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高中数学第一章集合与函数测试题及答案


高中数学第一章集合与函数测试题
(一)集合
1、集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2}, B ? {x | ?1≤ x ? 3} ,那么 A

B?



) D、 {x | 2 ? x ? 3} ) D、 {x | 2 ? x ? 3} ) D、 {0,1} ) D、1
I

/>
A、 {x | ?2 ? x ? 3}

B、 {x |1≤ x ? 2}

C、 {x | ?2 ? x ≤1} (

2、集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 3} ,那么 A B ? A、 B、 {x | ?1 ? x ? 1}

C、 {x |1 ? x ? 2} (

3、若集合 M ? {?1,0,1, 2}, N ? {x | x( x ?1) ? 0} ,则 M N ? A、 {?1, 0,1, 2} 4、 A、4 B、 {0,1, 2} C、 {?1, 0,1} (

满足条件 M {1} ? {1, 2,3} 的集合 M 的个数是 B、3 C、2

5、设全集 I ? {a, b, c, d , e} ,集合 M ? {a, b, c}, N ? {b, d , e} ,那么 痧 IM A、 ? B、 {d } C、 {a, c}

N 是(



D、 {b, e} )

6、设集合 A ? {x ? Z | ?10 ≤ x ≤ ?1}, B ? {x ? Z | x ≤ 5} ,则 A B 中元素的个数是( A、11 B、10 C、16 D、15 )
N

7、已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7}, M ? {3, 4,5}, N ? {1,3,6} ,则集合 {2, 7} 等于( A、 M
N

B、 痧 UM

U

N

C、 痧 UM ( ) C、 ? ? P

U

N

D、 M

8、如果集合 P ? ?x x ? ?1?,那么 A、 0 ? P B、 ?0?? P

D、 ?0? ? P ) D、{b, d } )

9、设全集 U ? {a, b, c, d},集合 M ? {a, c, d}, N ? {b, d} ,则 (? N ?( UM) A、{ b } B、{ d } C、{ a, c }

1,2,3,4,5,6?,集合 A ? ? 1,2,3,?, B ? ?2,4,5?,则 ? 10、设全集 U ? ? B)等于 ( U (A

A、 ?2?

B、 ?6?

1,3, 4, 5, 6? C、 ?

1, 3, 4,5? D、 ?

11、设全集 S ? {1, 2,3, 4,5,6,7} ,集合 A ? {1,3,5,7} ,集合 B ? {3,5} ,则 A、 S ? A ? B B、 S ? ? ?S A ? B C、 S ? A

(

)

?? B ?
S

D、 S ? ? 痧 S A?

?

S

B?

12、已知集合 A ? {1, 2,3, 4} ,那么 A 的真子集的个数是( A、15 B、16 C、3

) D、4
N 为(

13、已知集合 M ? {( x, y) | x ? y ? 2}, N ? {( x, y) | x ? y ? 4} ,那么集合 M A、 x ? 3, y ? ?1 B、 (3, ?1) C、 {3, ?1} )



D、 {(3, ?1)}

15、若 U ? {1, 2,3, 4}, M ? {1, 2}, N ? {2,3} ,则 ? N) ? ( U (M A、 {1, 2,3} B、 {2} C、 {1,3, 4}

D、 {4} )

16、设集合 P ? {1, 2,3, 4,5,6}, Q ? {x ? R | 2 ≤ x ≤ 6} ,那么下列结论正确的是( A、 P Q ? P B、 P Q ? Q C、 P Q ? Q D、 P Q ? P

17、设全集是实数集 R, M ? {x | ?2 ≤ x ≤ 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 ?R M N 等于( A、 {x| x ? ?2} B、 {x|?2 ? x ? 1} C、 {x| x ? 1} D、 {x|?2 ? x ? 1}



18、已知集合 M ? {x | x ? a ? 0}, N ? {x | ax ?1 ? 0},若 M N ? N ,则实数 a 等于(



A、 1 B、 ?1 C、 1 或 ?1 D、 1 或 ?1 或 0 19、已知集合 A ? {x | x ≤ 2, x ? R}, B ? {x | x ≤ a}, 且 A ? B, 则实数 a 的取值范围是 20、设集合 A ? {5, (a ? 1)} ,集合 B ? {a, b} 。若 A B ? {2} ,则 A B ? 21、设集合 M ? {x | ?1≤ x ? 2}, N ? {x | x ≤ a} ,若 M N ? ? ,则 a 的取值范围是 22、增城市数、理、化竞赛时,高一某班有 24 名学生参加数学竞赛,28 名学生参加物 理竞赛,19 名学生参加化学竞赛,其中参加数、理、化三科竞赛的有 7 名,只参加数、 物两科的有 5 名,只参加物、化两科的有 3 名,只参加数、化两科的有 4 名。若该班 学生共有 48 名,问没有参加任何一科竞赛的学生有多少名? (二)映射与函数 一、选择题:1.下列对应是从集合 A 到集合 B 的映射的( A.A=R,B={x|x>0 且 x∈R},x∈A,f:x→|x| )

B.A=N,B=N+,x∈A,f:x→|x-
1 x

1| C.A={x|x>0 且 x∈R},B=R,x∈A,f:x→x2D.A=Q,B=Q,f:x→

2.已知映射 f:A?B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素 都是 A 中的元素在映射 f 下的象, 且对任意的 a∈A, 在 B 中和它对应的元素是|a|, 则集合 B 中的元素的个数是( )A.4 B.5 C.6 D.7 3.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n+n,则在映射 f 下,象 20 的原象( ) A.2B.3C.4 D.5

5.函数 y= 2 x ? 3 的值域()
2x ? 3

A. (-∞, -1 )∪(-1, +∞) B. (-∞, 1)∪(1, +∞) C. (-∞, 0 )∪(0, +∞) ∞,0)∪(1,+∞) 6.下列各组中,函数 f(x)和 g(x)的图象相同的是 ( B.f(x)=1,g(x)=x0 C.f(x)=|x|,g(x)= x 2 D.f(x)=|x|,g(x)= ?
? x, x ? (0,??) ?? x, x ? (??,0)

D. (-

) A . f(x)=x , g(x)=( x )2

7.函数 y= 1 ? x 2 ? x 2 ?1 的定义域为 或 x≥1}C.{x|0≤x≤1} 1,1]C.(0,1)D.[0,1] D.{-1,1}

( )A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≤-1 )A.(-1,0)B.[- )

8.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],则 f(x2)的定义域为(

9.设函数 f(x)对任意 x、y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y),且 f(2)=4,则 f(-1)的值为(
1 C.± 1 2 10.函数 y=2- ? x 2 ? 4x 的值域是 (

A.-2 2]

B.±

D.2 ) A.[-2,2] B.[1,2] C.[0, f(x)的解析

D.[- 2 , 2 ] D.[ 3 ,+∞]
2

12.已知函数 f(

x +1)=x+1,则函数

式为(

)A.f(x)=x2

B . f(x)=x2 + 1(x≥1)D . f(x)=x2 - 2x + 2(x≥1)

C.f(x)=x2-2x(x≥1) 二、填空题:13.己知集合 A ={1,2,3,k} ,B = {4,7,a4,a2+3a},且 a∈N*, x∈A,y ∈B,使 B _, k =__ . 中元素 y=3x+1 和 A 中的元素 x 对应,则 a=__ 15.设 f(x-1)=3x-1,则 f(x)=__ _______.

三、解答题:17. (1)若函数 y= f(2x+1)的定义域为[ 1,2 ],求 f (x)的定义域.(2)已 知函数 f(x)的定义域为[- 1 , 3 ] ,求函数 g(x)=f(3x)+f( x )的定义域. 18. (1)已 f ( )= +8,求此一次函数的解析式.
1 x
x ,求 1? x

f(x)的解析式.(2)已知 y=f(x)是一次函数,且有 f [f(x)]=9x

2

2

3

x ?1 (2) y ? x ? 1? 2x x ?1 21.如图,动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始,顺次经 B、C、D 绕边界一周,当
19.求下列函数的值域: (1)y = x 表示点 P 的行程,y 表示 PA 之长时,求 y 关于 x 的解析式,并求 f( )的值. 22.季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为 10 元, 并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售;10 周后当季节即将 过去时,平均每周削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之
5 2

间的关系为 Q=-0.125(t-8)2+12,t∈[0,16],t∈N*,试问该服装第几周每件销售利 润 L 最大?
参考答案一、选择题: CACBB CDBAC CC 二、填空题:13.a=2,k=5,14.12 ,15.3x+2,16.f(1)<f(

3 )<f(-1)

1? 三、 解答题: 17.解析: (1) f(2x+1)的定义域为[1, 2]是指 x 的取值范围是[1, 2],
1 3 , ] 2 2

x ? 2,? 2 ? 2 x ? 4,? 3 ? 2 x ? 1 ? 5,? f ( x)
1 1 ?? ? x ? 6 2

的定义域为[3,5](2)∵f(x)定义域是[-

1 3 ? 1 ? 1 ? ? 3x ? ? ?x? ? ? ? 2 2 2 ? 6 g(x)中的 x 须满足 ? 即? 1 x 3 3 ?? ? x ? 9 ?? ? ? ? ? 2 3 2 2 ? 2 ?

∴g(x)的定义域为[-

1 1 , ]. 6 2

1 1 1 1 1 (x≠0 且 x≠1) 18.解析: (1)设 t ? , 则x ? 代入, 得f (t ) ? t ? ? f ( x) ? , 1 t ?1 x t x ?1 1? t
(2)设 f(x)=ax+b,则 f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8

?a 2 ? 9 ?a ? 3或 ? 3 ?? ?? ,? f ( x)的解析式为f ( x) ? 3x ? 2或f ( x) ? ?3x ? 4 b ? 2 或 ? 4 ab ? b ? 8 ? ?
19 . 解 析 : ( 1 ) 由 y= - x2 + x ? y ?

x ?1 2 2 ? 1? ? 0,? y ? 1 ∴ 值 域 为 {y|y≠1 且 y∈R.}( 此 题 也 可 利 用反 函 数 来 法 ) ( 3 )令 ,∵ x ?1 x ?1 x ?1 1 1 1 1 1 1 u ? 1 ? 2x ( u ? 0 ),则 x ? ? u 2 ? , y ? ? u 2 ? u ? ? ? (u ? 1) 2 ? 1 , 当 u ? 0 时, y ? ,∴函数 2 2 2 2 2 2 1 b y ? x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] .20.解析: (1)设 f(x)=ax,g(x)= ,a、b 为比例常数,则 ? (x)=f(x)+g(x)=ax x 2 y?
? 1 ?1 ?a ? 3 b ?? ( ) ? 16, ? a ? 3b ? 16 5 5 得? 3 + 由? 3 , 解得 ? ∴ ? (x)=3x+ , 其定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞)(2)由 y =3x+ , x ?? (1) ? 8 x x ?b ? 5 ? ? ?a ? b ? 8
得 3x2-yx+5=0(x≠0)∵x∈R 且 x≠0,
2

1 1 1 ? ( x ? ) 2 , ∵ 1 ? x ? 3,? 0 ? y ? . (2)可采用分离变量法. 4 4 2

Δ=y2-60≥0,∴y≥2 15 或 y≤-2 15 ∴ ? (x) 的值域为(-∞,-

15 ] ∪[2 15 ,+∞)
21.解析:当 P 在 AB 上运动时,y =x,0≤x≤1,当 P 在 BC 上运动时,y=

1 ? ( x ? 1) 2

,1<x≤2 当 P 在 CD 上运动时,

y=

?x ? 2 ? 1 ? ( x ? 1) 2 1 ? (3 ? x ) ,2<x≤3 当 P 在 DA 上运动时,y=4-x,3<x≤4∴y= ? ? 1 ? (3 ? x ) 2 ? ?4 ? x

? 0 ? x ? 1? ?1 ? x ? 2? ?2 ? x ? 3? ? 3 ? x ? 4?

∴f(

5 2

)=

5 22.解 2

析:(1)P=

?10 ? 2t ? ?20 ?40 ? 2t ?

t ? [0,5) 且t ? N * t ? [5,10]且t ? N * t ? [10,16]且t ? N *
8

(2)因每件销售利润=售价-进价,即 L=P-Q 故有:当 t∈[0,5)且 t∈N*时,L=10

+2t+0.125(t-8)2-12= 1 t2+6 即,当 t=5 时,Lmax=9.125 当 t∈[5,10)时 t∈N*时,L=0.125t2-2t+16 即 t=5 时,Lmax=9.125 当 t∈[10,16]时,L=0.125t2-4t+36 即 t=10 时,Lmax=8.5 由以上得,该服装第 5 周每件销售利润 L 最大.

(三)函数的基本性质
一、选择题:1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是(



A.y=2x+1 B.y=3x2+1 C.y= D.y=2x2+x+1 2.函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减 函数,则 f(1)等于( A.-7 B.1 ) C.1D.25 ( )

2 x

3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 A.(3,8) 4.函数 f(x)= B.(-7,-2) C.(-2,3) D.(0,5)

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ( ) x?2 1 1 A.(0, ) B.( ,+∞) C.(-2,+∞) D.(-∞,- 2 2

1)∪(1,+∞) 5. 已知函数 f(x)在区间[a, b]上单调, 且 f(a)f(b)<0, 则方程 f(x)=0 在区间[a, b]内 ( A.至少有一实根 C.没有实根 B.至多有一实根 D.必有唯一的实根 ) )

6.已知函数 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f( 2-x2 ),那么函数 g(x)( A.在区间(-1,0)上是减函数 0)上是增函数

B.在区间(0,1)上是减函数 C.在区间(-2,

D.在区间(0,2)上是增函数

7.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等 式 |f(x+1)|<1 的解集的补集( )

A.(-1,2) C.(-∞,-1)∪[4,+∞)

B.(1,4) D.(-∞,-1)∪[2,+∞)

8.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+ t)=f(5-t),那么下列式子一定成立的( A.f(-1)<f(9)<f(13) C.f(9)<f(-1)<f(13) )

B.f(13)<f(9)<f(-1) D.f(13)<f(-1)<f(9) )

9.函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依( A. (??,0], (??,1] C. [0,??), (??,1] B. (??,0],[1,??) D [0,??),[1,??)

10.已知函数 f ? x? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围是( A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3



11.已知 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R 且 a+b≤0,则下列不等式中正确的 是( )

A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)≥-f(a)+ f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

12.定义在 R 上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 y=f(x+2)图象的对称轴是 x=0,则 ( )

A.f(-1)<f(3) B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3) 二、填空题: 13.函数 y=(x-1)-2 的减区间是___ 14.函数 y=x-2
1? x

_. ___. .

+2 的值域为__

15、 设 y ?f x 则 y ? f ? x ? 3 ? 的单调递减区间为 ? ? 是 R 上的减函数,

16 、 函 数 f(x) = ax2 + 4(a + 1)x - 3 在 [2 , + ∞] 上 递 减 , 则 a 的 取 值 范 围 是 __ .

三、解答题: 17.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( ) = f(x)-f(y) (1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f( ) <2 . 18.函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数 还是减函数?试证明你的结论. 19.试讨论函数 f(x)= 20.设函数 f(x)= 上为单调函数. 22.已知函数 f(x)= x
2

x y

1 x

1? x2

在区间[-1,1]上的单调性. a 取什么值时,函数 f(x)在 0,+∞)

x 2 ? 1 -ax,(a>0),试确定:当

? 2x ? a x

,x∈[1,+∞](1)当 a= 1 时,求函数 f(x)的最
2

小值;(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围 一、选择题: CDBBD ADCCA BA
1? 二、填空题:13. (1,+∞), 14. (-∞,3),15. ?3, ?? ? , ? ? ? ?,? ? ? 2?

三、解答题:17.解析:①在等式中 令x ? y ? 0 ,则 f(1)=0.②在等式中令 x=36,y=6 则
f( 36 ) ? f (36) ? f (6), ? f (36) ? 2 f (6) ? 2. 6

故原不等式为: f ( x ? 3) ? f ( ) ? f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36),

1 x

?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,故不等式等价于: ? ?0? x? . 18. ? ?0 2 ?x ? ?0 ? x( x ? 3) ? 36

解析: f(x)在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:设 x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则 f(x1)=-x13+1, f(x2)=-x23+1.f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+ x22)=(x2-x1)[(x1+ x2 )2+ 3 x22] .∵x1<x2,∴x2-x1>0 而(x1+ x2 )2+ 3 x22>0,∴f(x1)
2 4 2 4

>f(x2).∴函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是减函数.19.解析: 设 x1、x2∈-1,1] 且
1 ? x2

x1 < x2 , 即 - 1≤x1 <
2

x2≤1 . f(x1) -
2

f(x2)=
2

1 ? x1

2



=

(1 ? x1 ) ? (1 ? x 2 ) 1 ? x1 ? 1 ? x 2
2 2

2

2

=

( x 2 ? x1 )( x 2 ? x1 ) 1 ? x1 ? 1 ? x 2
2 2

∵x2-x1>0,

1 ? x1 ? 1 ? x 2

>0, ∴当 x1>0,

x2>0 时, x1+x2>0, 那么 f(x1)>f(x2). 当 x1<0, x2<0 时, x1+x2<0, 那么 f(x1)<f(x2). 故 f(x)=
1? x2

在区间[-1,0]上是增函数,f(x)=

1? x2

在区间[0,1]上是减函数.20.
x1 ? 1
2

解 析 : 任 取 x1 、 x2∈0 , + ? ? 且 x1 < x2 , 则 f(x1) - f(x2)= x2)= ∵
x1 ? x 2
2 2 2 2



x2 ? 1

2

- a(x1 -

x1 ? 1 ? x 2 ? 1

- a(x1 - x2)=(x1 - x2)(

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

- a)(1) 当 a≥1 时 ,

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

<1,

又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)∴a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞) 上为减函数. (2) 当 0 < a < 1 时,在区间[ 0 ,+∞]上存在 x1=0 , x2=
2a 1? a2

,满足

f(x1)=f(x2)=1∴0<a<1 时,f(x)在[0,+ ? ? 上不是单调函数注: ①判断单调性常规思 路为定义法;②变形过程中
x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

<1 利用了

x1 ? 1 >|x1|≥x1; x 2 ? 1 >x2;③
2

2

从 a 的范围看还须讨论 0<a<1 时 f(x)的单调性, 这也是数学严谨性的体现. 21.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函 . 8.若 A. C. (三)函数奇偶性 ,且 且 为奇函数 ,则函数 ( B. D. ) B. D. 的定义域为 R, 当 ) 时, 是增函数, 则 , , ) 且 为偶函数

为增函数且为奇函数

为增函数且为偶函数

7.下列函数中,定义域为[0,∞]的函数是( A. C. 12、 设偶函数 的大小关系是(

A C. D.

B.

已知 f{x}是定义在{-2,2}上的奇函数,且在{-2,2}上单调递减,并且 f{m-1}+f{2m-1}>0, 则实数 m 的取值范围为________. 判断函数 f(x)=[(a^x) -1] / [(a^x)+1](a〉0,a≠1)的奇偶性,说明理由


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