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2004年全国高中数学联赛山东赛区预赛


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中 等 数 学 

2 0 0 4 年 全 国 高 中 数 学 联 赛山 东 赛 区 预 赛  
选择题( 每小题 6 分, 共6 0 分)   1 . 已知 f (  一i ) =三 +2  一 2   i 一1 . 贝 0  



/>
A 、  两点, 以 仙 为直径的圆过右焦点 F . 则 

双曲线的离心率为(   ( A )   ( B ) 2  

) .   ( C )   ( D ) 2 √ 3  

i 3 ) =(  

) .   ( B ) 一 2   i 一1   ( D ) 一i 一1  

( A ) 2   i 一1   ( C ) i 一1  

7 . 已知函数 f (   ) 的定义域为( 口 , b ) , 且  b 一口 > 2 . 贝 0   F (   ) =  3 x 一1 ) 一  3  + 1 ) 的   定义域为(   ) .  

2 . 若口 ≠ 0 , b > 0 , 分别在同一坐标 系内  

给出函数 Y =   +b 和函数 Y=b   的图像  ( 如图 1 ) , 不可能的是(   ) .  

( A ) (  ,   )( B ) (  ,  )   ( c ) (  ,   )( D ) (  ,  )  
8 . 已知 函数 厂 (  ) =   . 若g (  ) =   厂  ( 一  ) , 则g (   ) 在区间(   ) .   ( A ) ( 一 1 , +a 。 ) 上是增函数  ( B ) ( 一 1 , +∞) 上是减函数  ( C ) ( 一a 。 , 一1 ) 上是增函数  ( D ) ( 一。 。 , 一 1 ) 上是减函数  9 . 已知关于  的方程  s i n z x一( 2 a+1 ) c o s   一口   =0  

l   1  
~  





 
一  

① 
y  

② 

  . .

1  
一  

= ’ ~ ~  

③ 
图1  

④ 

有实数解. 则实数 口的取值集合是(  
( D ) ②④ 

) .  

( A ) ①②


( B ) ③④ ( C ) ①③

3 . 向量集合  { a   I   a =( 一 1 , 1 ) +  ( 1 , 2 ) ,  ∈R } ,  

( A ) [ 一 { , 1 一   】( B ) [ 一   5 , 1 +   】  
( c ) [ 1 一  , 1 +  ]( D ) I 一 百 3 , 1 一  l  

N={ a   l   a=( 1 , 一 2 ) +  ( 2 , 3 ) ,  ∈R} .   1 0 . 如图 2 , 在三   。   则 Mn   N=(   ) .   棱 锥 P —A B C 中,   ( A ) { ( 1 , 一 2 ) }   ( B ) { ( 一 1 3 , 一 2 3 ) }   P A_ l _底 面 A B C ,   ( C ) { ( 一 1 , 1 ) }   ( D ) { ( 一 2 3 , 一 1 3 ) }   A C B =9 0  ̄ , A E   j _   4 . 如果直线 z 沿 轴负方向平移 5 个单  P B于 E。 A F  P C干  位, 再沿 Y 轴正方向平移 1 个单位后, 又回到   F. 若 P A=A B=2 ,   原来的位置, 那么, 直线 z 的斜率是(   ) .   B P C=   , 则当   C   ( A ) 一 ÷  ( B ) 一 5  ( c ) 专  ( D ) 5   △A E F的面积 最 大 
1   1  

图2   t a n   的 值 为   5 . 若o 、 b 满足 0 <口 <b < 1 , 则下列不  时 , (   ) .   等式中, 正确的是(   ) .   ( A ) 口 。 <b b -   ( B ) b 。 <b   ( A ) 2   1 ( c   ( D )   ( C ) 口 。 <b 。   ( D ) b   <口   二、 填空题( 每小题 6 分, 共2 4 分)   6 . 设 双曲线 的右 准线 与两渐 近线交于 

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2 0 0 5 年第 2 期 

  ;   1 1 . 某人有 1 0 万元, 准备用于投资房地  求 b 产或购买股票. 如果根据盈利表( 表1 ) 进行  ( 3 ) 求b 1   b 2 一b 2   b 3 +b 3   b 4 一b 4   b 5 +…+   决策, 那么, 合理的投资方案应该是  b 2   一 1   b 2   一 b z , b 2   + 1 的值.   表  1   1 8 . ( 1 5分 ) 如   盈利概率  购买股票 投资房地产   图3 , 正方体 A B C D  
盈利  盈利 


A 1 B 1 C 1 D 1的 棱 

巨大成功  中等成功 
失 败 

0 . 3   0 . 5  
0 . 2  

1 0 万元  3 万元 
— 5 万元 

8 万元  4 万元 
一 4 万元 

长为 2 ,  、 Ⅳ、 P分  别是棱 C C   、 C B 、 C D   的中点 .  

1 2 . 已知 s i n   d—c 0 s   d=   1   . 贝 0   s i n   d—  
OD 8 3  

( 1 ) 求证: A   P  
上平面 D M N ;  

图3  

d的值是— — .   ( 2 ) 求四面体 A 。 D M N的体积.   1 3 . 将红、 黄、 蓝、 白、 黑5 个小球分别放  1 9 . ( 1 5 分) 如图4 , 圆盘上有一指针, 开  人红、 黄、 蓝、 白、 黑5 个盒子里, 每个盒子里  始时指向圆盘的正上方 . 指针每次顺时针方  放且只放 1 个小球 . 则红球不在红盒内且黄  向绕 圆盘 中心转动一角  球不在黄盒内的概率是— — .   d, 且 3 . 6 。 <d<1 8 0 o , 经 

1 4 . 设A l 、 A 2 是 椭 圆 x+ 告= 1 ( 口 > b  
> 0 ) 长轴上的两个顶点 , P   P : 是垂直于长轴  的弦, 直线 A 。 P 。 与A : P : 的交点为 P . 则点   P的轨迹的方程是 三、 解答题( 共6 6 分)   1 5 . ( 1 2 分) 已知 b >口 > 0 , 且口 +b =1 .   给出下面的四个式子 
. 
~ 一

2   0 0 4 次 旋转 , 第 一次 回   到了其初始位置 , 即又指  向了圆盘 的正上 方 . 试  问: a有多少个可能的不  同值?  
图4  

参 考 答 案 




1. B.  

令j — i = i 3 =一 i , 所以, j = 0 ,   = 0 .  

6 ,  

,2 a b,  

’  

故. 厂 ( i 3 ) =一 2   i 一 1 .  
2 . D.  

由火到小的排列, 并给出相应的证明.   1 6 . ( 1 2 分) 在平面四边形 A B C D中。  
A B =a, B C =b, C D =c , D A =d,  

观察图像①, 可得出 口 > 0 , b > 1 , 函数 Y =   +   b 和Y = 6 d l 的图像均满足要求, 排除( A ) 、 ( c ) .   观察图像②, 由Y =   + b 得出口 > 0 , 0 <b < 1 ;   由Y =6 d l 得 出口>0 , b >1 或 口< 0 , 0 <b <1 , 矛盾,  
3 . B .  



a ? b=b ? c =m, c ? d=d? a=n .  

B ) .   ( 1 ) 当 m=n 时, 四边形 A B C D是什么四   排除(

边形?证明你的结论.  
( 2 ) 当 m≠n 时, 四边形 A B C D是什么四   边形?证明你的结论.   1 7 . ( 1 2 分) 在数列 { 口   } 中, 口   = 1 , 其前 n   项和 . s   满足关系式 
3 t S , 一 ( 2 t + 3 ) S   一 1 = 3 t ( t > 0 , / t ' = 2 , 3 , … ) .  

若口 = ( 口 l , 0 - 2 ) ∈肘n   J 7 \ , , 则有  
O , 1   一1+1   l=1+2  2 ,  

O , 2 =1 +2 x l = 一2+3   2 .  

整理 , 得 
f   l 一 2 x 2 :2 ,  
L 2   l 一3 x 2=一3 .  

( 1 ) 求证: 数列{ 口   } 是等比数列;   ( 2 ) 设数列 { 口   } 的公比为f ( t ) , 作数列 

解得 l =一1 2 ,  2 =一 7 . 于是, 有 

Mr ) I V ={ ( 一 1 — 1 2 , 1 — 2 4 ) } ={ ( 一 1 3 , 一 2 3 ) } .  
4. A.  

{ b   } , 使b 。 = 1 , b   = f l   } ( n = 2 , 3 , … ) ,  

依题意, 直线 z 沿 向量 口=( 一 5 , 1 ) 平移后 , 回到 

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中 等 数 学  原位 . 设直线 l 的方程为 Y=a x +b . 平移后方 程仍  有Y   :a x   +b的形式 , 这里  所 以, 厂  (  ) =l n   .   :l I l   .  

j  
Y   一1 =n (  + 5 ) +b ,  
即  =似  +b + 5 a +1 .  

:  
  ’

故g   x ) : 厂  ( 一  ) =I n   由 
1 + 

故平移后 , 直线 l 的方程为 

> 0 , 得  <一1 或  >1 .  

所以, g (  ) 的定义域为( 一   , 一1 ) U( 1 , +  ) .  

选项( A ) 、 ( B ) 均不正确.  

所 以 , 5 n + 1 : 0 , n = 一 { .  
5 . C .  


由 g (   ) : l I l   : l I l ( 1 一  ) 在 ( 一   ,  
1 ) I - _ ,   随  的增大而减小 , 则1 一  
十 l  

根据幂函数及指数函数的单调性, 按题意应有  
b 。 >n d , b 。 >b  .  

随  的 
t  1  

增大而增大. 因为I n   是增函 数, 所以, g (   ) 随  的  
增大而增大, 即g (  ) 在 区间( 一   , 一1 ) 上是增 函   数.  
9 . B.  

而n 。 、 b   大小关系不确定.  
6. A.  

设双曲线方程为   一   =1 . 则右准线方程为 


将方程变形为 
o 0   +( 2 口+1 ) c 0 s   +0 , 2 -1 = 0 .   ?  

旦 三 渐近线方程为 ' , :±  


’ .  

令t :C 0 8  , 则方程变形为  由此可得 , 点A 、 B的坐标分别为 
t   +( 2 口 +1 ) t +口   一1 : 0 .  

( 譬 ,   ) 、 (   , 一   a b ) .  
从而知 I A BI :一 2 a b
.  

设厂 ( t ) :t   + ( 2 口 +1 ) t +口   一 1 , t ∈[ 一 1 , 1 ] .  


由题意知实数 n 应满足 
r ( 2 a +1 )  一 4 ( i f t 2 —1 ) 10 > ,  

设右准线与 轴的交点为  . 则有  
I   I _  一   :   .  

l , ( 1 ) 1 > 0 ,   1 , ( 一 1 ) 1 > 0 ,  

a b   b 2 又l   l _   1   l A B l所以, : 


【 一 1 ≤ 一   ≤ 1 ,  
或 , ( 1 )  一 1 ) ≤ 0 .  
解得 一   5≤n ≤1 +  
.  

.  

故n : b , 即知 e : √   .  
7. B.  

由 题 意 得 { : 譬  : :  
分别解两个不等式得 

所 以 , 实 数 n 的 取 值 集 合 是 【 一 丢   1 +  .  
1 0 . D.  

f 丁 a + l <   < 丁 b + l ,  

因为  - l - 面A B C, 则  上B C.   又B C J I A C , 故B C J I 面P A C.  
所以, 面P B C J I 面P A C .  

【   <   <   .  
因为 b —n> 2 , 则 
3 一   3 :

因为 A F J I P C , 则A F J I 面P B C , 有A F J I E F.  
又P A=A B=2 , A E J I 朋, 所以,   =   .  

!   =2 一   二 2 > , o u . ’  
3  

在I I t △A E F中,  
因为  +   :   =   )   =2 ,  
:1 .   .  

即 丁 a +l <b- 1 丁

.  

所以 , A F .   ≤  

所以, 不等式组的解为 

<  < 丁 b - 1
.  

因此 , s   =  

?   ≤   ×1 :   1
.  

因 此 , , (   ) 的 定 义 域 为 ( 丁 a + l ,  ) .  
8 . C .  

当 且仅当 A F=E F时, 上式中的等号成立, 即  

. s △  取 得最大 值去.  
. 解得  = l I l   .  
这时  A E ? E F=   :1 jE F:1 .  

设, , :  

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2 O O 5 年第 2 期  又  上面 P B C, A E _ I _ P B , 由三垂线定理的逆定 
理, 得 尼上咫 .  

2 9  

两式相乘, 并利用  2 +
=  

誓 = 1 , 消 去   。 、 y 0 有  

在R t △P E F中, 由P E= √ 2 , E F=1 , 知
t a n   O-  1 =  2 .  

, 

( a 2  

《  

二、 l 1 . 投资房地产 .  

— — — Ⅱ     _ :   ,   。 一   2 ) 、 : 一 一   ” ; ( , 。 … 2 一     ) 、  






 

购买股票盈利的期望值为  
0 . 3 × 1 0 + 0 . 5 × 3 + 0 . 2 ×( 一 5 ) = 3 . 5 ( 万元 ) .  

整理得  2
一  




1.

’  

投资房地产盈利的期望值为 
0 . 3 × 8 + 0 . 5 × 4 + 0 . 2 ×( 一 4 ) = 3 . 6 ( 万元) .  

三、 l 5 . 四 个式子由大到小的排序是 


所以, 合理的投资方案应该是投资房地产.  
1 2 .   1 1
.  

鲁 >  > 2 曲 .  
1   Ⅱ+b  

因为 6 >Ⅱ > 0 , 且 Ⅱ+b =1 , 所 以,  

旦 _ 4 二 _ .  : ( Ⅱ + b ) ( a 2 + b 2 ) : 0 , 2 + 6   ,  


。 



( s i n口一 c . 0 s 口 ) ( s i I   口+ s i n口 ? c 0 s 口+ o 0  口 )  
( s i n口 一c 0 s 口 ) ( 1 +s i n口 ? c 0 s 口 ) .  

( Ⅱ+b )  



—f


 

。  

已 知s i n 口 一 c 0 s 口 = {, 且  

由6 一( Ⅱ   +b   ) =b 一Ⅱ   一b   b ( 1 一b ) 一0 , 2 =Ⅱ ( b 一Ⅱ ) >0 ,  

(  口 一 c 0 s 口 )   =  口 一 2 s i n 口 ? c 0 s 口 +  口 = {,  

有 6 > Ⅱ   + 6   , 即 6 >   等 .  
由0 , 2 +6   >2 曲, 得2 ( 0 , 2 +b   ) >( Ⅱ +6 )   ,   则0 , 2 +6   >  



故s i n 口 。 c 0 s 口   专?  
从而 , 有s i   口一 c 0 6 3 口=   1 1
.  

, 即 
。  

,  

b  

Ⅱ+b  

1 3 . 0 . 6 5 .  

=  > T

将5 个小球分别放入 5 个盒子内的放法共有 
Ⅳ= 5   1=1 2 0 ( 种) .  

由口 +6 > 2 , / -  ̄,   1>  
>2 曲 .  


>   ,  

> 2 口 6 , 有 

,  

红球不在红盒 内且黄球不在黄盒内的放法分为 
两类 :  

( 1 ) 红球在黄盒内, 这时有放法 
1 1 . = 4   1=2 4 ( 种) ;  

所 

>  

>  

> 2 曲.  

( 2 ) 红球不在红盒内也不在黄盒 内时, 有放法 
:   =

1 6 . ( 1 ) 当/ 7 / , = 1 l 时, 即口 ? 西 =西 ? c = c 。 d = d 。 口 .  
由 口+西 +c+d =0 , 得 
西+d=一( 口+c ) .  

5 4 ( 种) ;  

红球不在红盒 内且黄球不在黄盒内, 共有放法 
1 l =1 l I +   = 2 4 + 5 4 = 7 8 ( 种) .  

因为 口 ? 西 +d ? 口=西 ? c +c ? d , E f f 以,  
口 ? ( 西+d ) =c ? ( 西 +d ) .  

所以, 红球不在 红盒 内且黄球不在黄盒 内的概  率为 
P=  1 l=   =0 6 5 .  


则口 ? ( a+c ) =c ? ( 口+c ) ,  
口2 + 口 ? C= 口? C + C 2
.  

因此 , 口   =c   , 即 
I 口I  = I   c I  . I 口I =I   c I .  

1 4 .  一 丢= 1 .  
设点 P 。 的坐标为(   。 , Y o ) , 则有 P 2 (   。 , 一Y o ) 、   A 。 ( 一n , 0 ) 、 A   ( n , 0 ) . A 。 P 。 昕在直线 的方程为 
y =   (  +n ) .  

同理可得 I 西l _I dI .  

故四边形 A B C D是平行四边形.  
又c o s ( 1 8 o  ̄ 一  曰 ) =  
=c 0 s ( 1 8 0  ̄ 一  C ) ,  

=  

A   P 2 所在直线的方程为 
’ , :—

所以,   B=   C .  

二  一 (  一Ⅱ )  
0 一 Ⅱ 

又由 船 ∥C D得  B+   C=1 8 0 " , 所以 ,  
B=   C=9 0  ̄ .  

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中 等 数 学 

因此, 四 边形 A B C D是矩形 .   ( 2 ) 当m ≠n 时, 四边形 A B C D是等腰梯形.  
由( 1 ) 得I aI =I   c ! ,   B=   C .   同理可得  A=   D.  
因此 ,   A+   B=   C+   D=1 8 0  ̄ .  

1 8 . ( 1 ) 如图3 , 联结 A P , 则  
m△ A D P   R t △ D C N.  

有  D A P=   c D Ⅳ,  
D A P+   A D N=   C D Ⅳ+   A D Ⅳ =9 0  ̄ .  

故A P j _ D N.  

敬  f { B c.  
下面用反证法证明 A D≠B C.  

又A , A 上平面 A B C D, A P是 A l   P在平 面 A B C D  

内的射影, 所以,  
A 1   P j _ D N.  

假设 A D=   , 测 四边形 A B C D是平行四边形.   由此得 a =一c , b =一d , 则 
a ? b =( 一c ) ? ( 一d ) =c ? d .  

同理 , A 1 P j _ D M.   因为 D M与D N相交于点 D, 所 以,  
A   P j _ 平面 D MN.  

因为 a ? b=m, c ? d=n , 则 m=n , 这与 m≠n  
矛盾 . 所以, A D≠B C.  

又I   aI -I   c   I , 则A B=C D.   所 以, 四边形 A B C D是等腰梯形 .   1 7 . ( 1 ) 由已知 3 t S 2 一( 2 t +3 ) S l = 3 t ,  
即 3 t ( 口 l +o - 2 ) 一( 2 £ + 3 ) 口 1 = 3 t .   由G 1 =1 , 解得 o - 2 =  
所以,   =   .  

注: 也可以建立坐标系利用向量证明.   ( 2 ) 如图5 , 联结 
A l   D、 曰 l   C , 曰 1   C 与 
C  

M N相交 于点 E, 联  结D E交 A . P于点 

.  

日 , 则A H 为四面体 
A , D M N的面 D M N  

C  

当r / , ≥2 时, 有 
3 t S   一( 2 t + 3 ) S   =3 t ,   3 t S   一( 2 t +3 ) S n 一 1 = 3 t .   ①一 ②得 3 t a   + l 一( 2 £ + 3 ) 口   = 0 .   ①  ② 

上的高.   因正方体的棱 
长为 2 , 则 
B 1 c=2   , C E=  1曰


图5  

c=  

.  

则 

=  

.   =   n ≥1 ) .  

在R t △C D E中, 有 
D E: D C 2 +C E 2 :  
.  

综上所述 , 知 

因此, { o   } 是等比 数列.  
( 2 ) 由( 1 ) 知  £ ) =百 2 - t + 3


因为 R t △D H PC O   R t △D C E, 所以,   则 
l i P
一 一  

C E —D E‘  

1 ,  斗 2 . - - Y + 3 : 了 2  

P =了 从而 , 艘 =— C E 丽 " D 1


.  

...  

又A , P=  

: 3 ,  
口 

所以 , b   一b  , =   ( n =2 , 3 , …) .  

所以 , A 1 日= T  .  

因此, { b   } 是等差数列, 且 

在△D M N中, 由D M= D N , M N:  
=   ,



 

b l = 1 , d = b   一 b  = 鲁.  

且 E是 M N的中点 , 有D E _ J _ M N. 则 

故b   : b , + ( n 一 1 ) d :  n + { .  
( 3 ) b l   b 2 — 6 2   6 3 + b 3   b 4 一 b 4 b 5 + …+ b 2   一 l   b 2   一 b 2  ̄ b 2  


s  = 丢 删 ? D E =   3 .  

b 2 ( b l — b 3 ) + b 4 ( b 3 一 b 5 ) + …+ b 2   ( b 2   一 l — b 2   + 1 )  


故   面 帕 , 湖 = 号 × 导 × 号 = 导 .  
1 9 . 显然有  3 . 6 o < a=   <1 8 0  ̄ .   ① 
( 下转 第 4 2页)  



÷ ( 6 2 +  

一 争  
J     :一可 8  , 一 了 4  
  一可 n ‘ 一 了n ?  
.  

了  丁 :一了 4.  \

一了 。 ——— 一

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4 2  
所以 , △ C D NG O A  C B T .   因此 , . s  

中 等 数 学 
:百 1. D M. M N:   1× 6 × 8 :2 4
.  

故面 D N:  
DN? C B= C D‘ T B.  

三、 设这个四位数为n   . 由题意 , 得 
1   0 0 0 a+1 0 0 b+1 0 c +d+0+b+c +d=2   O 0 4 ,  

因此 , D N? C B=C N? A B .  

即  1   0 0 1 0+1 0 1 6 +1 1   c +2 d =2   0 0 4 .   显然 0=1 或2 , 否则 t   0 0 1 0 >3   0 0 0 .  

① 

( 2 ) 因为 Ⅳ为B M的中 点, 则B N =M N= 6 .   又D M ∥A B , 所以,  D M B = 9 0 o .   如图 5 , 过 A作A G 上M D交 M D的延长线于点 
G , 延长 D N交 仙 的延长线于点 F , 设 E为 A D的中 
点, 联结 E F .   因为  A D N:  B A D, 所 以, E F 上A D.   因为  A B C:   D M B=   A G D=9 o 。 , A B=B M  :1 2 . 所以. 四边形 A B M G为正方形 .  
由于  G  :  A F E , 所以,  
A  A G D∽ △ F E A.  

( 1 ) 当o =1 时, 式①两边 同时减去 1   0 0 1 , 得 
1 0 1 b+1 1 c+2 d= 1   0 0 3 .  

因为1 1 c + 2 d 的最大值为9 9 + 1 8 = 1 1 7 , 故1 0 1 b  
≥8 8 6 , 所以, b =9 . 从而 , 有 
l 1 c+2 d:1   0 o 3—9 0 9 =9 4 .  

由于 0 ≤2 d ≤l 8 , 则有 9 4 —1 8 ≤1 1 c ≤9 4 .   故c = 7 或8 .  

,  

当c =7时 , 1 1   c +2 d =7 7 +2 d=9 4 , 得 d=  
( 舍去 ) ;   当c =8 时, 1 1 c + 2 d = 8 8 + 2 d = 9 4 , 得d =3 .  

故  =   A D


即 
.  

M) 2 :2 C , D? A F

① 

此时 , 这个四位数为 1   9 8 3 .   ( 2 ) 当o =2 时, 式①两边同时减去 2 I ) 0 2 , 得 
1 01 b+ l 1 c+2 d=2.  

设B F:D M:  , 则 
A ,= 1 2+  . G D =1 2 一  .  

由勾股定理 , 有 
D   :1 2 7 +( 1 2 一  )   .  

所以, b = 0 , c = 0 .   故d =1 .  

代入式① , 得 
1 2 2 +( 1 2 一  )   =2 ( 1 2 +  ) ( 1 2 一  ) .   解得  :8 .  

此时 , 这个四位数为 2   0 0 1 .  

综上所述, 所求的四位数为 l   9 8 3 和2 ( 1 0 1 .  
( 杨 晋 安徽省芜湖市第 l 3中学, 2 4 1 0 0 2 )  

( 上接第 3 O页)   这里 n是 当指针第一次 回到其初始位 置时已  经转过的圈数 .  

问题成为求满足上述两个条件的所有 n 的个数.  
因为 2   0 0 4 =  × 3   X   1 6 7 ,   所以, ( n , 2   O 0 4 ) =l 甘外n , 3 1 , n , l   n .  

因n 是正整数, 式①整理后可得 
2 1 ≤ n≤1   0 o 1 .  

在不大于 1   0 0 1 的正整数中, 不能被 2 或3 整除  
的正整数共有 

同时 n必与 2   O 0 4 互质 , 即( n , 2   O 0 4 ) =1 .  

设d = ( n , 2   0 o 4 ) . . 若有 d > 1 , 则令 
n   2   O 0 4  

.  

- 0 0 1 一 ( 【  】 + 【  】 一 【  】 )  


1   0 0 1 一( 5 0 0 +3 3 3 —1 6 6 ) =3 3 4 ( 个) .  

-  

,  

r‘  
.  

( 符号[ o ] 表示不超过 。 的最大整数. )  
其中只有 1   X   1 6 7 及5   X   1 6 7能被 1 6 7整 除, 所 

此时有 口 :— n l   x — 3 (  ̄
, l 2  

以, 不大于 1   0 0 1 且满足条件的 n 共有 3 3 4 — 2 : 3 3 2  
个. 再去掉 1 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9这 7 个不 大于 2 0的 

这意味着指针转动 n   次, 每次转动角.   , 指针  则旋转 n 。 圈之后, 回到其初始位置, 与题设矛盾.  
由上述讨论可知 , 对任一满足 2 1 ≤n ≤1   0 0 1 , 且  ( , l , 2 O 0 4 ) =1 的n , 对应一个可能的 a . 反之亦然 . 故 

数, 知同时满足两个条件的 n 共有 3 3 2 — 7 : 3 2 5 个.  
因此 , a共有 3 2 5 个可能的不同值 .  

( 李耀文 提供)  


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