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数学(人教版)必修四:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课前预习学案 一、预习目标: 预习平面向量数量积的坐标表达式, 会进行数量积的运算。 了解向量的模、 夹角等公式。 二、预习内容: 1.平面向量数量积(内积)的坐标表示 2.引入向量的数量积的坐标表示,我们得到下面一些重要结论: (1)向量模的坐标表示: 能表示单位向量的模吗? (2)平面上两点间的距离公式:
<

br />向量 a 的起点和终点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2) AB=
(3)两向量的夹角公式 cos? = 3. 向量垂直的判定(坐标表示)

4.向量平行的判定(坐标表示)

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 学会用平面向量数量积的坐标表达式,会进行数量积的运算。掌握两个向量共线、垂直 的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 学习重难点:平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用 二、学习过程 (一)创设问题情景,引出新课 a 与 b 的数量积 的定义?⑵向量的运算有几种?应怎样计算?

(二)合作探究,精讲点拨 探究一:已知两个非零向量 a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用 a 与 b 的坐标表示数量积 a·b 呢? 2 2 a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i +x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j =x1x2+y1y2

教师:巡视辅导学生,解决遇到的困难,估计学生对正交单位基向量 i,j 的运算可能有 2 2 困难,点拨学生:i =1,j =1,i·j=0 探究二:探索发现向量的模的坐标表达式

若 a=(x,y),如何计算向量的模|a|呢?

若 A(x1,x2),B(x2,y2),如何计算向量 AB 的模两点 A、B 间的距离呢?

例 1、 如图, 以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB, 使?B = 90?, 求点 B 和向量 AB 的坐标.

变式:已知 a+b=2i-8j,a ? b= ? 8i+16j,则a? b

? ?

? ?? ?

?

?

??

探究三:向量夹角、垂直、坐标表示 设 a,b 都是非零向量, a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定 a⊥b 或计算 a 与 b 的夹角<a,b>呢?

1、向量夹角的坐标表示

2、a⊥b<=>

<=>x1x2+y1y2=0

3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0

例 2 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k), 且△ABC 的一个内角为直角, 求 k 值.

变式:已知, a ? (1,2),b ? (?3,2) 当 k 为何值时, (1) ka ? b与 , a ? 3b 垂直? (2) ka ? b与 a ? 3b 平行吗?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

? ?

?

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? ?

?

(三)反思总结

( 四 ) 当堂检测 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° )

B.30°

C.135°

D.45° )

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为

? ,那么向量 m=a-4b 的模为( 3
D.12

A.2

B.2 3

C.6

3、a=(5,-7),b=(-6,-4),求 a 与 b 的 数量积

4、设 a=(2,1),b=(1,3),求 a·b 及 a 与 b 的夹角

5、已知向量 a=(-2,-1),b=(λ ,1)若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 取值范围是多少?

课后练习与提高

?2 ? ? ? ? 1.已知 a ? (?4,3), b ? (5,6) 则 3 a ? 4a ? b= (
A.23 B.57 C.63 D.83



? ? ? ?? 2.已知 a ? 3,4 ? ,b= ? ?5,12 ? 则 a与 b 夹角的余弦为( ) 63 13 A. B. 65 C. D. 13 65 5 ? ? ? ? ? ? 3. a= ? 2,3? ,b=( ? 2,4), 则 a+b ? a-b = __________。 ? ? ? ? 4.已知 a= ? 2,1? ,b= ? ?, 3? 且a ? b 则 ?= __________。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2a ? 3b ? a+2b = _______ 5. a=( ? 4,7);b=(5,2) 则 a ? b= _______ a =_____ ? 6.与 a= ? 3,4 ? 垂直的单位向量是__________ 4 3 4 3 4 3 4 3 ( , ) C.( , ? )或(- ,) A. B.(? ? ) 5, 5 5 5 5 5 5 5 4 3 4 3 ( , )或(- ,- ) D. 5 5 5 5 ? ? ? 7. a=(2,3),b=(-3,5) 则 a在b 方向上的投影为_________

?

?? ?

?

??

?

8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以 ? ABC 为( A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.不等边三角形

)

9.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形 ABCD 为( A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形



10.已知点 A(1,2) ,B(4,-1),问在 y 轴上找点 C,使∠ABC=90?若不能,说明理由; 若能,求 C 坐标。


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