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内蒙古鄂尔多斯市西部四校2016届高三上学期期中联考数学(理)试题


2015-2016 学年第一学期 高三年级理科数学期中试题

注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将 自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第

II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷答题卡交回。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1. 命题“? x∈R,|x|+x ≥0”的否 定是( . A.? x∈R,|x|+x <0 C.? x0∈R,|x0|+x0<0 2. 已 知 集 合
2 2 2

)
2

B.? x∈R,|x|+x ≤0 D.? x0∈R,|x0|+x0≥0 ,
2

A ? {?2, ?1,0,1, 2}
) B. {0,1}

B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0}

, 则

A? B ?(
A.

{0,1, 2}

C. {?1, 0,1} )

D. {?1, 0}

3. 已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=( A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7)
2

D.(3,9)

4. 用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的 假设是( )

A. 方程 x +ax+b=0 没有实根 B. 方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 C. 方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D. 方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 5.把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移 π 个单位长度,再把所得图象上所有点 6
2 2 2

2

的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到图象的函数表达式为( π? ? A.y=sin?2x- ?,x∈R 3? ? π? ? B.y=sin?2x+ ?,x∈R 3? ?

).

?1 π ? C.y=sin ? x+ ?,x∈R 6? ?2
x-1

?1 π ? D.y=sin? x- ?,x∈R 6? ?2
) D.1 )

6. 曲线 y=xe 在点(1,1)处切线的斜率等于( A.2e
2

B.2

C.e

7. 2x -5x-3<0 的一个必要不充分条件是 (

1 A.- 2 <x<3 1 C.-3<x< 2
8.设函数

B.-

1 <x<0 2

D.-1<x<6

? ?1 ? log2 (2 ? x), x ? 1 f ( x) ? ? x ?1 ,则 f (?2) ? f (log 2 12) ? ( 2 , x ? 1 ? ?
B.6 C.3 D.12



A.9

9.已知等比数列 {an } 满足 a1 = 3,a1 + a3 + a5 = 21,则 a3 + a5 + a7 = ( ) A.21 B.42 C.63 D.84

10. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} ) B.{-2- 7,1,3} D.{-3,-1,1,3}

2

11. 黑板上有一道解答正确的解三角形的习题,一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在 只能看到:在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a=2,??,解得 b= 6. 根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件 ( .... A.A=30°,B=45° C.B=60°,c=3 1 B.c=1,cosC= 3 D.C=75°,A=45° )

12.如图, 有一直角墙角, 两边的长度足够长, 在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 am(0<a<12)、 4m,不考虑树的粗细,现在用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花园 ABCD.设此矩形花

园的面积为 Sm ,S 的最大值为 f(a),若将这棵树围在花园内,则函数 u=f(a)的图象大致是 ( )

2

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.设向量 a,b 不平行,向量

?a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 λ

= _____

? x ? y ?1 ? 0 ? 14.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 则 z=3x+y 的最小值为 ? x?0 ?
15.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于 16. 已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则 f2015(x)的表达式 1+x 为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ?

x

?x x

2

? 5x ? 6 ? 0

?,B= ?x mx? 1 ? 0?,且 A ? B ? A ,求实数 m

的值组成的集合。

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 a=(cos α ,sin α ),b=(1+cos β ,-sin β ). π (1)若 α = ,β ∈(0,π ),且 a⊥b,求 β ; 3 (2)若 β =α ,求 a·b 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3, cos A= 6 π ,B=A+ . 3 2

(1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积.

20.(本小题满分 12 分) 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x -5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ n}的前 n 项和. 2
2

an

21.(本小题满分 12 分)

x a 3 已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 4 x 2
1 直线 y= x. 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时 请写清题号 22.(本小题满分 12 分) 已知点 P(2,2),圆 C:x +y -8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的 中点为 M,O 为坐标原点.求 M 的轨迹方程;
2 2

23.(本小题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,F 是 A1C1 的中点,连接 FB1、AB1,FA. 求证: (1)平面

FAB1⊥平面 ACC1A1;
(2) 直线 BC1∥平面 AFB1.

24.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 2x 若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值. x +6
2

西四旗联考高三理科数学期中考试试题 参考答案 一、选择题(5 分*12=60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 A 5 C 6 B 7 D 8 A 9 B 10 B 11 D 12 C

二、填空题(5 分*4=20 分) 13 14、 15、 16、 三、解答题(共 70 分) 17.(10 分)解:A={x|x -5x+6=0}={2,3},A∪B=A, ∴B
2

1/2 1 12

x A,①m=0 B= x ,B 1时, ? 2015

A;??..3 分 , ??..6 分

②m≠0 时,由 mx+1=0,得 x=∵B A∴∈ A =3,得 m= 或

∴- =2 或-

??..9 分 , }.??..10 分

∴满足题意的 m 的集合为{0,

18.(12 分)解 (1)∵a⊥b,∴a·b=cos α +cos α cos β -sin α sin β =0, π π π π ∵α = ,∴cos +cos cos β -sin sin β =0, 3 3 3 3 π? 1 ? 整理得 cos?β + ?=- , 3? 2 ? π 2π π 4π ∴β + = +2kπ (k∈Z)或 β + = +2kπ (k∈Z), 3 3 3 3 π ∵β ∈(0,π ),∴β = .??..6 分 3 2 2 2 (2)a·b=cos α +cos α -sin α =cos α +2cos α -1, 令 t=cos α ,t∈, 9 2 2 ∴a·b=2t +t-1=2(t+1/4) - , 8 ∴当 t=1 时,(a·b)max=2,

1 9 当 t=- 时,(a·b)min=- , 4 8

? 9 ? ∴a·b 的取值范围为?- ,2?.??..12 分 ? 8 ?
19.(12 分)解 (1)在△ABC 中, 由题意知 sin A= 1-cos A= π 又因为 B=A+ , 2 π 6 所以 sin B=sin(A+ )=cos A= . 2 3 由正弦定理可得 6 3× 3 asin B b= = =3 2.??..6 分 sin A 3 3 π π 3 (2)由 B=A+ 得 cos B=cos(A+ )=-sin A=- . 2 2 3 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B). 所以 sin C=sin=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = 3 3 6 6 1 ×(- )+ × = . 3 3 3 3 3
2

3 , 3

1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absin C= ×3×3 2× = .??..12 分 2 2 3 2 20. (12 分)解 (1)解方程 x -5x+6=0 的两根为 2,3,
2

由题意得 a2=2,a4=3. 1 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d= , 2 3 从而 a1= . 2 1 所以{an}的通项公式为 an= n+1. ??..6 分 2

an an n+2 (2) 设{ n}的前 n 项和为 Sn,由(1)知 n= n+1 ,则 2 2 2

3 4 n+1 n+2 Sn= 2+ 3+?+ n + n+1 , 2 2 2 2 1 3 4 n+1 n+2 Sn= 3+ 4+?+ n+1 + n+2 . 2 2 2 2 2 两式相减得 1 3 1 1 n+2 Sn= +( 3+?+ n+1)- n+2 2 4 2 2 2 3 1 1 n+2 = + (1- n-1)- n+2 . 4 4 2 2 所以 Sn=2-

n+4
2
n+1

.??..12 分

21. (12 分)解

1 a 1 (1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- , 4 x x

1 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 知 2

f′(1)=- -a=-2,解得 a= .??..6 分

3 4

5 4

x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- , 4 4x 2
则 f′(x)=

x2-4x-5 , 2 4x

令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5, 因 x=-1 不在 f(x)的定义域 (0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时, f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. ??..12 分

22. (12 分)解:圆 C 的方程可化为 x +(y-4) =16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4. 设 M(x,y),则

2

2

???? ? ???? CM =(x,y-4), MP =(2-x,2-y).

由题设知 CM · MP =0,??..6 分

???? ?

????

故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1) +(y-3) =2.

2

2

由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x-1) +(y-3) =2. ??..12 分

2

2

23. ( 12 分)解:(1)△A1B1C1 为正三角形 ? B1F⊥A1C1 , AA1⊥ 平面

A1B1C1? B1F⊥AA1,易得平面 FAB1⊥平面 ACC1A1. ??..6 分

(2)连接 A1B 与 AB1 交于点 O,连接 OF,易得 OF 为△A1BC1 的中位线,得

BC1∥平面 AFB1. ??..12 分

24. (12 分)解:f(x)>k?kx -2x+6k<0. ??..4 分
2

2

由已知{x|x<-3,或 x>-2}是其解集,得 kx -2x+6k=0 的两根是 -3,-2. ??..8 分

由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=

,即 k=-

??..12 分


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