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2015高考数学导数与积分


专题三
一、高考考点:

导数与积分

1. 了 解 导 数 概 念 的 实 际 背 景 , 理 解 导 数 的 几 何 意 义 。 能 根 据 导 数 的 定 义 求 函 数

y ? C (C为常数) , y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ?

1 , y ? x的导数 x

2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数, 能求简单的复合函 数。 3.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念,了解微积分基本定 理的含义。

二、突破方法
1.导数的有关概念 导数的定义:设 x 0 是函数 y ? f ( x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,则函数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 ?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ; 比 值
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 称为函数 ? ?x ?x
?x?0

y ? f ( x) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的平均变化率;如果极限 lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存 ? lim ? x ? 0 ?x ?x

在, 则称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数, 记作 f ' ( x0 ) 或 y ' | x? x0 ,即 f ' ( x0 ) = lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?x?0 ?x

?x?0

导函数:如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,其导数值在(a,b)内构成一个 新的函数,叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记做 f ??x ?或y? 。 注:如果函数 f(x)在 x ? x0 处可导,那么函数 y=f(x)在 x ? x0 处连续。 (可导必连续,连续 不一定可导。 )

例:设 f ?x ?在x ? x0处可导,且 lim

?x ?0

f ?x0 ? 3?x ? ? f ?x0 ? ? 1, 则f ??x0 ? ? _______ . ?x

? ,求 f ??0? 练: 已知 f ?x ? ? x?x ? 1??x ? 2??x ? 3???x ? 2006

? ?? 例:定义在? 0, ?上的函数f ? x ?,f ?? x ?是它的导函数,且恒有 f ? x ? ? f ?? x ? ? tan x成立, ? 2? ?。 则? ?? ? ?? ? A. 3 f ? ? ? 2 f ? ? ?4? ?3? ?? ? C. 2 f ? ? ? ?6? ?? ? f? ? ?4? ?? ? B. f ?1? ? 2 f ? ? sin 1 ?6? ?? ? D. 3 f ? ? ? ?6? ?? ? f? ? ?3?

例:设函数f ( x)在R上的导函数为 f ??x ?, 且2 f ?x ? ? xf ??x ? ? 0, 则下面的不等式在 R上 恒成立的是( A. f ( x) ? 0 ). B. f ( x) ? 0 C. f ( x) ? x D. f ( x) ? x

?0, 练:已知f ( x)定义域为 ? ??,f ??x ?为f ?x ?的导函数,且满足 f ?x ? ? ? xf ??x ?, 则不
等式f ?x ? 1? ? ?x ? 1? f x 2 ? 1 的解集是__________ __ .

?

?

? 练:已知f1 ?x ? ? sin x ? cos x,f n?1 ?x ?是f n ?x ?的导函数,即 f 2 ?x ? ? f1 ?x ?, ?, ? f n?1 ?x ? ? f n ?x ?,n ? N ?,则f 2014 ?x ? ? ________ .

2. 导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点
( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率,也就是说,曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是

f ' ( x0 ) ,切线方程为 y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x 0 ).

1 例:已知一组曲线 y ? ax3 ? bx ? 1, 其中a为2,4,6,8中的任意一个, b为1,3,5,7中的任 3 意一个。现从这些曲线 中任取两条,它们在 x ? 1处的切线相互平行的组 数为 ____.

例:设L为曲线C:y ? (1)求切线方程;

ln x 在点( 1,0)处的切线。 x

(2)证明:除切点 (1,0)外,曲线C在直线L的下方。

例:对正整数 n, 设曲线y ? x n ?1 ? x ?在x ? 2处的切线与y轴的交点的纵坐标为 an , 则 ? a ? 数列? n ?的前n项和为Sn ? _________ . ? n ? 1?

曲线y ? f ?x ?上任一点的切线的倾斜 角?的取值范围是_______ .

练:如果f ??x ?是二次函数,且 f ??x ?的图像开口向上,顶点 坐标为1,3 ,那么

? ?

练:设函数f ( x) ? x 2 ? ax ? b, g ( x) ? e x (cx ? d ).若曲线y ? f ( x)和曲线y ? g ( x)都过点 P(0,2),且在点P处有相同的切线 y ? 4 x ? 2. (1)求a, b, c, d的值; (2)若x ? ?2时,f ( x) ? kg ( x), 求k的取值范围。

3.几种常见的函数导数:
C ' ? 0 ( C 为常数)

(sin x) ' ? cos x

(arcsin x) ' ?

1 1? x 2

( x n ) ' ? nxn?1 ( n ? R )

(cos x) ' ? ? sin x

(arccos x) ' ? ?

1 1? x 2

(ln x) ' ?

1 x

(loga x) ' ?

1 loga e x

( a r c txa ) 'n?

1 x ?1
1 x ?1
2

2

(e x ) ' ? e x
4.求导数的四则运算法则:

(a x ) ' ? a x ln a

(arccot x) ' ? ?

(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

复合函数的求导法则: f x ' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x 注:① u, v 必须是可导函数. ②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、 积、商不一定不可导.

例:设函数f ? x ? ?

?1?求f ?x ?的单调区间; ?2?求f ?x ?的取值范围;
1

1 ?x ? ?1且x ? 0? ?x ? 1? ln?x ? 1?

?3?已知2 x ?1 ? ?x ? 1?m 对任意x ? ?? 1,0?恒成立,求实数m的取值范围。

例:已知函数g ( x) ? m ?1 ? ln x?m ? R ?. x ?1?求?的值;

1 ? ln x在?1, ? ? ?上为增函数,且 ? ? ?0, ? ?, f ?x ? ? m x ? x sin ?

?2?若f ?x ? ? g ?x ?在?1, ? ? ?上为单调函数,求 m的取值范围; ?3?设h( x) ? 2e , 若在?1, e?上至少存在一个x0 , 使得f ?x0 ? ? g ?x0 ? ? h?x0 ?成立, 求m的取值
x 范围。

练:已知函数 f ?x ? ? ln x ?

?1?求实数a的取值范围; ?2?若x ? ?0,1?, y ? ?1,???, 求证: 2 f ?x ? ? 4 ln 2 ? 2 f ? y ? ? 3.

a 在?2, ? ? ?内有极值. x ?1

5.定积分 (1)概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间[a,b]等分 成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,…n)作和式 In= (其中△x i)△x

? f (ξ
i=1

n

为小区间长度) , 把 n→∞即△x→0 时, 和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,

b]上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx = lim ? f (ξi)△x。
b a
n ?? i ?1

n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 (2)定积分的性质 ① ② ③

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

; f ( x)dx (k 为常数)
b b

? ?

b

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a c

c

b

④利用函数的奇偶性求积分。 (3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b) ,x 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积

S ? ? f ( x)dx 。
a

b

如果图形由曲线 y1=f1(x), y2=f2(x) (不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) , 及直线 x=a,x=b(a<b)围成,那么所求图形的面积 S=S 曲边梯
形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC=

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

m (4)基本的积分公式: 0 dx =C; x dx =

?

?

1 x m ?1 +C(m m ?1

∈Q, m≠-1) ;

1 ax x x x e dx a dx e dx = ln + C ; = + C ; = +C;? cos xdx =sinx x ? ? ?x ln a

+C; sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) 。 (5)微积分基本定理 一 般 地 , 如 果
b a

?

f(x) 是 区 间 [a,b] 上 的 连 续 函 数 , 并 且

F ??x ? ? f ?x ?, 那么? f ?x ?dx ? F ?b ? ? F ?a ?, 这个结论叫做微积分基 本定理, 又叫牛顿- 莱布尼茨公式。

例:已知点P再曲线y ? x 2 ? 1上,它的横坐标为 a?a ? 0?,过点P作曲线y ? x 2的曲线.

?1?求切线的方程; ?2?求证:由上述切线与 y ? x 2所围成图形的面积 S与a无关.

练: ? ( x3 ? tan x ? x 2 sin x)dx = (
?1

1

)
1

练:若f ( x) ? x 2 ? 2? f ?x ?dx, 则? f ?x ?dx ? _________ 。
1 0 0


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