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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第25讲 三角函数的模型及应用 Word版含解析]


第25讲 三角函数的模型及应用

1.设向量 a=(1,sin θ),b=(3sin θ,1),且 a∥b,则 cos 2θ 等于( D ) 1 2 A.- B.- 3 3 2 1 C. D. 3 3 2.函数 y=sin x(3sin x+4cos x)(x∈R)的最大值为 M, 最小正周期为 T, 则有序数对(M, T)为( B ) A.(5,π) B.(

4,π) π C.(-1,2π) D.(4, ) 2 π 3.若 0<x< ,则 4x 与 sin 3x 的大小关系是( A ) 2 A.4x>sin 3x B.4x<sin 3x C.4x≥sin 3x D.与 x 的值有关 解析:令 f(x)=4x-sin 3x, 则 f′(x)=4-3cos 3x>0,所以 f(x)为增函数. π 又 0<x< ,所以 f(x)>f(0)=0, 2 即 4x-sin 3x>0,所以 4x>sin 3x. 4.(2012· 南通市教研室全真模拟)已知电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I=Asin ωt, t∈[0,+∞),设 ω=100π,A=5,则电流 I(A)首次达到峰值时 t 的值为( C ) 1 1 A. B. 50 100 1 1 C. D. 200 400 2π 1 T 解析:易得周期 T= = ,则函数 I=Asin ωt,t∈[0,+∞)首次达到峰值时 t= = 100π 50 4 1 . 200

5.(2013· 山东省冲刺预测)如图,在台湾“莫拉克”台风灾区的搜救现场,一条搜救狗 沿正北方向行进 x m 发现生命迹象,然后向右转 105° ,行进 10 m 发现另一生命迹象,这时 10 6 它向右转 135° 回到出发点,那么 x= m. 3 解析:因为∠ABC=180° -105° =75° ,∠BCA=180° -135° =45° ,∠A=180° -75° - 45° =60° , x 10 10 6 所以 = ,所以 x= m. sin 45° sin 60° 3

6.(2012· 长春市第四次调研测)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同 一水平面内的两个观测点 C 与 D,测得∠BCD=15° ,∠BDC=30° ,CD=30 m,并在 C 测 得塔顶 A 的仰角为 60° ,则塔的高度为 15 6 m. 解析:在△BCD 中,根据正弦定理得, CD 30 BC= · sin ∠CDB= ×sin 30° =15 2, sin ∠CBD sin?180° -15° -30° ? 在 Rt△ABC 中,AB=BC· tan ∠ACB=15 2×tan 60° =15 6为所求.

7.(2013· 无锡市第一次模拟)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20 m、 50 m, BD 为水平面, 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 的大小是 45° . BD 60 解析:tan ∠ADC=tan ∠DAB= = =3, AB 20 60 tan ∠DCA= =2, 50-20 所以 tan ∠DAC=tan(π-∠ADC-∠DCA) tan ∠ADC+tan ∠DCA =- 1-tan ∠ADC· tan ∠DCA 2+3 =- =1, 1-2×3 而∠ADC>45° ,∠DCA>45° ,所以 0° <∠DAC<90° , 所以∠DAC=45° . 8.化工厂主控制表盘高 1 m,表盘底边距地面 2 m,问值班人员坐在什么位置看表盘 看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面 1.2 m)

解析:如图,设∠CAD=β, ∠BAD=α,∠BAC=φ, CD=2-1.2=0.8, 设 AD=x(x>0), BD 1+0.8 1.8 则 tan α= = = ; AD x x CD 0.8 tan β= = , AD x 1.8 0.8 - x x 因为 tan φ=tan(α-β)= 1.8 0.8 1+ · x x

1 1 1 5 ≤ = = . 1.44 1.44 2.4 12 x+ 2 x· x x 1.44 当 x= ,即 x=1.2 时,tan φ 达到最大值, x 因为 φ 是锐角, 所以 tan φ 最大时,视角 φ 最大,所以值班人员看表最清楚的位置为 AD=1.2 m,即表 盘前 1.2 m 处. =

9.(2012· 石家庄市质检)某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建 造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测 量 AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计 使建造费用最低,请说明理由. 解析:(1)在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos C 2 2 =16 +10 -2×16×10cos C,① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 整理得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos D =142+142-2×142cos C,② 由①②得: 142+142-2×142cos C=162+102-2×16×10cos C, 1 解得 cos C= . 2 又因为∠C 为三角形的内角,所以 C=60° , 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 AB 的长度为 14. (2)小李的设计符合要求,理由如下: 1 1 S△ABD= AD· BDsin D,S△ABC= AC· BCsin C, 2 2 因为 AD· BD>AC· BC,sin D=sin C, 所以 S△ABD>S△ABC, 由已知建造费用与用地面积成正比,故选择△ABC 建造环境标志费用较低,即小李的 设计符合要求.


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