 , 函数
x 2 ? 1 x1 e ?1 x ?1

的极限(

)

(A) 等于 2 (B) 等于 0 (C) 为? (D) 不存在 , 但非 ?

x f (1 ? 0) ? lim x ?1? x ? 1
2 1 ? 1 x ?1 e 1

? lim ( x ? 1)e ?
x ?1

1 x ?1

? ??

x 2 ? 1 x ?1 x ?1 f (1 ? 0) ? lim e ? lim ( x ? 1 ) e x ?1? x ? 1 x ?1?

1

? lim f ( x ) 不存在, 但不是 ∞
x ?1

故选 (D)

2) 恒等变形利用极限的四则运算法则 例2 [练习三/十一(2)]
x2(

1 1 x ( 2 ? sin 2 ) x x 计算 lim x ?0 x ? sin x
3

解 原极限 ? lim
x?0

1 1 1 2 ? sin ) 1 ? x sin x2 x 2 ? lim x2 x?0 sin x sin x 1? 1? x x
1

1 ? 2

3) 利用两个重要极限 例3
x x3 计算 lim(1 ? sinx ? 2 sin ) x ?0 2

(幂指函数极限)



原极限 ? lim e
x ?0

x ln(1? sin x ? 2 sin ) 2 3 x

?

x ln(1? sin x ? 2 sin ) 2 lim 3 x e x ?0

x x ln(1 ? sin x ? 2 sin ) sin x ? 2 sin 2 ? lim 2 lim x ?0 x ?0 x3 x3 x 1 x 2 x x 2 ? [? ( ) ] 2 sin (cos ? 1) 1 2 2 2 2 2 ? lim ?? ? lim 3 3 x ? 0 x 8 x ?0 x

原极限 ? e 4) 利用无穷小的等价代换

?

1 8

1 ? cos x 例4 [练习三/十三(1)] 计算 xlim ?0? x(1 ? cos x )



原极限 ? lim ?
x ?0

1 ? cos x x(1 ? cos x )(1 ? cos x )

1 2 x 1 1 1 ? cos x 2 ? lim ? lim 1 2 x ? 0? 2 x ? 0? x(1 ? cos x ) x? x 2

1 ? 2

例5 [练习三/七/(3)]

x sin4 ( 2 x 2 ) 求极限: lim x ? 0 sin3 ( 2 x 3 )



x ? (2 x 2 )4 原极限 ? lim x ? 0 ( 2 x 3 )3

?2

例6 求极限: lim x ?0

e tan x ? e sin x 4 ? x3 ? 2
e sin x (e tan x ?sin x ? 1) x3 2( 1 ? ? 1) 4

解 原极限 ? lim
x ?0

1 tan x ? sin x ? lim 2 x ?0 1 x 3 ( ) 2 4

tan x ? sin x (1 ? cos x ) sin x ? 4 lim ? 4 lim ? 4 lim 3 3 x ?0 x?0 x ?0 x x cos x

x?

1 2 x 2 ?2 3 x

(1 ? a1 x )(1 ? a2 x )?(1 ? an x ) ? 1 例7 计算 lim x ?0 x

解 原极限 ? lim x ?0

1 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) x ? o( x ) ? 1 x

1 (a1 ? a2 ? ? ? an ) x ? o( x ) ? lim 2 x ?0 x

1 o( x ) ? lim[ (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? ] x ?0 2 x 1 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2

? ? 2 arccosx 例8 [练习三/十三(2)] 计算 lim x ?0 1 ? x ?1

解 (1) 由于

arcsin x ? arccos x ?

?
2

(?1 ? x ? 1)

? ? ? 2 arccos x ? 2 arcsin x

2? x ? lim 原极限 ? lim x?0 1 ? x ? 1 x ?0 1 x 2
2 arcsin x

?4

(2) 令 t ? ? ? 2 arccos x , 则 x → 0 时 , t → 0
t ? sin 且 x ? cos 2 2

? ?t

原极限 ? lim t ?0

t t 1 ? sin ? 1 2

? lim
t ?0

t 1 t sin 2 2

? lim
t ?0

t 1 t ? 2 2

?4

5) 利用变量代换 (极限的复合运算性质)
3

例9

求极限: lim x ?1

x ?1 x ?1

1 y y ? x ?1 3 1? y ?1 3 ? lim lim 解 原极限 y?0 1 y ?0 1 ? y ? 1 y 2 x ( x ? ? ) tan 例10 求极限: lim x ?? 2

2 ? 3

解 原极限

y?? ? x

lim(? y) tan
y ?0

??y
2

y ? lim(? y ) cot y ?0 2

y cos 2 ? lim( ? y ) y?0 y sin 2

y ? ? lim y?0 y 2

? ?2

6) 利用导数
例11 解 求极限:
x x ? aa lim (a ? 0, a ? 1) x?0 x ? a e a ln a (e x ln x ? a ln a ? 1) ? lim x ?0 x?a
a

e x ln x ? e a ln a 原极限 ? lim x ?0 x?a
x ln x ? a ln a e ?1 a ? a lim x ?0 x?a

x ln x ? a ln a ? a lim x ?0 x?a

? a a ( x ln x)' x ?a

(2) 极限中参数的确定问题
x 3 ? ax2 ? x ? 4 lim ? b , 则 a = ___ , b = ___ 例12 若 x ??1 x ?1 x 3 ? ax2 ? x ? 4 lim ? b , 及 lim (1 ? x ) ? 0 解 由 x x ? ?1 ??1 x ?1
? lim ( x 3 ? ax 2 ? x ? 4) ? 0
x ? ?1

? a?4

x3 ? 4 x 2 ? x ? 4 ( x 2 ? 1)( x ? 4) b ? lim ? lim x ? ?1 x ? ?1 x ?1 x ?1

? lim ( x ? 1)( x ? 4)
x ? ?1

? 10

所以

a ? 4 , b ? 10

例13 求 a,b 使

3 x ? 1 x ?a lim ( ) ?3 x ?1 x ?1
b ? 1) x ? a )

b

2( x (1 ? 解 原极限 ? lim x ?1 x ?1

? lim e
x ?1

b 2( x ?1) ln(1? ) x ?a x ?1

2( x ? 1) b ln(1 ? ) x ? 1 ? ln 3 ? 1 ? a ? 0 ? a ? 1 ? lim x ?1 x?a 2( x ? 1) b ln(1 ? ) 2( x ? 1) x ? 1 ? b lim ? ln 3 ? lim ?b x ?1 ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?1

所以当 a ? 1 , b ? ln 3 时 , 等式成立

(3) 极限值之间的推算问题
例14 已知 lim
x ?0

1 ? f ( x ) sin x ? 1 e3 x ?1

f ( x) ? 2 , 求 lim x ?0
1 ? f ( x) sin x ? 1 ? 0

2x e ?1? 0 ? 解 因为当 x → 0 时 ,

1 ? f ( x ) sin x ? 0 , x ? 0 ? 1 ? f ( x ) sin x ? 1 ~ f ( x ) sin x 2 1 f ( x ) sin x 1 ? f ( x ) sin x ? 1 2 ? lim ? 2 ? lim x ?0 x ?0 3x e3x ? 1

1 sin x 1 ? lim f ( x ) ? lim f ( x ) 6 x?0 x 6 x ?0

? lim f ( x ) ? 12
x ?0

f ( x) f ? 3 ?1 ? x ? ? ? e , 求 lim 2 例15 已知 lim x?0 x x ? 0? x ?

1 ( x) ? x





? lim ?1 ? x ? ? ? lim e x ?0 ? x ? x ?0

1 f ( x) ? x

ln(1? x ? x

f ( x) ) x

? e3

f ( x) x 2 ? f ( x) ln (1 ? x ? ) ln (1 ? ) x ? lim x ? lim ?3 x ?0 x ?0 x x

x 2 ? f ( x) x 2 ? f ( x) ln(1 ? ) f ( x) x x ? lim ? lim ? lim (1 ? 2 ) ? 3 x ?0 x ?0 x ?0 x x x
f ( x) ? lim 2 ? 2 x?0 x

3?数列极限的计算
方法: (1)利用定义 (2)利用函数极限 (3)利用等价代换 (4)利用重要极限

(5)利用夹逼定理
(6)利用收敛准则

数列极限专属问题 一、n项和的极限问题 例16 (练习三/二(6)) 计算 1 2 n lim [ 2 ? 2 ??? 2 ] n? ? n ? 3n ? 1 n ? 3n ? 2 n ? 3n ? n

1 2 n ? 2 ? ?? 2 解 设 an ? 2 n ? 3n ? 1 n ? 3n ? 2 n ? 3n ? n 1? 2 ? ?? n 1? 2 ? ?? n 则有 ? an ? 2 2 n ? 3n ? n n ? 3n ? 1
1? 2 ? ?? n n( n ? 1) 1 ? lim ? 现 lim 2 2 n ? ? n ? 3n ? n n ? ? 2( n ? 3n ? n ) 2

1? 2 ? ?? n n( n ? 1) 1 lim 2 ? lim ? 2 n ? ? n ? 3n ? 1 n ? ? 2( n ? 3n ? 1) 2
根据夹逼定理知:

1 2 n 1 lim an ? lim[ 2 ? 2 ? ?? 2 ]? n? ? n? ? n ? 3n ? 1 n ? 3n ? 2 n ? 3n ? n 2
二、 递推公式类数列极限问题:首先要证明数列收 敛 利用收敛准则(这也是难点) 例17 (练习三/十七) 若 a 是正数 ,

x1 ? a(a ? 1) , xn?1 ? a(a ? 1) ? xn ,( n ? 1,2,?)
证明: 数列 { x n } 收敛 , 并求 lim x n
n? ?



由 a>0

? x1 ? a (a ? 1) ? (a ? 1) ? a ? 1
2

设 xn ? a ? 1 , 则

x n?1 ? a(a ? 1) ? x n ? a (a ? 1) ? a ? 1 ? a ? 1
所以对一切 n ? N , 有

xn ? a ? 1

2 2 2 ? xn ? x ? a ( a ? 1 ) ? x ? x ?1 n n n ? ( a ? 1 ? x n )( x n ? a ) ? 0

? { xn } 单调增 , 且有上界 ,
根据收敛准则知 { x n } 收敛 , 设

lim x n ? x
n? ?

在 x n ?1 ? a (a ? 1) ? x n 两边取极限得

x ? a(a ? 1) ? x
n? ?

解得

x ? a ?1

? lim x n ? a ? 1

3°无穷小的阶数估计 方法: (1) 利用恒等变形及等价变换

(2) 利用变量代换
例18 [练习三/一(2)]

(3) 利用极限的性质

当 x ? 0 时, 下列四个无穷小中哪一个是比其他三 个更高阶的无穷小 (
( A) x 2 ( B ) 1 ? cos x

)
(C ) 1 ? x 2 ? 1
2

( D ) tan x ? sin x

1 2 解 ? 1 ? cos x ~ x 2

1 1 2 2 1 ? x ? 1 ~ (? x ) ? ? x 2 2 sin x(1 ? cos x) 1 3 故选 (D) tan x ? sin x ? ~ x cos x 2

例19 [练习三/六(1)] 求常数 A , k 使当 x→? 时 , 有

1 ? cos x ~ A( x ? ?)k
解 令 y ? x ? ? , 则当 x →π时 , 有 y → 0
1 ? cos x ? 1 ? cos(? ? y ) ? 1 ? cos y ~

1 2 y 2

所以 , 当 x →π时 , 有
1 1 ? cos x ~ ( x ? ? )2 2 1 ? A? , k ? 2 2

例20 [练习三/十五(1)] 求常数 A , B , k 使当 x→2 时 , 有

12x ? B k ? 1 ~ A ( x ? 2 ) 2 3 6x ? x
解 由当 x →2 时 ,
12 x ? B x 3 ? 6 x 2 ? 12 x ? B ?1? ?0 2 3 2 3 6x ? x 6x ? x
? lim( x 3 ? 6 x 2 ? 12 x ? B ) ? 0
x?2

? B?8

12 x ? 8 ( x ? 2) 3 ?1? 2 3 6x ? x 6x2 ? x3

1 ~ ( x ? 2)3 16

1 1 ? A? , k ?3 ? A? , B ?8 , k ?3 16 16

1?

例21 已知

lim
x?0

f ( x) ?1 sin x ? A?0 , 求 c , k 使 x x (e ? 1)

f ( x) ~ cx k
1? f ( x) ?1 sin x x (e x ? 1)





lim
x?0

f ( x) 1? ?1 sin x ? lim x ?0 x2

1 f ( x) x ? lim 2 sin x ?0 x2

1 f ( x) 1 f ( x) ? lim 2 ? lim 3 x ? 0 2 x?0 x 2 x sin x
? c ? 2A , k ? 3

?A

? f ( x ) ~ 2 Ax3


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