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高中数学必修5教学课件


A 等比数列

×

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7 8

情景展示(1)
左图为国际象棋的棋盘,棋 盘有8*8=64格
国际象棋起源于印度, 关于国际象棋有这样一个传说,国 王要奖励国际象棋的发明者,问他 有什么要求,发明者说:“请在棋 盘上的第一个格子上放1粒麦子, 第二个格子上放2粒麦子,第三个 格子上放4粒麦子,第四个格子上 放8粒麦子,依次类推,直到第64 个格子放满为止。” 国王慷慨地 答应了他。你认为国王有能力满足

上述要求吗?

8

7

6

5

4

陛下,赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放1颗麦粒 子放4颗麦粒 就可以。 请在第二个格 子放8颗麦粒 依次类推……
子放2颗麦粒

8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐? 1 3 2 1

OK

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子

2

0

1

2 2 18446744073709551615

2

1

2

3

?? ?63 2

猜一猜

庄子 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

某种汽车购买时的价格是36万元,每年 的折旧率是10%,求这辆车各年开始时的价 格(单位:万元)。 各年汽车的价格组成数列:

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

比一比
(1)
(2) (3)
(4)

1, 2, 2 , 2 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

2

3

……

, 2

63

9,92,93,94,95,96,

9

7

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

共同特点?从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数。

等比数列定义
一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它 的前一项的 比 等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫 做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示。

其数学表达式:

an ? q(n ? 2) an?1



an?1 * ? q(n ? N ) an

an ? 0

注意:
公比q能不能是零?

不能!!

例:求出下列等比数列中的未知项.

1 (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c, 2 a 8 ()根据题意,得 ? 解: 1 2 a

=q

解得

a=4或a=-4

( )根据题意,得 2

c ?b ? - 4 ? b =q ? ?1 ?2 c ? ? =q ?c b

解得

?b ? 2 ? ?c ? ? 1

观察数列 ( 1) (2) (3)

2,4,8,16,32,64.

公比 q=2 递增数列

1,3,9,27,81,243,… 公比 q=3 递增数列
1 1 1 1 , , , ,? 公比 2 4 8 16

1 q= 递减数列 2

(4) 1,-1,1,-1,1,… (5)

公 比q= -1 摆动数列

5,5,5,5,5,5,… 公比 q=1 非零常数列

以上6个数列的公比分别为…

an ?1 ? q (是与n无关的数或式子, 且q ? 0) an

练一练
1、判别下列数列是否为等比数列?
2 1 …… (1) 2 , 1, , , 是 2 2 不是 (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……
(3)2, 2, 2, 2, …
(4)1, 0, 1, 0 ……
2 2

q=

是 不是

q= 1

2、指出下列数列是不是等比数列,若是, 说明公比;若不是,说出理由. (1) 1,2, 4, 16, 64, … (2) 16, 8, 1, 2, 0,… 不是 不是

(3) 2, -2, 2, -2, 2
(4) a, a, a, a, a …


不一定

a?0





等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2 起,每一项与前一项 项起,每一项与它前 的差等于同一个常数,一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列 的公比,用q表示 表示

数学式 子表示

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

a n?1 ?q an

通项公式

?

二、等比数列的通项公式
如果一个数列

a1 , a2 , a3, ? an
2

是等比数列,它的公比是q,那么

a2 ? a1 ? q
a3 ? a2 ? q ? a1 ? q a4 ? a3 ? q ? a1 ? q 3 a5 ? a4 ? q ? a1 ? q
······· ······· ······ 由此可知,等比数列
4

不完全 归纳法

?an ? 的通项公式为

an ? a1 ? q n ?1

当q=1时,这是 一个常函数。

an ? 0

求下列等比数列的第4,5项: (1) 5,-15,45,…

an ? a1 ? q

n ?1

a4 ? 5 ? (?3)

4 ?1

a5 ? 5 ? (?3)5?1 ? 405 . ? ?135,

( 4)
a4 ?

2 ,1,

2 ,? 2
4 ?1

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

1 ? , a5 ? 2

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

5?1

2 ? , 4

例.一个等比数列的第3项和第4项分别是12
和18,求它的第1项和第2项.
解 :用{an} 表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有

a3 ? 12, a4 ? 18,
?a1q ? 12 即? 3 ?a1q ? 18 3 16 解得 q? a1 ? 2 3 因此, a ? a q ? 16 ? 3 ? 8 2 1 3 2
2

an ? a1 ? q

n ?1

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与8. 3

练习.等比数列中 {an } a2 ? 8, a5 ? 27,

求 a1 , a7
解:设这个等比数列的首项为a1,公比为q 则 {
a1q ? 8(1)
4

a1q ? 27(2)

(2) ? (1)

得:q=

3 (3) 2

将(3)代入(1)得:
n ?1

16 a1 ? 3

16 3 n ?1 ? an ? a1q ? ? ( ) 3 2 16 3 6 243 6 ? a7 ? a1q ? ? ( ) ? 3 2 4

三、等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1, , 9 ±3 ±6 (3)-12, ,-3


(2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

G b 2 ? ? G ? ab ? G ? ? ab a G

练习:求等比中项 (1)7 ? 3
2

5与7 ? 3

5

(1) ? G ? (7 ? 3 5 )(7 ? 3 5 ) ? 4

?G ? ?2

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0

四、等比数列的图像


数列:1,2,4,8,16,… 2


n

y?2
5 6 7 8 9

x

● ● ●

1

2

3

4

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

(2)数列:


1 1 1 8,4,2,1, , , , ? 2 4 8



● ● ●

1 x y ? a *( ) 2


? 的图象是其对应的 结论: 等比数列 an ?
函数的图象上一些孤立 的点

1

2

3

4

5

6



7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等比数列的图象3
数列:4,4,4,4,4,4,4…





















1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等比数列的图象4
数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,…

y ? sin x
● ● ● ● ●

1

2


3

4


5

6


7

8


9

10


等比数列的图像,表示这个数列的各点均在 函数的图象上的一些孤立点.

接轨生活

世界杂交水稻之父—袁隆平

从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多 亩,增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ,并认为是解决 下个世纪世界性饥饿问题的法宝。

巩固 应用
例2
袁隆平在培育某水稻新品种时,培育出第一代 120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒 种子都可以得到下一代的120粒种子,到第5代时大 约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两位有 效数字)?

解:由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍,
因此,逐代的种子数组成等比数列,记为 ?an ?

其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此a5 ? 120 ?120 5?1? 2.5 ?1010
答:到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.

小 结:
知识内容 等比数列的 概念。 研究方法 类比 思想方法 方程的思想。

习题2.4

第1、7(2)、8(1)题

等比数列的通项公式作业


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