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2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试)及答案


2010 年全国高中数学联赛 一
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ?



x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是

. .

2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是

/>
3. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标 均为整数的点)的个数是 .

4. 已 知 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中

a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? ,
则? ? ? ? .

5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8, 则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点, 二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则 sin ? ? . .

8. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 二、解答题(本题满分 56 分)

9. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值.

1

10.(20 分)已知抛物线 y 2 ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x 2 且 x1 ? x2 ? 4 . 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.

11.(20 分)证明:方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增正整数数列
3

{an } ,使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

2




A

1. (40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点 (不是边 BC 的中点) , D 是线段 AK 延长线上一点, 直线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M.求证: 若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共圆.
B

O

EK D

C

P

Q

N M

3

2.

( 40 分 ) 设 k 是 给 定 的 正 整 数 , r ? k ?

1 . 记 f ( 1( ) r ) ? 2

f(? r) ? r , r ? ? ?

f (l ) (r ) ? f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 .证明:存在正整数 m,使得 f ( m ) (r ) 为一个整数.这里, ? ? x? ? 表示不
小于实数 x 的最小整数,例如: ? ? ? 1 , ? ?1? ? ? 1. 2

?1? ? ?

4

3. (50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ?, n ,记

Ak ?
求证:

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ? , n . k

?a ? ? A
k ?1 k k ?1

n

n

k

?

n ?1 . 2

5

4. (50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A 1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中 的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至 少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?

6

解 答
[?3, 3]
提示:易知 f ( x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f ( x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知

1.

f ( x) 的值域为 [?3, 3] .
2. ?

3 ? a ? 12 2

提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即

g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .
由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , (t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 ,

? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即

a(t 2 ? t ) ? ?3 .
当 t ? 0,?1 时(1)总成立;
2 对 0 ? t ? 1,0 ? t ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,?

(1)

3 1 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 2 4

3.

9800 提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双曲线

右半支于 Ak ,交直线 x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区 域内部整点的个数为

? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 .
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 4851 ? 98 ? 9800 . 4.
3

3 ? 3 提示 :设 {an } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则
3 ? d ? q,
(1) (2)

3(3 ? 4d ) ? q 2 ,
2

(1)代入(2)得 9 ? 12d ? d ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 . 从而有 3 ? 6(n ? 1) ? log? 9 一切正整数 n 都成立. 从而
n?1

即 6n ? 3 ? (n ? 1) log? 9 ? ? 对 ? ? 对一切正整数 n 都成立,

log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? ,

7

求得

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .
1 4
提示: 令 a x ? y, 则原函数化为 g ( y) ? y 2 ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 ( ? ,+?) 上是递增的.

5. ?

3 2

当 0 ? a ? 1 时, y ? [a, a ?1 ] ,

g ( y ) max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ?
所以

1 , 2

1 1 1 g ( y ) min ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4


a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,

g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,
所以

1 g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ? . 4 1 综上 f ( x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ? . 4 12 21 7 ? 6. 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 ,从而先投掷人的获胜概率 17 36 12


7 5 7 5 7 7 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? ? ? 12 12 12 12 12 12

1 12 . ? 25 17 1? 144

7.

10 提示:解法一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点, OC 所在 4

直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则

B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,

BA , 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) . 1 ? (?2,0,2), BP ? (?1
设分别与平面 BA 1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量 是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则
z A1 C1 B1 P A O C B x
8

? ?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0,

y

由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) ,所以 m ? n ? m ? n cos ? ,即

?? ?

?? ?

3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 10 . 4

6 . 4

所以 sin ? ?

解法二:如图, PC ? PC1 , PA 1 ? PB . 设

A1 C1


A1 B



AB1







O,

E B1 O A P


OA1 ? OB, OA ? OB1 , A1B ? AB1 . 因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 , 从 而 AB1 ? 平
PA1 B .
过 O 在平面 PA 1 B 上作 OE ? A 1 P ,垂足为 E .

C B

连 结 B1 E , 则 ?B1 EO 为 二 面 角 B ? A1 P ? B1 的 平 面 角 . 设 AA1 ? 2 , 则 易 求 得

PB ? PA 2, PO ? 3 . 1 ? 5, A 1O ? B1O ?
在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE ,即

2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ?
6 4 5 . ? 5 5
B1O 2 10 . ? ? B1 E 4 5 4 5

6 5

.

又 B1O ?

2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?
sin ? ? sin ?B1 EO ?

8.

2 336675 提示:首先易知 x ? y ? z ? 2010的正整数解的个数为 C2009 ? 2009?1004.

把 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x, y , z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y , z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y , z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知

9

1 ? 3 ? 1003 ? 6k ? 2009 ? 1004 ,
所以

6k ? 2009 ? 1004 ? 3 ? 1003 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2004 ,


k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 .
从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为

1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .

9. 解法一:

? f ?(0) ? c, ? 1 3 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 由 ? ? f ?( ) ? a ? b ? c, 4 ? 2 ? ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c



1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2
所以

1 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2 1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) ? 8 , 2
所以 a ? 为

8 8 3 2 . 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值 3 3

8 . 3
解法二: f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c .
2

设 g ( x) ? f ?( x) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g ( x) ? 2 .

设 z ? 2 x ? 1 ,则 x ?

z ?1 , ?1 ? z ? 1 . 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4

容 易 知 道 当 ? 1 ? z ? 1 时 , 0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2 . 从 而 当 ? 1 ? z ? 1 时 ,

0?

h( z ) ? h( ? z ) ?2 , 即 2

3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2 , 4 4 3a 3a 8 ? b ? c ? 1 ? 0 , z 2 ? 2 ,由 0 ? z 2 ? 1 知 a ? . 从而 3 4 4 8 8 3 2 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . 3 3 0?

10

10. 解法一:设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 ? 2, y 0 ? 1 , 2 2

k AB ?

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 . ? 22 ? ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6

线段 AB 的垂直平分线的方程是

y ? y0 ? ?

y0 ( x ? 2) . 3

(1)

易知 x ? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点

C 坐标为 (5,0) .
由(1)知直线 AB 的方程为 y ? y 0 ?

3 ( x ? 2) ,即 y0
(2)

x?
2

y0 ( y ? y0 ) ? 2 . 3

(2)代入 y ? 6 x 得 y 2 ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即
2 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y 0 ? 12 ? 0 .

(3)

依题意, y1 , y2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y 2 ,所以
2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
y

AB ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

A

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3
O

B

? (1 ?

2 y0 )[(y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9

C(5,0)

x

? (1 ?
?

2 y0 2 2 )(4 y0 ? 4(2 y0 ? 12)) 9

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) . 3
11

定点 C (5,0) 到线段 AB 的距离
2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0 .

S ?ABC ?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y0 2 3

?

1 1 2 2 2 (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 ) 3 2
2 2 2 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 1 1 9 ? y0 ( )3 3 2 3

?
?

14 7 . 3

2 2 当且仅当 9 ? y0 ,即 y0 ? ? 5 , A( ? 24 ? 2 y0

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值为

14 7. 3

解法二:同解法一,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐标为 (5,0) .

5 1 2 设 x1 ? t , x2 ? t , t1 ? t 2 , t ? t ? 4 ,则 S ?ABC ? t1 2 2 t2
2 1 2 2 2 1 2 2

0 1 6t1 1 的绝对值, 6t 2 1

1 2 2 S? 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 ABC ? ( (5 6t1 ? 2 3 ? (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2 3 ? (4 ? 2t1t 2 )( t1t 2 ? 5)( t1t 2 ? 5) 2 3 14 ? ( )3 , 2 3
所 以 S ?ABC ?

14 2 7 , 当 且 仅 当 (t1 ? t 2 ) 2 ? t1t 2 ? 5 且 t12 ? t 2 ? 4 , 即 t1 ? 3
, A(

7? 5 6

,

t2 ? ?

7? 5 6

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
12

所以, ?ABC 面积的最大值是

14 7. 3

11. 令 f ( x) ? 2 x 3 ? 5x ? 2 , 则 f ?( x) ? 6 x 2 ? 5 ? 0 , 所 以 f ( x) 是 严 格 递 增 的 . 又

1 1 3 f (0) ? ?2 ? 0, f ( ) ? ? 0 ,故 f ( x) 有唯一实数根 r ? (0, ) . 2 2 4
所以

2r 3 ? 5r ? 2 ? 0 ,
2 r ? ? r ? r 4 ? r 7 ? r10 ? ? . 3 5 1? r

故数列 an ? 3n ? 2(n ? 1,2,?) 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 和 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?满足

r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ? ?
去掉上面等式两边相同的项,有

2 , 5

r s1 ? r s2 ? r s3 ? ? ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ? ,
这里 s1 ?s 2 ?s 3 ? ?, t1 ? t 2 ? t 3 ? ? ,所有的 s i 与 t j 都是不同的. 不妨设 s1 ? t1 ,则

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ? ? r t1 ? r t2 ? ? ,

1 ? r t1 ? s1 ? r t2 ? s1 ? ? ? r ? r 2 ? ? ?
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

1 ?1 ? 1? r

1 1 1? 2

? 1 ? 1,




A

1. 用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q,连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P,连接 PQ. 因为 PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)
2

O

? ? PO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
同理
P

B

EK D

C

Q

N M

13

QK 2 ? ? QO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
所以

PO2 ? PK 2 ? QO2 ? QK 2 ,

故 OK ⊥ PQ . 由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

AQ AP . ? QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得



NB DE AQ ? ? ? 1, BD EA QN



MC DE AP ? ? ? 1. ③ CD EA PM NB MC ND MD ? ? 由①, ②, ③可得 , 所以 , 故△DMN ∽ △DCB, 于是 ?DMN ? ?DCB , BD CD BD DC
所以 BC∥MN,故 OK⊥BC,即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D, C 四点共圆. 注 1:“ PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使得
2

PK ? KF ? AK ? KE ,
则 P,E,F,A 四点共圆,故



?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,
从而 E,C,F,K 四点共圆,于是

PK ? PF ? PE ? PC ,
⑤-④,得



PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) .
注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.
A

O F B EK D P C

Q

N M

2. 记 v2 (n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m ? v2 (k ) ? 1 时, f

( m)

(r ) 为整数.

14

下面我们对 v2 (k ) ? v 用数学归纳法. 当 v ? 0 时,k 为奇数, k ? 1 为偶数,此时

1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ?k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 2?? 2? ? 2? ?
为整数. 假设命题对 v ? 1(v ? 1) 成立. 对于 v ? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式

k ? 2v ? ?v?1 ? 2v?1 ? ?v?2 ? 2v?2 ? ?,
这里, ?i ? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, ? . 于是

1 ?? 1 ? ? 1 ? ? f ( r )? ? k? ?? k? ? ?? k ? ?? k ? 1 ? 2?? 2? ? 2 ? ?
1 k ? ? k2 ? k 2 2 1 ? ? 2v ?1 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22v ? ? 2 1 ? k? ? , ① 2 ?
这里

k ? ? 2v?1 ? (?v?1 ?1) ? 2v ? (?v?1 ? ?v?2 ) ? 2v?1 ? ?? 22v ? ? .
显然 k ? 中所含的 2 的幂次为 v ? 1 .故由归纳假设知, r ? ? k ? ? 由①知, f
( v ?1)

1 经过 f 的 v 次迭代得到整数, 2

(r ) 是一个整数,这就完成了归纳证明.

3. 由 0 ? ak ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有 0 ?

? ai ? k ,
i ?1

k

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y ? max ?x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai n i ?k ?1 ? n k ? i ?1 ? 1 n ?1 1? k a ? ? ? ? ai ? i ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1 ?1 1? k ? ? ? ? ? ai ? ? k n ? i ?1 ?
15

?1 n ? max ? ? ai , ? n i ?k ?1

?1 ?1 1? ? ? max ? (n ? k ), ? ? ? k ? ?k n? ? ?n
? 1?
n n

k , n
k



?a ? ? A
k ?1 k k ?1

? nAn ? ? Ak
k ?1

n

?

? ? An ? Ak ? ? ? An ? Ak
k ?1 k ?1

n ?1

n ?1

n ?1 ? k ? n ?1 . ? ? ?1 ? ? ? 2 n? k ?1 ?

4.

对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边

上标上 a,如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对于给定的点 A 1 上的 设置 (共有 4 种) , 按照边上的字母可以依次确定点 A2 , A3 , ?, An 上的设置. 为了使得最终回到 A 1时 的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数 等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶数条的方法数的 4 倍. 设标有 a 的边有 2 i 条, 0 ? i ? ? ? ,标有 b 的边有 2 j 条, 0 ? j ? ? 2

?n? ? ?

? n ? 2i ? .选取 2 i 条边标 ? 2 ? ?

2i 2j 记 a 的有 Cn 种方法,在余下的边中取出 2 j 条边标记 b 的有 Cn ? 2i 种方法,其余的边标记 c.由乘 2i 2j 法原理,此时共有 Cn Cn ? 2i 种标记方法.对 i,j 求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为
?n? ?2? ? ? i ?0 ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? Cn ? Cn ? 2 i ? . j ?0 ? ? ? ?

4?
0 这里我们约定 C0 ? 1.



当 n 为奇数时, n ? 2 i ? 0 ,此时
? n ? 2i ? ? 2 ? ? ? j ?0

?C

2j n ? 2i

? 2n ?2i ?1 .



代入①式中,得

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 2i 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 C C ? 4 C 2 ? 2 ? ? ? Cn2i 2n?2i ? ? ? n ? n ? n ? 2i ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ?

16

k n?k k n ?k ? ? Cn 2 ? ? Cn 2 (?1)k ? (2 ? 1)n ? (2 ? 1)n k ?0 k ?0

n

n

? 3n ? 1 .
当 n 为偶数时,若 i ?

n n ,则②式仍然成立;若 i ? ,则正 n 边形的所有边都标记 a,此时 2 2

只有一种标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

n? ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? ?2? 2 i n ? 2 i ?1 ? ?? ? Cn ? Cn ? 2 i ? ? 4 ? ? 1 ? ? ? Cn 2 j ?0 i ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?

2i n ? 2i ?1 ? 2 ? 4? ? Cn 2 ? ? 3n ? 3 . i ?0

?n? ? ? ?2?

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3 ? 1 种;当 n 为
n

偶数时有 3 ? 3 种.
n

17

2011 年全国高中数学联赛 一
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)
1. 设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } , 若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? {?1, 3, 5, 8} , 则集合 A ? 2.函数 f ( x) ?
2




x ?1 的值域为 x ?1

. . .

3.设 a , b 为正实数,

1 1 ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ? a b

4.如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是

5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目 都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 . (用数 字作答) 6. 在四面体 ABCD中, 已知 ?ADB? ?BDC? ?CDA? 60? , 则四面体 ABCD AD ? BD ? 3 , CD ? 2 , 的外接球的半径为 . 7.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, C 为抛物线上的一点, ?ACB ? 90? ,则点
C 的坐标为


n 200

8.已知 a n ? C

? 6
3

? ?

200 ? n

? 1 ? ? (n ? 1,2, ?,95) ,则数列 {a n } 中整数项的个数为 ?? ? ? ? 2?

n



二、解答题(本大题共 3 小题,共 56 分)
9. (16 分) 设函数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | , 实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (? 求 a , b 的值. 10. (20 分)已知数列 {a n } 满足: a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 (n ? N * ) . a n ? 2t n ? 1

b ?1 ) ,f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 , b?2

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 a n ?1 与 a n 的大小. 11. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : 且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积.
1 3

x2 y 2 , ? ? 1 交于 A, B 两点(如图所示) 36 4

y P O A x B

18





1. {?3,0, 2,6}. 提示:显然,在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以
3(a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? (?1) ? 3 ? 5 ? 8 ? 15 ,

故 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8= -3,因此,集合 A ? {?3, 0, 2, 6} . 2. (??, ?

2 ? ? ? ] ? (1, ??) . 提示:设 x ? tan? ,? ? ? ? ,且 ? ? ,则 4 2 2 2
1 1 f ( x) ? cos? ? ? tan? ? 1 sin? ? cos? 1 2 sin( ??

?
4


)

1 2 ? ] ? (1,??) . 设 u ? 2 sin( ? ? ) ,则 ? 2 ? u ? 1 ,且 u ? 0 ,所以 f ( x) ? ? (??,? u 2 4

3.-1. 提示:由

1 1 ? ? 2 2 ,得 a ? b ? 2 2ab .又 a b

(a ? b) 2 ? 4ab ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 4(ab) 3 ? 4 ? 2 ab? (ab) 3 ? 8(ab) 2 ,


a ? b ? 2 2ab .



于是
a ? b ? 2 2ab .



? ?a ? 2 ? 1, ? ?a ? 2 ? 1, 再由不等式①中等号成立的条件,得 ab ? 1 .与②联立解得 ? 或? ? ?b ? 2 ? 1, ? ?b ? 2 ? 1,

故 loga b ? ?1 . 4. ?
? ? 5? ? , ? . 提示:不等式 ?4 4 ?

cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? )

等价于
1 1 sin3 ? ? sin5 ? ? cos3 ? ? cos5 ? . 7 7

又 f ( x) ? x 3 ?

1 5 x 是 (??,??) 上的增函数,所以 sin ? ? cos ? ,故 7
2k? ?

?
4

? ? ? 2k? ?

5? (k ?Z). 4

因为 ? ? [0,2? ) ,所以 ? 的取值范围是 ?

? ? 5? ? , ?. ?4 4 ?

19

5.15000. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:
1 ? 5! ? 3600种方案; (1)有一个项目有 3 人参加,共有 C 73 ? 5!?C 5

1 (2)有两个项目各有 2 人参加,共有 (C72 ? C52 ) ? 5!?C52 ? 5! ? 11400种方案; 2 所以满足题设要求的方案数为 3600?11400? 15000.

6. 3 . 提示:设四面体 ABCD的外接球球心为 O ,则 O 在过△ ABD的外心 N 且垂直于平面
ABD的垂线上.由题设知,△ ABD是正三角形,则点 N 为△ ABD的中心.设 P , M 分别为 AB , CD 的

中点,则 N 在 DP 上,且 ON ? DP , OM ? CD . 因 为 ?CDA? ?CDB ? ?ADB? 60? , 设 CD 与 平 面 A B D 所 成 角 为 ? , 可 求 得
cos? ? 1 3 , sin? ? 2 3


1 2 2 3 CD ? 1, DN ? ? DP ? ? ?3 ? 3 . 2 3 3 2 1 3

在△ DMN中, DM ? 由余弦定理得

C M O D N A P B

MN 2 ? 12 ? ( 3 ) 2 ? 2 ?1 ? 3 ?

?2,

故 MN ? 2 .四边形 DMON的外接圆的直径
MN OD ? ? sin? 2 2 3 ? 3.

故球 O 的半径 R ? 3 . 7. (1,?2) 或 (9,?6) .提示: 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C (t 2 ,2t ) ,由 ? 则 y1 ? y 2 ? 8 , y1 ? y 2 ? ?4 . 又 x1 ? 2 y1 ? 1, x 2 ? 2 y 2 ? 1 ,所以
x1 ? x 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 2 ? 18 , x1 ? x 2 ? 4 y1 ? y 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 1 .

? x ? 2 y ? 1 ? 0, 得 y 2 ? 8y ? 4 ? 0 , 2 y ? 4 x , ?

因为 ?ACB ? 90? ,所以 CA ? CB ? 0 ,即有
(t 2 ? x1 )(t 2 ? x 2 ) ? (2t ? y1 )(2t ? y 2 ) ? 0 ,


t 4 ? ( x1 ? x 2 )t 2 ? x1 ? x 2 ? 4t 2 ? 2( y1 ? y 2 )t ? y1 ? y 2 ? 0 ,


t 4 ? 14t 2 ? 16t ? 3 ? 0 ,



20

(t 2 ? 4t ? 3)(t 2 ? 4t ? 1) ? 0 .

显然 t 2 ? 4t ? 1 ? 0 ,否则 t 2 ? 2 ? 2t ? 1 ? 0 ,则点 C 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,从而点 C 与点 A 或点 B 重合.所以 t 2 ? 4t ? 3 ? 0 ,解得 t 1 ? ?1, t 2 ? ?3 . 故所求点 C 的坐标为 (1,?2) 或 (9,?6) .
200 ? n 3 400 ? 5 n 6

?3 8.15. 提示: a n ? C n 200

?2



要使 a n (1 ? n ? 95) 为整数,必有

200? n 400? 5n 均为整数,从而 6 | n ? 4 . , 3 6
200? n 400? 5n 和 均为非负整数,所以 a n 为 3 6

当 n ? 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 时, 整数,共有 14 个.
?3 38 ? 2 ?5 ,在 C 86 当 n ? 86 时, a 86 ? C 86 ? 200 200

200 ! 中, 200 !中因数 2 的个数为 86!?114 !

? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 2 ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 3 ? ? ? 2 4 ? ? ? 2 5 ? ? ? 2 6 ? ? ? 2 7 ? ? 197 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

同理可计算得 86 ! 中因数 2 的个数为 82, 114 !中因数 2 的个数为 110,所以 C 86 200 中因数 2 的个数为
197? 82?110? 5 ,故 a 86 是整数.
?3 36 ? 2 ?10 ,在 C 92 当 n ? 92 时,a 92 ? C 92 ? 200 200

200 ! 中,同样可求得 92 ! 中因数 2 的个数为 88, 108 !中 92!?108 !

a 因数 2 的个数为 105,故 C 86 200 中因数 2 的个数为 197? 88?105? 4 ,故 92 不是整数.

因此,整数项的个数为 14?1 ? 15. 9.因为 f (a) ? f (?
b ?1 ) ,所以 b?2 | lg(a ? 1) |?| lg(?

b ?1 1 ? 1) |?| lg( ) |?| lg(b ? 2) | , b?2 b?2 所以 a ? 1 ? b ? 2 或 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 ,又因为 a ? b ,所以 a ? 1 ? b ? 2 ,所以 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 .

又由 f (a) ?| lg(a ? 1) | 有意义知 0 ? a ?1,从而
0 ? a ?1 ? b ?1 ? b ? 2 ,

于是
0 ? a ?1 ? 1 ? b ? 2 .

所以
(10a ? 6b ? 21) ? 1 ? 10(a ? 1) ? 6(b ? 2) ? 6(b ? 2) ? 10 ? 1. b?2

从而
f (10a ? 6b ? 21) ?| lg[6(b ? 2) ? 10 10 ] |? lg[6(b ? 2) ? ]. b?2 b?2



21

f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,

所以
lg[6(b ? 2) ? 10 ] ? 4 lg 2 , b?2

故 6(b ? 2) ?

1 10 . ? 16 .解得 b ? ? 或 b ? ? 1 (舍去) 3 b?2

1 2 把 b ? ? 代入 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 解得 a ? ? . 3 5

所以 a ? ?

2 1 ,b ? ? . 5 3

10. (1)由原式变形得
a n ?1 ? 2(t n ?1 ? 1)(a n ? 1) ?1 , a n ? 2t n ? 1


2(a n ? 1) n a n ?1 ? 1 2(a n ? 1) ? ? t ?1 . n ?1 n t ? 1 a n ? 2t ? 1 a n ? 1 ?2 t n ?1

记 又

2b n an ?1 a ? 1 2t ? 2 , b1 ? 1 ? bn ,则 b n ?1 ? ? ?2. n bn ? 2 t ?1 t ?1 t ?1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ,从而有 bn ?1 bn 2 b1 2 1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? , bn b1 2 2



an ?1 2 2(t n ? 1) ,于是有 ? a ? ?1 . n t n ?1 n n

(2) a n ?1 ? a n ?
? ? ?

2(t n ?1 ?1) 2(t n ?1) ? n ?1 n

2(t ? 1) ?n(1 ? t ? ? ? t n ?1 ? t n ) ? (n ? 1)(1 ? t ? ? ? t n ?1 )? n(n ? 1) 2(t ? 1) ?nt n ? (1 ? t ? ? ? t n ?1 )? ? 2(t ? 1) ?(t n ? 1) ? (t n ? t ) ? ? ? (t n ? t n ?1 )? n(n ? 1) n(n ? 1) 2(t ? 1) 2 n ?1 n ? 2 ?(t ? t ? ? ? 1) ? t (t n ? 2 ? t n ?3 ? ? ? 1) ? ? ? t n ?1 ? , n(n ? 1)

显然在 t ? 0 (t ? 1) 时恒有 a n ?1 ? a n ? 0 ,故 a n ?1 ? a n . 11. (1)设直线 l : y ? 将y?
1 x ? m , A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) . 3

1 x2 y 2 x ? m 代入 ? ? 1 中,化简整理得 3 36 4
2 x 2 ? 6mx ? 9m 2 ? 36 ? 0 .

于是有 x1 ? x 2 ? ?3m, x1 x 2 ?

y ? 2 y ? 2 9m 2 ? 36 , k PA ? 1 . 则 , k PB ? 2 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 2
22

k PA ? k PB ?

y1 ? 2 y ? 2 ? 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 2

( y ? 2)( x2 ? 3 2) ? ( y2 ? 2)( x1 ? 3 2) ? 1 ( x1 ? 3 2)( x2 ? 3 2)
上式中,
1 1 分子 ? ( x1 ? m ? 2 )( x 2 ? 3 2 ) ? ( x 2 ? m ? 2 )( x1 ? 3 2 ) 3 3 ? ? 2 x1 x 2 ? (m ? 2 2 )( x1 ? x 2 ) ? 6 2 (m ? 2 ) 3 2 9m 2 ? 36 ? ? (m ? 2 2 )(?3m) ? 6 2 (m ? 2 ) 3 2



? 3m 2 ? 12 ? 3m 2 ? 6 2m ? 6 2m ? 12 ? 0 ,

从而, k PA ? k PB ? 0 . 又 P 在直线 l 的左上方,因此, ?APB的角平分线是平行于 y 轴的直线,所以△ PAB 的内切圆 的圆心在直线 x ? 3 2 上. (2)若 ?APB ? 60? 时,结合(1)的结论可知 k PA ? 3, k PB ? ? 3 . 直线 PA 的方程为: y ? 2 ? 3 ( x ? 3 2 ) ,代入
x2 y 2 ? ? 1 中,消去 y 得 36 4

14x 2 ? 9 6 (1 ? 3 3 ) x ? 18(13 ? 3 3 ) ? 0 .

它的两根分别是 x 1 和 3 2 ,所以 x1 ? 3 2 ?

18(13 ? 3 3 ) 3 2 (13 ? 3 3 ) ,即 x1 ? .所以 14 14
3 2 (3 3 ? 1) . 7

| PA |? 1 ? ( 3 ) 2 ? | x1 ? 3 2 |?

同理可求得 | PB |? 所以

3 2 (3 3 ? 1) . 7

1 S?PAB ? ? | PA | ? | PB | ? sin 60? 2 1 3 2(3 3 ? 1) 3 2(3 3 ? 1) 3 ? ? ? ? . 2 7 7 2 ? 117 3 . 49

23





1. ( 40 分 ) 如 图 , P, Q 分 别 是 圆 内 接 四 边 形 A B CD 的 对 角 线 AC, BD 的 中 点 . 若 ,证明: ?AQB ? ?CQB . ?BPA? ?D P A 2. (40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ?, rk ,均有
f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) .

3. ( 50 分) 设 a1 , a 2 , ? , a n (n ? 4) 是给定的正实数, a1 ? a 2 ? ? ? a n .对任意正实数 r ,满足
a j ? ai ak ? a j ? r (1 ? i ? j ? k ? n) 的三元数组 (i, j , k ) 的个数记为 f n ( r ) .

证明: f n (r ) ?

n2 . 4

4.(50 分)设 A 是一个 3 ? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称 A 中的一个
m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个 1?1 的

小方格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个数的最大值.

24

解 答
1.
? ?

延长线段 DP 与圆交于另一点 E ,则 ?CPE ? ?DPA? ?BPA,又 P 是线段 AC 的中点,故

AB ? CE ,从而 ?CDP ? ?BDA.

又 ?ABD? ?PCD,所以△ ABD∽△ PCD,于是
AB? CD ? PC? BD .

AB PC ,即 ? BD CD

D

A 从而有
AB ? CD ?
AB BQ 即 . ? AC CD

Q

F P

1 1 AC ? BD ? AC ? ( BD) ? AC ? BQ , 2 2

B

E

C

又 ?ABQ ? ?ACD ,所以△ABQ∽△ACD,所以 ?QAB ? ?DAC . 延长线段 A Q 与圆交于另一点 F ,则 ?CAB ? ?DAF ,故 BC ? DF . 又因为 Q 为 BD 的中点,所以 ?CQB ? ?DQF . 又 ?AQB ? ?DQF ,所以 ?AQB ? ?CQB .
? ?

2. 令

f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? n) ? 2 ,



将①的右边展开即知 f ( x) 是一个首项系数为 1 的正整数系数的 n 次多项式. 下面证明 f ( x) 满足性质(2) . 对任意整数 t ,由于 n ? 4 ,故连续的 n 个整数 t ? 1, t ? 2, ? , t ? n 中必有一个为 4 的倍数,从而由 ①知 f (t ) ? 2(mod 4) . 因此,对任意 k (k ? 2) 个正整数 r1 , r2 , ?, rk ,有
f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) ? 2 k ? 0(mod 4) .

但对任意正整数 m ,有 f (m) ? 2(mod 4) ,故
f (m) ? ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk )(mod 4) ,

从而 f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) . 所以 f ( x) 符合题设要求. 3.对给定的 j (1 ? j ? n) ,满足 1 ? i ? j ? k ? n ,且
a j ? ai ak ? a j ?r



25

的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 g j (r ) . 注意到,若 i, j 固定,则显然至多有一个 k 使得①成立.因 i ? j ,即 i 有 j ? 1 种选法,故
g j (r ) ? j ? 1 .

同 样 地 , 若 j, k 固 定 , 则 至 多 有 一 个 i 使 得 ① 成 立 . 因 k ? j , 即 k 有 n ? j 种 选 法 , 故
g j (r ) ? n ? j .从而 g j (r ) ? min{ j ? 1, n ? j} .

因此,当 n 为偶数时,设 n ? 2m ,则有

f n (r ) ? ? g j (r ) ? ? g j (r ) ?
j ?2 j ?2 2 m ?1

n ?1

m ?1

2 m ?1 j ?m

?g

j

(r )

? ? ( j ? 1) ?
j ?2

m

j ? m ?1

? ( 2m ? j ) ?

m(m ? 1) m(m ? 1) ? 2 2

? m2 ? m ? m2 ?

n2 . 4

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1,则有
f n (r ) ? ? g j (r ) ? ? g j (r ) ?
j ?2 j ?2 n ?1 m

j ? m ?1

?g

2m

j

(r )

? ? ( j ? 1) ?
j ?2

m

j ? m ?1

? ( 2m ? 1 ? j )

2m

? m2 ?

n2 . 4

4. 首先证明 A 中“坏格”不多于 25 个. 用反证法.假设结论不成立,则方格表 A 中至多有 1 个小方格不是“坏格” .由表格的对称性, 不妨假设此时第 1 行都是“坏格” . 设方格表 A 第 i 列从上到下填的数依次为 a i , bi , c i , i ? 1,2, ? ,9 .记
S k ? ? a i , Tk ? ? (bi ? c i ), k ? 0,1,2, ? ,9 ,
i ?1 i ?1 k k

这里 S 0 ? T0 ? 0 .
T0 , T1 , ? , T9 及 S 0 ? T0 , S1 ? T1 , ? , S 9 ? T9 都是模 10 的完全剩余系. 我们证明: 三组数 S 0 , S 1 , ? , S 9 ;

事实上,假如存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使 S m ? S n (mod 10) ,则
i ? m ?1

?a

n

i

? S n ? S m ? 0(mod 10) ,

26

即第 1 行的第 m ?1 至第 n 列组成一个“好矩形” ,与第 1 行都是“坏格”矛盾. 又假如存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使 Tm ? Tn (mod 10) ,则
i ? m ?1

? (b

n

i

? c i ) ? Tn ? Tm ? 0(mod 10) ,

即第 2 行至第 3 行、第 m ?1 列至第 n 列组成一个“好矩形” ,从而至少有 2 个小方格不是“坏格” , 矛盾. 类似地,也不存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使
S m ? Tm ? S n ? Tn (mod 10) .

因此上述断言得证.故

?S
k ?0

9

k

? ? Tk ? ? ( S k ? Tk ) ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? 9 ? 5(mod 10) ,
k ?0 k ?0

9

9

所以

? (S
k ?0

9

k

? Tk ) ? ? S k ? ? Tk ? 5 ? 5 ? 0(mod 10) ,
k ?0 k ?0

9

9

矛盾!故假设不成立,即“坏格”不可能多于 25 个. 另一方面,构造如下一个 3 ? 9 的方格表,可验证每个不填 10 的小方格都是“坏格” ,此时有 25 个“坏格” .

1 1 1

1 1 1

1 1 1

2 1 10

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

10 1 2

综上所述, “坏格”个数的最大值是 25.

27

2012年全国高中数学联赛
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.

2 ( x ? 0 )的图 像上任意一点,过点 P 分别向 x ??? ? ??? ? 直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是_____________.
1.设 P 是函数 y ? x ?

6.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x? .若对任意的 x ? [a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____________.

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是_____________. 4 n 3 8.某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未
7.满 足 使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用 A 种密码的概 率是_____________.(用最简分数表示) 二、 解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9. (本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使 得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10. (本小题满分20分)已知数列 ?an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的 正整数 n ,都有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ?? an )2 ? a1 ? a2 ? ?? an (1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ;

(2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

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11. (本小题 满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证: | OA | ? | OC | 为定值; (2)当点A在半 圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求 点 C 的轨迹.

三、 (本题满分 50 分) 设P 0, P 1, P 2 ,?, P n 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d ( d ? 0) 求证: P0 P 1 ? P 0P 2 ?? P 0P n ?( )

d 3

n

(n ? 1)!

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四、 (本题满分 50 分)

1 1 ? ? ? , n 是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b ,数列 {Sn ? [ Sn ]} 2 n 中有无穷多项属于 ( a, b) .这里, [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.
设 Sn ? 1 ?

[来源:21 世纪教育网]

30

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 参考答案及详细评分标准 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上. 1. 设 P 是函数 y ? x ? 线,垂

2 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂 x


足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是

??? ? ??? ?

2. 则

设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 a cos B ? b cos A ? .

3 c, 5

tan A 的值是 tan B

【答案】4

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3.设 x, y, z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是 【答案】 2 ? 1 因为
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.

【解析】不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ?

y ? x ? z ? y ? z ? x.

y ? x ? z ? y ? 2[( y ? x) ? ( z ? y)] ? 2( z ? x).
1 时上式等号同时成立.故 Mmax ? 2 ?1. 2

所以 M ? 2( z ? x) ? z ? x ? ( 2 ?1) z ? x ? 2 ?1. 当且仅当 y ? x ? z ? y , x ? 0, z ? 1, y ?
2

4.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为l, A, B 是抛物线上的两个动点,且满足

?AFB ?

? | MN | .设线段AB的中点 M 在l上的投影为 N ,则 的最大值 3 | AB |
.
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是 【答案】1

31

AF ? BF . 2 ? 2 2 2 在 ?AFB 中,由余弦定理得 AB ? AF ? BF ? 2 AF ? BF cos 3 AF ? BF 2 AF ? BF 2 2 ) ?( ) ? MN . ? ( AF ? BF )2 ? 3 AF ? BF ? ( AF ? BF )2 ? 3( 2 2 MN 当且仅当 AF ? BF 时等号成立.故 的最大值为1. AB
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 MN ? 5.设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P ? ABC 的侧面与 底面所成的角为 45 ,则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的正切值是
?



? 6. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意的 x ? [a, a ? 2] ,不等

式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 [ 2, ??).



7.满足

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是 4 n 3



【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性,有当 x ? (0,

?
6

) 时,

3

1 ? 3 ? 1 ? ,sin ? ? ? , 13 13 4 12 ? 12 4 ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? ? . 所以 sin ? ? sin ? sin ? sin ? ? sin . 10 10 3 9 ? 9 3 13 4 12 11 10 3 9 sin ?
32

?

?

?

x ? sin x ? x, 由此得

故满足

1 ? 1 ? sin ? 的正整数 n 的所有值分别为 10,11,12, 它们的和为 33 . 4 n 3

8.某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未 使用的三种密码中等可能地随 机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的 概率是 . (用最简分数表示)

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9. (本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10. (本小题满分20分)已知数列 ?an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ?? an )2 ? a1 ? a2 ? ?? an (1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的 数列 a1 , a2 , a3 ;

(2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

33

11. (本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证 : | OA | ? | OC | 为定值;
2 2 (2)当点A在半圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求

点 C 的轨迹. 【解 析】因为 OB ? OD , AB ? AD ? BC ? CD , 所以 O, A, C 三点共线 如图,连结 BD ,则 BD 垂直平分线段 AC ,设垂足为 K ,于是有

OA ? OC ? ( OK ? AK )( OK ? AK )
? OK ? AK ? ( OB ? BK ) ? ( AB ? BK ) ? OB ? AB ? 62 ? 42 ? 20 ( 定值)
(2)设 C ( x, y), A(2 ? 2cos ? , 2sin ? ), 其中 ? ? ?XMA(?
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2

?
2

?? ?
2

?
2

), 则 ?XOC ?

?
2

.

因为 OA ? (2 ? 2 cos ? ) ? (2sin ? ) ? 8(1 ? cos ? ) ? 16 cos 由(1)的结论得 OC cos

?
2

, 所以 OA ? 4 cos

?
2

?
2

? 5, 所以 x ? OC cos

?
2

? 5. 从而 y ? OC sin

?
2

? 5 tan

?

故点 C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 A(5,5), B(5, ?5) 2012 年全国高中数学联赛加试试题(
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2

? [?5,5].

A 卷)

一、 (本题满分40分) 如图, 在锐角 ?ABC 中,AB ? AC , M , N 是 BC 边上不同的两点, 使得 ?BAM ? ?CAN . 设 ?ABC 和 ?AMN 的外心分别为 O1 , O2 ,求证: O1 , O2 , A 三点共线。
34

证法一:令 b ? mx, b ? 1 ? 2k ?1 y, 消去 b 得 2k ?1 y ? mx ? 1.
k ?1 ? ? x ? x0 ? 2 t 由 于 (2 , m) ? 1, 这方程必有整数解; ? 其中 t ? z,( x0 , y0 ) 为方程的特解. ? ? y ? y0 ? mt ? k ?1 把最小的正整数解记为 ( x? , y? ), 则 x ? 2 ,故 b ? mx? ? 2a ?1, 使 b(b ? 1) 是 2 a 的倍数.??40

k ?1

分 证法二:由于 (2
k ?1

, m) ? 1, 由中国剩余定理知,同余方程组

? x ? 0(mod 2 ) 在 区 间 (0, 2k ?1 m) 上 有 解 x ? b, 即 存 在 b ? 2a ? 1, 使 b(b ? 1) 是 2 a 的 倍 ? ? x ? m ?1(mod m)
k ?1

数.????40 分 证 法 三 : 由 于 (2, m) ? 1, 总 存 在 r (r ? N , r ? m ? 1), 使 2 ? 1(mod m) 取 t ? N , 使 tr ? k ? 1, 则
r ?
?

2tr ? 1(mod m) tr k ?1 存在 b ? (2 ?1) ? q ? (2 m) ? 0, q ? N , 使 0 ? b ? 2a ? 1, k ?1 此时 m b ,2 m ?1, 因而 b(b ? 1) 是 2 a 的倍数.?????40 分
三、 (本题满分50分) 设P 0, P 1, P 2 ,?, P n 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d ( d ? 0) 求证: P0 P 1 ? P 0P 2 ?? P 0P n ?( )

d 3

n

(n ? 1)!

35

四、 (本题满分50分)

1 1 ? ? ? ,n是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b ,数列 {Sn ? [ Sn ]} 2 n 中有无穷多项属于 ( a, b) .这里, [ x ] 表示不超过实数x的最大整数.
设 Sn ? 1 ? 【解析】证法一:(1)对任意 n ? N ,有
?

1 1 1 1 1 1 1 1 S 2n ? 1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n ?1 ??? n ) 2 3 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( 2 ? 2 ) ?? ? ( n ?? ? n ) ? 1? ? ?? ? ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 2

36

证法二:(1) S2n ? 1 ?

1 1 1 ? ??? n 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n ?1 ??? n ) ? 1? ? ( 2 ? 2 ) ?? ? ( n ?? ? n ) 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 1? ? ?? ? ? n 2 2 2 2

37

38


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