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2014届高考数学(文科,江苏专版)大二轮专题复习第二篇 第3讲解答题的八个答题模板


第二篇 第3讲

第3讲
【模板特征概述】

解答题的八个答题模板

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通常 是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次和选拔功 能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知 识、方法和能力的综合型解答题.在高考考场上,能否做好 解答题,是高考成败的关键,因此,在高

考备考中学会怎样 解题,是一项重要的内容.本节以著名数学家波利亚的《怎 样解题》为理论依据,结合具体的题目类型,来谈一谈解答 数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式,即所谓 的“答题模板”.

第二篇 第3讲

“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型,把 数学解题的思维过程划分为一个个小题,按照一定的解题程 序和答题格式分步解答,即化整为零.强调解题程序化,答 题格式化,在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现 答题效率的最优化.

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模板1 三角函数的周期性、单调性及最值问题 ? π? 已知函数f(x)=2cos x· sin?x+3 ?- 3sin2x+sin xcos x ? ? +1. (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的最大值及最 小值;(3)写出函数f(x)的单调递增区间.
审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f(x)=Asin(ωx +φ)+h→结合性质求解.

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规范解答示例 解 f(x)=2cos
?1 x? ?2sin ? ? 3 ? x+ cos x ?- 3sin2x+sin xcos x+1 2 ?

=2sin xcos x+ 3(cos2x-sin2x)+1=sin 2x+ 3cos 2x+1
? π? =2sin?2x+3?+1. ? ?

2π (1)函数f(x)的最小正周期为 2 =π. ? ? π? π? (2)∵-1≤sin?2x+3?≤1,∴-1≤2sin?2x+3?+1≤3. ? ? ? ? π π π ∴当2x+ 3 = 2 +2kπ,k∈Z,即x= 12 +kπ,k∈Z时,f(x)取得 最大值3;

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π π 5π 当2x+ =- +2kπ,k∈Z,即x=- +kπ,k∈Z时,f(x) 3 2 12 取得最小值-1.

π π π 5π π (3)由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤ + 2 3 2 12 12 kπ,k∈Z.
? 5π ? π ∴函数f(x)的单调递增区间为?-12+kπ,12+kπ? ? ?

(k∈Z).

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构建答题模板 第一步:三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的 形式或y=Acos(ωx+φ)+h的形式. ? π? 如:f(x)=2sin?2x+3 ?+1. ? ?
第二步:根据f(x)的表达式求其周期、最值.

第三步:由sin x、cos x的单调性,将“ωx+φ”看作一个整 体,转化为解不等式问题. 第四步:明确规范表述结论. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.

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模板2 三角变换与解三角形问题 3 2C 2A 在△ABC中,若acos +ccos = b. 2 2 2 (1)求证:a,b,c成等差数列; (2)求角B的取值范围.
审题路线图 (1) 化简变形 ―→ 用余弦定理转化为边的关系 ―→ 变形证明 (2) 用余弦定理表示角 ―→ 用基本不等式求范围 ―→ 确定角的取值范围

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规范解答示例 (1)证明 1+cos C 1+cos A 3 因为 acos +ccos =a· +c· = b, 2 2 2 2 2
2C 2A

所以 a+c+(acos C+ccos A)=3b, 故
2 2 2? ? a2+b2-c2 b + c - a ? a+c+? 整理, 得 a · + c · ? ?=3b, 2 ab 2 bc ? ?

a+c=2b,

故 a,b,c 成等差数列.
a2+c2-b2 (2) 解 cos B = = 2ac 6ac-2ac 1 ≥ 8ac =2, a +c
2 2

?a+c? ?2 -? ? 2 ? ? ?

2ac

3?a2+c2?-2ac = 8ac

π 因为 0<B<π,所以 0<B≤ . 3

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构建答题模板 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中 标注出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实 施边角之间的互化. 第三步:求结果.
第四步: 回顾反思, 在实施边角互化的时候应注意转化的方向, 一般有两种思路:一是全部转化为边之间的关系;二是全部 转化为角之间的关系,然后进行恒等变形.

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模板 3 数列通项公式及求和问题 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n∈N*),等差数列{bn}中,bn>0 (n∈N*),且 b1+b2+b3=15, 又 a1+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列. (1)求数列{an}、 {bn}的通项公式; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.
审题路线图 → an=3n
-1

(1) an=Sn-Sn-1 ?n≥2? → 消去Sn → 得an+1=3an

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规范解答示例 解 (1)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*), ∴an=2Sn-1+1 (n∈N*,n≥2),
∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),即an+1-an=2an,
∴an+1=3an (n∈N*,n≥2).而a2=2a1+1=3,∴a2=3a1. ∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
∴an=3n-1 (n∈N*).∴a1=1,a2=3,a3=9, 在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.
又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn} 的公差为d, 则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2.

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∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,
∵bn>0 (n∈N*),∴舍去 d=-10,取 d=2, ∴b1=3,∴bn=2n+1 (n∈N*).
(2)由(1)知 Tn=3×1+5×3+7×32+?+(2n-1)3n 2+


(2n+1)3n-1,



∴3Tn=3×3+5×32+7×33+?+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n, ②

∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+?+2×3n -(2n+1)3n

-1

=3+2(3+32+33+?+3n-1)-(2n+1)3n
3-3n =3+2× -(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n· 3n, 1-3 ∴Tn=n· 3n.

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构建答题模板 第一步:令n=1,由Sn=f(an)求出a1. 第二步:令n≥2,构造an=Sn-Sn-1,用an代换Sn-Sn-1(或用Sn -Sn-1代换an,这要结合题目特点),由递推关系求通项. 第三步:验证当 n=1 时的结论是否适合当 n≥2 时的结论. 如果适合,则统一“合写”;如果不适合,则应分段表示. 第四步:写出明确规范的答案.

第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本题的 易错点,易忽略对n=1和n≥2分两类进行讨论,同时忽视结 论中对二者的合并.

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模板 4 立体几何中的基本关系与基本量问题

在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC, AB=BC=CA=DA=DC=BE =2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60° ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求多面体 ABCDE 的体积.
审题路线图 在平面 ABC 内作辅助线 OF→证明 DE∥OF→将

多面体 ABCDE 分割→求两个三棱锥体积之和.

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规范解答示例 (1)证明 由题意知,△ABC,△ACD都是边长 为2的等边三角形,取AC中点O,连接BO,DO,

则BO⊥AC,DO⊥AC.∵平面ACD⊥平面ABC, ∴DO⊥平面ABC,作EF⊥平面ABC, 那么EF∥DO,根据题意,点F落在BO上, ∴∠EBF=60° ,易求得EF=DO= 3, ∴四边形DEFO是平行四边形,DE∥OF. ∵DE?平面ABC,OF?平面ABC,∴DE∥平面ABC.

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(2)解 ∵平面ACD⊥平面ABC,OB⊥AC,∴OB⊥平面ACD.

又∵DE∥OB,∴DE⊥平面ACD. 1 ∴三棱锥E—DAC的体积V1= S△DAC· DE 3

3- 3 1 = · 3· ( 3-1)= . 3 3

1 1 又三棱锥E—ABC的体积V2= S△ABC· EF= · 3· 3=1, 3 3
6- 3 ∴多面体ABCDE的体积为V=V1+V2= . 3

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构建答题模板 第一步:画出必要的辅助线,根据条件合理转化.

第二步:写出推证平行或垂直所需条件,注意条件要充分.
第三步:明确写出所证结论. 第四步:对几何体进行合理转化(分割或拼补). 第五步:分别计算几何体的体积并求和.
第六步:反思回顾,查看关键点,易错点及答题规范.

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模板5 解析几何中的探索性问题 已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线 与椭圆相交于A,B两点. 1 (1)若线段AB中点的横坐标是- ,求直线AB的方程; 2 → → (2)在x轴上是否存在点M,使 MA · MB 为常数?若存在,求出 点M的坐标;若不存在,请说明理由.
审题路线图 设AB的方程y=k(x+1)→待定系数法求k→写 → → → → 出方程;设M存在即为(m,0)→求 MA · MB →在 MA · MB 为常数 的条件下求m.

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规范解答示例 解 (1)依题意,直线 AB 的斜率存在, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1), 将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ① ?Δ=36k4-4?3k2+1??3k2-5?>0, ? ? 6k2 x1+x2=- 2 . ② ? 3 k + 1 ? x1+x2 1 3k2 1 由线段AB中点的横坐标是- 2 ,得 2 =- 2 =- 2 ,解 3k +1 3 得k=± ,适合①. 3

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所以直线AB的方程为x- 3y+1=0或x+ 3y+1=0.
→ → (2)假设在x轴上存在点M(m,0),使MA· MB为常数.
(ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 3k2-5 6k2 由(1)知 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . 3k +1 3k +1 → → 所以MA· MB=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.
→ → ?6m-1?k -5 将③代入,整理得MA· MB= +m2 2 3k +1
2



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? 1? 2 14 ?2m- ??3k +1?-2m- 3? 3 ?



3k2+1

1 6m+14 +m =m +2m- - . 3 3?3k2+1?
2 2

7 → → 注意到MA· MB是与k无关的常数,从而有6m+14=0,m=-3, → → 4 此时MA· MB= . 9 (ⅱ)当直线AB与x轴垂直时,此时点A、B的坐标分别为 ? ? 2? 2? ? ? ? ? - 1 , - 1 ,- 、 ? ? ? ?, 3 3 ? ? ? ?
7 → → 4 当m=-3时,也有MA· MB=9. ? 7 ? → → ? ? 综上,在x轴上存在定点M -3,0 ,使MA· MB为常数. ? ?

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构建答题模板 第一步:假设结论存在.

第二步:以存在为条件,进行推理求解.
第三步:明确规范表述结论.若能推出合理结果,经验证成立 即可肯定正确;若推出矛盾,即否定假设. 第四步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范. 如本题中第(1)问容易忽略Δ>0这一隐含条件. 第(2)问易忽略直线AB与x轴垂直的情况.

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模板6 概率与统计问题 (2012· 山东)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标 号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标 号之和小于4的概率; (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任 取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
审题路线图 确定概率模型→列出所有取卡片的结果(基本

事件)→构成事件的基本事件→求概率.

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规范解答示例 解 (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A,B,C,标号 为1,2的两张蓝色卡片分别记为D,E, 从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A,B),(A,C), (A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C, E),(D,E),共10种. 由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现 是等可能的. 从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之 和小于4的结果为(A,D),(A,E),(B,D),共3种. 3 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为10.

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(2)记F是标号为0的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有 可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F), (B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C, F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.

由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现 是等可能的.
从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之 和小于4的结果为(A,D),(A,E),(B,D),(A,F),(B, F),(C,F),(D,F),(E,F),共8种. 8 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为15.

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构建答题模板 第一步:列出所有基本事件,计算基本事件总数;

第二步:将所求事件分解为若干个互斥的事件,或转化为其对 立事件.(也许不用分解,但分解必须注意互斥) 第三步:分别计算每个互斥事件的概率. 第四步:利用概率的加法公式求出问题事件概率. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及答题规范.

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模板7 函数的单调性、最值、极值问题 2ax-a2+1 已知函数f(x)= (x∈R).其中a∈R. x2 + 1 (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值.
审题路线图 (1)①求y=f′(x);②求f′(2);③写出切线方 程.(2)①求y=f′(x)并对式子进行整理;②根据a的范围分 别写出单调区间与极值.

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规范解答示例 2x 4 解 (1)当a=1时,f(x)= 2 ,f(2)= , 5 x +1 2?x2+1?-2x· 2x 2-2x2 6 又f′(x)= = 2 ,f′(2)=-25. ?x2+1?2 ?x +1?2
所以,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 4 6 y- =- (x-2), 5 25 即6x+25y-32=0.
2a?x2+1?-2x?2ax-a2+1? -2?x-a??ax+1? (2)f′(x)= = . ?x2+1?2 ?x2+1?2

由于a≠0,以下分两种情况讨论.

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1 ①当a>0,令f′(x)=0,得到x1=-a,x2=a.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) 1 (-∞,- ) a - ? 1 - a 0 极小值 1 (- ,a) a + a 0 极大值 (a,+∞) - ?

? 1? 所以f(x)在区间?-∞,-a?,(a,+∞)内为减函数,在区间 ? ? ? 1 ? ?- ,a?内为增函数. ? a ?

? 1? 1 1 函数 f(x)在 x1=-a处取得极小值 f(-a),且 f?-a?=-a2. ? ?

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函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.

1 ②当a<0时,令f′(x)=0,得到x1=a,x2=-a,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) (-∞,a) + ? a 0 极大值 1 (a,- ) a - 1 - a 0 极小值 1 (- ,+∞) a + ?

? 1 ? 所以f(x)在区间(-∞,a),?-a,+∞?内为增函数,在区间 ? ? ? 1? ?a,- ?内为减函数. a? ?

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函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.
? 1? 1 1 函数f(x)在x2=-a处取得极小值f(-a),且f?-a?=-a2. ? ?

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构建答题模板 第一步:确定函数的定义域.如本题函数的定义域为R. 第二步:求f(x)的导数f′(x).

第三步:求方程f′(x)=0的根.
第四步:利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将 定义域分成若干个小开区间,并列出表格.
第五步:由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间 内的单调性.

第六步:明确规范地表述结论.
第七步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题中 1 f′(x)=0的根为x1=- a ,x2=a.要确定x1,x2的大小,就必须对 a的正、负进行分类讨论.这就是本题的关键点和易错点.

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模板8 含参不等式的恒成立问题 2 3 2 已知函数f(x)=x +bx +cx+d,当x=- 和x=1时取得 3 极值. (1)求b和c的值;(2)若对于任意x∈[-1,2],f(x)<2d2-1恒成 立,求d的取值范围.
审题路线图
? 2? ? ?f′?- ?=0 f(x)→f′(x)→ ? ? 3? ? ?f′?1?=0

→求b,c→在[ -1,2]

上求f(x)的最大值→解不等式f(x)max<2d2-1→d的取值范围.

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规范解答示例 解 (1)∵f(x)=x3+bx2+cx+d,∴f′(x)=3x2+2bx+c.

2 又∵x=- 和x=1是f(x)的极值点, 3
2 22 2 ? ? ?f′?- ?=0 ?3×?- ? +2b×?- ?+c=0, 3 3 3 ∴? ,即? 2 ? ? ?f′?1?=0 ?3×1 +2b×1+c=0, 1 ? ?b=- 2 . 解之得? ? ?c=-2
1 检验b=-2,c=-2符合要求.

第二篇 第3讲
1 2 (2)由(1)知f(x)=x - x -2x+d,∴f′(x)=3x2-x-2, 2
3

2 2 令f′(x)=0得x1=-3,x2=1,当x∈[-1,-3)时,f′(x)>0, 2 即f(x)在[-1,-3)上为增函数. 2 2 当x∈(- ,1)时,f′(x)<0,即f(x)在(- ,1)上为减函数. 3 3 当x∈(1,2]时,f′(x)>0,即f(x)在(1,2]上为增函数. 2 22 2 22 又f(- )= +d,f(2)=2+d,∴f(2)=2+d>f(- )= +d, 3 27 3 27
∴当x∈[ -1,2] 时,f(x)max=2+d,

第二篇 第3讲

又x∈[-1,2]时,f(x)<2d2-1恒成立.

3 ∴2+d<2d -1,解之得d<-1或d>2,
2

3 故d的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).

第二篇 第3讲
构建答题模板 第一步:将问题转化为形如不等式f(x)≥a(或f(x)≤a)恒成立的 问题.

第二步:求函数f(x)的最小值f(x)min或最大值f(x)max. 第三步:解不等式f(x)min≥a(或f(x)max≤a). 第四步:明确规范地表述结论. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及答题规范.如本题 重点反思每一步转化的目标及合理性,最大或最小值是否正 确.

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高考数学解答题虽然具有较强的知识综合性,思维的灵 活性,但所考查的数学知识、方法,基本数学思想是不变 的,题目形式的设置是相对稳定的,因而本讲结合近几年高 考的重点、热点题型,通过对答题思路的分析、梳理,构建 了几类重点题型的“答题模板”,目的是给考生一个在考前 回顾如何规范思维,如何有效答题的辅助材料.重点是思维 过程、规范解答和反思回顾,结合着具体题型给出了具有可 操作性的答题程序.希望能够举一反三,对考生答题有所帮 助.


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