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重庆一中2012-2013学年高二下学期期中考试 数学理


秘密★启用前

2013 年重庆一中高 2014 级高二下期半期考试

数 学 试 题 卷(理科)2013.5
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、设复数 z A、 ? 1
? 2 1? i

(其中 i 为虚数单位),则 z 的虚部为( B、 1 C、 i

r />) D、 ? i

2、如图所示,以边长为 1 的正方形 A B C D 的一边 A B 为直径在其内部作一半圆。 若在正方形中任取一点 P ,则点 P 恰好取自半圆部分的概率为( )
?

D
1

1

C

A、

2

B、 2
?

?

B O 3、有 5 盆互不相同的玫瑰花,其中黄玫瑰 2 盆、白玫瑰 2 盆、红玫瑰 1 盆,现把 它们摆放成一排,要求 2 盆白玫瑰不能相邻,则这 5 盆玫瑰花的不同摆放种数是 ( ) A、120 4、若 a A、
1 a
?b?0

C、 8

D、

4

A

B、72
1 b

C、12 )

D、36

,则下列不等式一定不成立的是( B、 lo g 2 a ? lo g 2 b D、 b ? a b ?

?

C、 a 2 ? b 2 ? 2 a ? 2 b ? 2

a?b 2

? a

5、 (原创)篮子里装有 2 个红球,3 个白球和 4 个黑球。某人从篮子中随机取出两 个球,记事件 A=“取出的两个球颜色不同” ,事件 B=“取出一个红球,一个 白球” ,则 P ( B | A ) ? (
1 6
R?


5 9
y

A、

B、

3 13

C、

D、 的最小值为(

2 3

6、已知 x , y ? A、1

2 ,且满足 x y ? 3 2 ,则 x ?



B、2

C、6

D、4
?

7、若多项式 x 4 ? ( x ? 1) 8 ? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a 8 ( x ? 1) 8 ,则 a 3 A、1 B、60 C、 ? 9 6 1 D、 ? 1 7 9 6





8、 (原创)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取四个数字,其中奇数偶数至少各一个, 组成没有重复数字的四位数的个数为( A、1296 B、1080 9、若关于 x 的不等式 ( ) B、 ?? 4 ,1? C、 ?0 ,3 ? D、 ?1, 2 ? A D F E C ) D、300 的解集包含 [1, 2] ,则 a 的取值范围为

C、360

x?a ? x?2 ? x?4

A、 ?? 3 , 0 ?

10、如图,用五种不同的颜色给图中的 A、B、C、D、E、F 六 个不同的点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线 段的两个端点涂不同的颜色, 则不同的涂色方法共 ( ) 种。 B A、1240 B、360 C、1920 D、264 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
1 1

11、两人射击命中目标的概率分别为 , , 现两人同时射击目标,则目标能被命中
2 3

的概率为 _______ 。 (用数字作答)
5 12、 (1 ? )( x ? 2 ) 的展开式中, x 3 的系数为 _______ 。 (用数字作答)

1

x

1

13 、 原 创 ) 已 知 a , b , c ? (
_______

R?

且满足 a

? 2b ? 3c ? 1

,则

?

1 2b

?

1 3c

a

的最小值为



14 、 抛 掷 一 枚 骰 子 , 设 每 一 个 点 数 向 上 是 等 可 能 的 。 构 造 数 列 { a n } , 使 得
?1,当第 n 次出现奇数点向上时 an ? ? ? ? 1,当第 n 次出现偶数点向上时
2 ? S 6 ? 4 的概率为 _______

。 记

S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ( n ? N *)

, 则

。 (用数字作答)

15、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 他们是由正整数的倒数组成的, n 行有 n 个数且 第 两端的数均为 1 ( n
n ? 2)

,每个数是它下一行左右
1 2 ? 1 1 1 1 1 1 1 , ? ? , ? ? 2 2 3 6 3 4 12

相邻两数的和,如:1 ?
1

…,

则第 n ( n ? 3, n ? N ) 行第 3 个数字是 含 n 的式子作答)

. (用

三、解答题: (共 6 小题,其中 16~18 题每小题 13 分,19~21 题每小题 12 分,共 75 分) 16、(本小题满分 13 分)已知 (
x ? 2 x )
n

展开式中的所有二项式系数和为 512,

(1)求展开式中的常数项; (2)求展开式中所有项 的系数之和。

17、 (本小题满分 13 分) 在数列{ a n }中, a 1
? 6

,且 a n

? a n ?1 ?

a n ?1 n

? n ? 1 (n ? N , n ? 2)
*



(1)求 a 2 , a 3 , a 4 的值; (2)猜测数列{ a n }的通项公式,并用数学归纳法证明。

18、 (原创) (本小题满分 13 分)2013 年 4 月 20 日 8 时 02 分四川省雅安市芦山县 (北纬 30.3,东经 103.0)发生 7.0 级地震。一方有难,八方支援,重庆众多医务 工作者和志愿者加入了抗灾救援行动。其中重庆某医院外科派出由 5 名骨干医生 组成的救援小组,奔赴受灾第一线参与救援。现将这 5 名医生分别随机分配到受 灾最严重的芦山、宝山、天全三县中的某一个。 (1)求每个县至少分配到一名医生的概率。 (2)若将随机分配到芦山县的人数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,期望和方差。

19、 (本小题满分 12 分)在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2, AB=1。 B (1)请在线段 CE 上找到一点 F,使得直线 BF∥平面 ACD,并证明; (2)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小; A
19 题图 C

E

D

2 20、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ax ? ( a ? 2 ) x ? ln x .

( 1)当 a (2)当 a

? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) ? 0

在点 1, (

f (1))

处的切线方程;

时,若

f (x)

在区间 [1, e ] 上的最小值为-2,求实数 a 的取值范围;
? x2

(3)若对任意 x1 , x 2 ? ( 0 , ?? ), x1 的取值范围.

,且

f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x 2 ) ? 2 x 2

恒成立,求实数 a

21、 (本小题满分 12 分)已知函数
x 1 , x 2 ? ?0 , ??

y ? f (x)

的定义域为 ?0 , ?? ? ,且对于任意 均成立。

? ,存在正实数 L,使得
1 ? x , x ? ?0 , ??

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? L x1 ? x 2

(1)若

f (x) ?

? ,求正实数 L 的取值范围;
}满足 a n ? 1 ;
n

(2)当 0

? L ? 1 时,正项数列{ a n
n

? f ( a n ),n ? 1,, ) ( 2 ?

①求证: ?
k ?1

a k ? a k ?1 ?

1 1? L

? a1 ? a 2

②如果令 A k

?

a 1 ? a 2 ?? ? a k k

( k ? 1,,, ) 2 3 ?

,求证: ?
k ?1

A k ? A k ?1 ?

1 1? L

a1 ? a 2

.

命题人:黄 艳 审题人:梁 波

2013 年重庆一中高 2014 级高二下期半期考试(本部)

数 学 答 案(理科)2013.5
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) ACBCB CDDAC 二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分) 11、
2 3

12、 30

13、9

14、

21 64

15、

2 n ( n ? 1)( n ? 2 )

三、解答题:(共 75 分)
16、 (13 分)解: (1)由 2
n

? 512 得 n ? 9 。
? r 2 r r r ( ) ? 2 C9 x 2 2 x 9 3

则第 r ? 1 项为 T r ? 1 ? C 9 (
r

x)

9?r

( r ? 0 ,1, 2 , ? , 9 )



9 2

?

3 2

r ? 0 得 r ? 3 故常数项为 T 4 ? 2 C 9 ? 672
3 3

9 (2) 令 x ? 1 ,得系数和为: 3

17、 (13 分)解: (1) a 2 ? 12 , a 3 ? 20 , a 4 ? 30

(2)猜测 a n ①当 n

? ( n ? 1)( n ? 2 ) 。下用数学归纳法证明:

? 1, 2 , 3 , 4

时,显然成立;
(k ? 4, k ? N )

②假设当 n ? k
a n ? a n ?1 ? a n ?1 n

时成立,即有 a k
n ?1 n

? ( k ? 1)( k ? 2 ) ,则当 n ? k ? 1 时,由

? n ? 1得an ?

a n ?1 ? n ? 1 ,

故 a k ?1

?

k ?1?1 k ?1
2

ak ? k ? 1 ? 1 ?

k ? 2 k ?1

( k ? 1 )( k ? 2 ) ? k ? 2

? ( k ? 2 ) ? ( k ? 2 ) ? ( k ? 2 )( k ? 3 )

,故 n ? k ? 1 时等式成立;
*

③由①②可知, a n

? ( n ? 1)( n ? 2 ) 对一切 n ? N
C 5C 4 A2 3
1
5 2 1 2

均成立。

C 5 A3 ?
3 3

A3

3

18、 (13 分)解: (1) P ?

?

50 81
?1? ?2? ? ?3? ?3?
i 5?i

i (2)由条件可知, ? ~ B ( 5 , ) ,故 P ( ? ? i ) ? C 5 ? ? ?

, ( i ? 0 ,1, 2 , ? , 5 )

3

故 ? 的分布列为:

?

0
32 243 1 3 5 3 1 3 ? 2 3

1
80 243

2
80 243

3
40 243

4
10 243

5
1 243

P

? E ? ? np ? 5 ?

?

D ? ? np (1 ? p ) ? 5 ?

?

10 9
z

19、 (12 分)解法一:以 D 点为原点建立如图所 示的空间直角坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴 分别经过点 A 和点 E, 则各点的坐标为 D (0, 0, 0 ) ,
A (2, 0, 0)

E

, E (0, 0, 2 ) , B ( 2, 0, 1) ,C (1, 3 , 0 ) ,

B

F A C
y

(1)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明: 设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为
F ( 1 2 , 3 2 , 1)

x

D

,∴ B F ? ( ?

??? ?

3 2

,

3 2

, 0)

DE ? ( 0 , 0 , 2 ), ? BF ? DE ? 0 ,? BF ? DE ,而

DE 是平面 ACD 的一个法向量,此即证得 BF∥平面 ACD;

(2)设平面 BCE 的法向量 为 n ? ( x , y , z ) ,则 n ? C B ,且 n ? C E , 由 C B ? (1, ? 3 ,1) , C E ? ( ? 1, ? 3 , 2 ) ,
?x ? ? ?? x ? ? 3y ? z ? 0 3y ? 2z ? 0
??? ? ??? ?

?

?

??? ?

?

??? ?

∴?

,不妨设 y ?

? ?x ? 1 ,即 n ? (1, 3 ,则 ? ?z ? 2

3 , 2) ,

? n ? (0, 0, 2 ) ? ? ∴所求角 ? 满 足 c o s ? ? | n | ?2

2 2

,∴ ? ?

?
4



解法二: (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴ AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点, 连接
// 1 FH,则 F H ? E D 2 // ,∴ F H ? A B ,

E

B

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ B F // A H , 由 B F ? 平面 ACD 内, A H ? 平面 ACD,? B F // 平面 ACD(2)由已知条件可知 ? A C D 即为 ? B C E 在平面 ACD 上的射影,设所求的二面角的大小为 ? ,则
cos ? ? S ?ACD S ?BCE

A 19 题图 C

D



易求得 BC=BE ?

5 ,CE ? 2 2 ,∴ S ? B C E ?

1 2

| CE |?

BE ? (
2

CE 2

)

2

?

6 ,

而 S ?ACD ?

3 4

| AC | ?
2

3 ,∴ c o s ? ?

S ?ACD S ?BCE
2

?

2 2

,且 0 ? ? ?

?
2

, ∴? ?

?
4
1 x

20、 (12 分)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ? 3 x ? ln x , f ( x ) ? 2 x ? 3 ? 因为 f (1) ? 0 , f (1) ? ? 2 .所以切线方程是 y ? ? 2
'

(Ⅱ)函数 f ( x ) ? 2 ax ? ( a ? 2 ) x ? ln x 的定义域是 ( 0 , ? ) ,
1 x 2 ax
2

当 a ? 0 时, f ( x ) ? 2 ax ? ( a ? 2 ) ?
'

?

2 ax

2

? (a ? 2) x ? 1 x

( x ? 0)

' 令 f ( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ?

'

? (a ? 2) x ? 1 x

?

( 2 x ? 1)( ax ? 1) x

? 0,

所以 x ? 当0 ?
1 a

1 2

或x ?

1 a



? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x ) 在[1,e]上单调递增,

所以 f ( x ) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ? 2 ; 当1 ? 当
1 a 1 a ? e 时, f ( x ) 在(1,e)上单调递减, ? e 时, f ( x ) 在[1,e]上的最小值是 f ( 1 a ) ? f (1 ) ? ? 2 ,不合题意;

所以 f ( x ) 在[1,e]上的最小值是 f ( e ) ? f (1) ? ? 2 ,不合题意; 综上, a ? 1 。
( ? (Ⅲ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 x ,则 g ( x ) ? ax 2 ? ax ? ln x ,只要 g ( x ) 在 0, ? ) 上单调递增即
1 x 2 ax
2

可.而 g ' ( x ) ? 2 ax ? a ? 当 a ? 0 时, g ' ( x ) ?
1 x

?

? ax ? 1 x



( ? ? 0 ,此时 g ( x ) 在 0, ? ) 上单调递增;
2

( ? 当 a ? 0 时,只需 g ' ( x ) ? 0 在 0, ? ) 上恒成立,因为 x ? ( 0 , ?? ) ,只要 2 ax ? ax ? 1 ? 0 ,
2 则需要 a ? 0 ,且对于函数 y ? 2 ax ? ax ? 1 ,过定点(0 ,1) ,对称轴 x ?

1 4

? 0 ,只需

? ? a ? 8 a ? 0 ,即 0 ? a ? 8 ;

2

综上 0 ? a ? 8 。 21 、( 12 分 )( 1 ) 由 已 知 可 得 , 对 任 意 的 x 1 , x 2 ?
1 ? x1 ? 1 ? x2 ? x1 ? x 2 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? x1 ? x 2 1 ? x1 ? 1 ? x2

?0 , ?? ? , 均 有


f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

又由 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? L x 1 ? x 2 恒成立,即

x1 ? x 2 1 ? x1 ?
1

1 ? x2

? L x 1 ? x 2 恒成立.

当 x1 ? x 2 时 , 由 上 可 得 L ?

1 ? x1 ?

1 ? x2

. 因 为 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , 故

1 1 ? x1 ? 1 ? x2

?

1 2

,故 L ?

1 2



当 x 1 ? x 2 时, f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? L x 1 ? x 2 恒成立。
? L 的取值范围是 [

1 2

, ?? ) .



2









a n ? 1 ? f ( a n ), n ? 1,, 2 ?







n ? 2
2





a n ? a n ? 1 ? f ( a n ?1 ) ? f ( a n ) ? L a n ?1 ? a n ?
n ?1
n

L f ( a n ? 2 ) ? f ( a n ?1 ) ? L a n ? 2 ? a n ?1

?? ? L

a 1 ? a 2 ,所以 ? a k ? a k ? 1 ? a 1 ? a 2 ? a 2 ? a 3 ? a 3 ? a 4 ? ? ? a n ? a n ? 1
k ?1

? (1 ? L ? L ? ? ? L
2

n ?1

) a1 ? a 2 ?

1? L

n

1? L

a1 ? a 2







0 ? L ?1







?
k ?1

n

a n ? a n ?1 ?

1 1? L

. ? a 1 ? a 2 (当 n ? 1 时,不等式也成立)
a1 ? a 2 ? ? ? a k k a 1 ? a 2 ? ? ? a k ?1 k ?1

②因为 A k ?

a 1 ? a 2 ?? ? a k k

,所以 A k ? A k ? 1 ?

?

1 k ( k ? 1)

? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a k ? ka k ? 1 ) ?

1 k ( k ? 1)

( a1 ? a 2 ) ? 2 ( a 2 ? a 3 ) ? 3( a 3 ? a 4 ) ? ? ?

k ( a k ? a k ?1 ) ?

1 k ( k ? 1)

( a 1 ? a 2 ? 2 a 2 ? a 3 ? 3 a 3 ? a 4 ? ? ? k a k ? a k ? 1 ) .所以

?
k ?1

n

A k ? A k ? 1 ? A1 ? A 2 ? A 2 ? A 3 ? ? ? A n ? A n ? 1 ? a 1 ? a 2 ? (

1 1? 2

?

1 2?3

?? ?

1 n ( n ? 1)

)

? 2 a2 ? a3 ? (

1 2?3 1

?

1 3? 4

?? ?

1 n ( n ? 1) 1 n ?1

) ? 3 a3 ? a4 ? (

1 3? 4 2 n ?1

?

1 4?5

?? ?

1 n ( n ? 1)

)?? ?

n a n ? a n ?1 ?

n ( n ? 1)

? a 1 ? a 2 (1 ?

) ? a 2 ? a 3 (1 ?
1

) ? ? ? a n ? a n ? 1 ? (1 ?

n n ?1

)

? a 1 ? a 2 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? a n ?1 ?

1? L

a1 ? a 2 .

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