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4.1.2圆的一般方程


§4.1.2 圆的一般方程

引入新课
将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开, 可得:x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 它是关于x、y的二元二次方程.
如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程 X2+y2+Dx+Ey+F=0 ,这说明圆的方程还可 以表示成另外一种非标准方程的形式. 能不能说

方程X2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲 线一定是圆呢?

任何一个圆的方程都可以写成X2+y2+Dx+Ey+F=0的

形式,反过来,当D2+E2-4F>0时,方程表示一个圆.
它叫做圆的一般方程.

(1)圆的一般方程和Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 比较,在形式上有什么突出的特点?

(2)要求出圆的一般方程,必须先求出什么? 可用什么方法求?

例题分析
例4、求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2) 的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.

例5、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 1 2 2 在圆(x+1) +y =4上运动,求线段AB的中点M的轨 2 迹方程,

小结
(1)任何一个圆的方程都可以写X2+y2+Dx+Ey+F=0的 形式,但是方程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆,
D E ( ? ,? ) 2 2

只有在D2+E2-4F>0时,方程表示圆心为
为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆。
2

,半径

(2)利用待定系数法求圆的方程,对于已知条件容易求 出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题,一般采 用圆的标准方程,否则用圆的一般方程。

圆的参数方程

y

? x ? r cos?, P (?为参数) ? r θ y ? r sin ? . ?
O

x

怎样得到圆心在O1(a,b),半径为r的圆的 参数方程呢?
y

? x ? a ? r cos? , (?为参数) ? ? y ? b ? r sin ?
v ? ( a, b)
x

o

参数方程的定义: 一般地,在取定的坐标系中,如果曲线 上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的 函数,即 ? x ? f (t ),
? ? y ? g (t ), ③

并且对于t的每一个允许值,由方程组③所确定的 点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组③就叫做 这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数 叫做参变数,简称参数.

对于参数方程,要注意以下几点:
(1)x,y都是同一变量t的函数;

(2)该函数对曲线上任意一点都适合; (3)对于t的每一个允许值, x、y都有唯一的值
与之对应; 81页练习1、2 (4)参数t的取值范围要受限制,它不能使x,y的取 值范围扩大,也不能使x,y的取值范围缩小; (5)学会将简单的曲线参数方程与普通方程互化.

互化例子

例题分析
例6、如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0),当点P在 圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?
y

θ o

x

81页练习3

参数法解题

sin ? ? 1 1 求函数f (? ) ? 的最大值和最小值。 cos ? ? 2


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