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浙江省瑞安十校2013届高三上学期期末联考数学(理)试题


2012 学年第一学期瑞安十校高三期末联考试卷 数学(理科)
2013.01.17 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 150 分, 共 考试时间 120 分钟. 考 试时不能使用计算器,选择题、填空题答案填写在答题纸上. ..

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四处备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 M ? { y y ? x 2 }, N ? { y y ? 2 x , x ? 0} ,则 M ? N ? ( ▲ A. R B. ?0,?? ? C. ? 0,1? ) D. ? 0,1?

2.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是 ( ▲ ) A.若 l∥α ,m?α ,则 l∥m C.若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α B.若 l∥α ,m∥α ,则 l∥m D.若 l⊥m,m?α ,则 l⊥α

?x ? y ? 3 ? 0 ? 3.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最 ?y ?1 ?
大值为 ( ▲ ) A. ?1 C. 3 B. 0 D. 4 )

4.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为( ▲ A. 6 B. 24 C. 120 D. 720

?? ? 5.已知函数 f ? x ? ? 2cos ? 2 x ? ? ,下面四个结论中正确的是 6? ?
( ▲ ) A.函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? B.函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 第 5 题图 对称

?
6

C.函数 f ? x ? 的图象是由 y ? 2cos 2 x 的图象向左平移

?? ? D.函数 f ? x ? ? 是奇函数 6? ?
5 5

? 个单位得到 6

6.若 ? x ? 1? ? a5 ? x ? 1? ? ? ? ? ? a1 ? x ? 1? ? a0 ,则 a1 的值为( ▲ ) A.80 B.40 C.20 D.10

7.设 F1 , F2 分别是椭圆

? a2 ? x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点, 已知点 P ? , 3b ? (其 2 a b ? c ?

中 c 为椭圆的半焦距) ,若线段 PF1 的中垂线恰好过点 F2 ,则椭圆离心率的值为( ▲ )

A.

3 3

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 2

8.数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an ?1 ? an 2 ? an ,则 的值等于( ▲ ) A.1 B.2 C.

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? a2011 a2012

1 2011
)

D.

1 2012

9.下列函数中,在 (0,1) 上有零点的函数是( ▲ A. f ( x) ? e x ? x ? 1 C. f ( x) ? sin x x 10.若关于 x 的不等式 a ? A.5 B. f ( x) ? x ln x

D. f ( x) ? sin x ? ln x
2

3 2 x ? 3x ? 4 ? b 的解集恰好是 ? a, b ? ,则 a ? b 的值为( ▲ ) 4 16 8 B.4 C. D. 3 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 7 分,共 28 分.把答案填在答题卷相应的横线上. 11. i 是虚数单位,

2 = 1? i



. ks5u

1 12.已知 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 4 x ,则 f (? ) ? 2 13.设 x, y 为正实数,若 x ? y ? 8 ? xy ,则 xy 的最小值是 ▲

▲ .

.

14.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是 边长为 2 的正三角形,侧视图是直角三角形,则此几何 体的体积为 ▲ .
3

5 3

1

1

15.已知平面向量 ? , ? (? ? ? ) 满足 ? ? 2 ,且 ? 与

主视图

侧视图

第 14 题图
俯视图

? ? ? 的夹角为 120°, t ? R ,则 (1 ? t )? ? t ? 的
取值范围是 ▲ .

16.若点 P 在曲线 C1 :
2

x2 y 2 2 ? ? 1 上,点 Q 在曲线 C2 : ? x ? 5 ? ? y 2 ? 1 上,点 R 在曲线 16 9
▲ .

C3 : ? x ? 5 ? ? y 2 ? 1 上,则 PQ ? PR 的最大值是

? lg x , x?0 17. 设定义域为 R 的函数 f ? x ? ? ? 2 ,则关于 x 的方程 2 f 2 ? x ? ? 2bf ? x ? ? 1 ? 0 ?? x ? 2 x , x ? 0
有 8 个不同实数解,则 b 的取值范围是 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= sinB= 5 cos C. (Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a ?

2 , 3

2 ,求△ABC 的面积.

19. (本小题满分 14 分)已知等差数列 {an } 是递增数列,且满足 a3 ? a5 ? 16, a2 ? a6 ? 10. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ( a n ? 7) ?

2n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 3

P

20. (本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面 M D Q

PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点, PA=PD=2,BC=

1 AD=1,CD= 3 . 2
A

C B (第 20 题图)

(Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)设 PM=t MC,若二面角 M-BQ-C 的平面角的 大小为 30°,试确定 t 的值.

21. (本小题满分 15 分)如图,过点 D(0, ?2) 作抛物线

x 2 ? 2 py( p ? 0) 的切线 l ,切点 A 在第二象限.
(Ⅰ)求切点 A 的纵坐标;

x2 y2 3 (Ⅱ)若离心率为 的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 恰好经 2 a b
过切点 A,设切线 l 交椭圆的另一点为 B,记切线 l ,OA,OB 的 斜率分别为 k , k1 , k2 , 若k1 ? 2k2 ? 4k ,求椭圆方程.

22.(本小题满分 14 分) 设函数 f (x)=ln x+ (Ⅰ) 求实数 a 的取值范围;

a x ?1

在 (0,

1 e

) 内有极值.

(Ⅱ) 若 x1∈(0,1),x2∈(1,+ ? ).求证:f (x2)-f (x1)>e+2- 注:e 是自然对数的底数.

1 e



2012 学年第一学期瑞安十校高三期末联考试卷 数学(理科)答案与评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C C C D A 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分) 11. 1 ? i 15. ? 3,? ? + 12. ?2 13. 16 7 D 8 A 9 D 10 B

14.

8 3 3

?

16. 10

? 3 ? 17. ? ? , ? 2 ? 2 ? ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 0 ? A ? ? , cos A ?

5 2 2 ,得 sin A ? 1 ? cos A ? ,…………… 2 分 3 3

又 5 cos C ? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?
所以 tan C ?

5 2 cos C ? sin C , 3 3

……………… 5 分

5. 5 ,得 sin C ?
5 6 5 6
, , cos C ?

……………… 7 分

(Ⅱ)由 tan C ?

1 6



于是 sin B ? 由a ?

5 cos C ?

……………… 10 分

2 及正弦定理

a c ,得 c ? 3 , ? sin A sin C
1 5 ac sin B ? . 2 2

……………… 12 分

设 ?ABC 的面积为 S ,则 S ? 19. (本小题满分 14 分)

……………… 14 分

解: (Ⅰ)根据题意: a2 ? a6 ? 10 ? a3 ? a5 ,又 a3 ? a5 ? 16 ,
2 所以 a 3 , a5 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,且 a 3 ? a 5 ,

解得 a5 ? 8, a3 ? 2 ,所以 d ? 3 , a n ? 3n ? 7 .

………………………… 6 分

(Ⅱ) bn ? ( a n ? 7) ?

2n ? n ? 2 n ,则 3
① ②

Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n

2Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? (n ? 2) ? 2 n ?1 ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1
①一②,得 ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2 3 n ?1

? 2 n ? n ? 2 n ?1 ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 , 1? 2

所以 Tn ? n ? 2

n ?1

? 2 n ?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 .

…………………………………… 14 分

20. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD.∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ………… 7 分 另证:AD // BC,BC= ∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ; Q M D C N B x 第 21 题图 y ………………… 7 分 z P

1 AD,Q 为 AD 的中点, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形, 2

?

Q(0,0,0) , P(0, 0, 3) ,
B(0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) . ???? ? ???? ?

A

设 M ( x, y, z) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) , ∵ PM ? tMC ,

???? ?

???? ?

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ?

…………………… 11 分

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0, t ) .

??? ?

???? ?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

??

? ?? n?m t 3 ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, cos30 ? ? ?? ? , ? 2 2 n m 3? 0?t
?

∴ t ? 3. 21. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)设切点 A( x0 , y 0 ) ,且 y 0 ? 由切线 l 的斜率为 k ? 得 l 的方程为 y ?
2 2

……………………… 15 分

x0 , 2p

x0 , p
2

x0 x x ? 0 ,又点 D(0,?2) p 2p

在 l 上,?

x0 ? 2, 2p
……………………… 5 分

即点 A 的纵坐标 y 0 ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ) 得 A(?2 p ,2) ,切线斜率 k ? ?

2 p



设 B( x1 , y1 ) ,切线方程为 y ? kx ? 2 ,由 e ? 所以椭圆方程为 由?

3 2 2 ,得 a ? 4b , 2

………… 7 分 ………… 9 分

x2 y2 ? 2 ? 1 ,且过 A(?2 p ,2) ,? b 2 ? p ? 4 4b 2 b

?y ? kx? 2 ? x ? 4 y ? 4b
2 2 2

? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16 k x ? 16 ? 4b 2 ? 0 ,

16 k ? ? x 0 ? x1 ? 1 ? 4k 2 ? ?? , 2 ? x x ? 16 ? 4b ? 0 1 1 ? 4k 2 ?

………………… 11 分

∴ k1 ? 2k 2 ?

y 0 2 y1 x1 y 0 ? 2 x0 y1 x1 (kx0 ? 2) ? 2 x0 (kx1 ? 2) 2 x ? 4 x0 ? ? ? ? 3k ? 1 x0 x1 x0 x1 x0 x1 x0 x1

32 k ?4 p 32 k ? 4 p (1 ? 4k 2 ) 2( x1 ? x0 ) ? 2 x0 1 ? 4k 2 ? 3k ? ? 3k ? ? 3k ? ? 4k x0 x1 16 ? 4b 2 16 ? 4b 2 1 ? 4k 2 2 2 2 2 将k ? ? , b ? p ? 4 代入得: p ? 32 ,所以 b ? 36, a ? 144 , p
∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 144 36

……………… 15 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 0 ? x ? 1或 x ? 1 时, f ?( x) ?

1 a ( x ? 1) 2 ? ax x 2 ? (a ? 2) x ? 1 . ? ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

1 由 f ?( x) ? 0 在 (0, ) 内有解.令 g ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? ? )( x ? ? ) , e 1 1 1 a?2 不妨设 0 ? ? ? ,则 ? ? e ,所以 g (0) ? 1 ? 0 , g ( ) ? 2 ? ?1 ? 0 , e e e e 1 解得 a ? e ? ? 2 . ………………… 6 分 e
(Ⅱ)由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? ? 或 x ? ? ,由 f ?( x) ? 0 ? ? ? x ? 1, ,或 1 ? x ? ? , 得 f ( x) 在 (0,? ) 内递增,在 (? ,1) 内递减,在 (1, ? ) 内递减,在 (? , ??) 递增. 由 x1 ? (0,1) ,得 f ( x1 ) ? f (? ) ? ln ? ? 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? ) ? f (? ) , 因为 ? ? ? ? 1 , ? ? ? ? a ? 2 , 所以 f (? ) ? f (? ) ? ln ? ? ln

a a ,由 x2 ? (1, ??) 得 f ( x2 ) ? f ( ? ) ? ln ? ? , ? ?1 ? ?1

1

?

? a(

1 1 ? ?? ? ) ? 2ln ? ? a ? ? ?1 ? ?1 ( ? ? 1)(? ? 1)

1 ? 2ln ? ? a ?

?

?? ? 2ln ? ? ? ?

1

2 ? (a ? 2)
1

?



记 h( ? ) ? 2ln ? ? ? ?

?

, ( ? ? e ),则 h?( ? ) ?

2

?

?1?

1

?2

?0,

1 h( ? ) 在(0,+∞)上单调递增,所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? h(? ) ? h(e) ? 2 ? e ? . …… 14 分 e


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