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第04讲 集合的概念与运算


第 4 讲 集合的概念与运算
本讲内容包括集合及其性质(集合的元素满足确定性、互异性、无序性) ;元素与集合、 集合与集合的关系(属于、包含、子集、空集、全集) ;集合的运算(交、并、补)及容斥原 理等。 “交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集 合语言描述数学现象,或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一

些常用的性质和公式: 若 A ? B ? B ,则 B ? A ; 若 A ? B ? B ,则 A ? B ;

A? B ? B ? A; A? B ? B ? A;

( A ? B) ? C ? A ? (B ? C ) ; ( A ? B) ? C ? A ? (B ? C ) ;

A ? (B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; A ? (B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ;
[I ( A ? B ) ? [I A ? [I B ; [I ( A ? B ) ? [I A ? [I B .

容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时,为了便于计算,常常通过计算 它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此 类计数公式通称为容斥原理。“容”意指这些子集的并集是原集合,“斥”意指这些子集中两两交 集不是空集时,需要将重复的元素个数排斥掉。 通常以 | X | 表示有限集合 X 中元素的个数,参照 Venn 图可以得到如下计数公式:

| A ? B |? | A | ? | B | ? | A ? B |
A B

| A? B ? C |? | A|? |B |? |C | ? | A? B |? |B ? C |? |C ? A| ?| A? B ?C | ??
A C B

A 类例题 例 1 已知数集 A ? { a ? 2 , ( a ? 1) , a
2 2

? 3a ? 3 } ,

B ? { a ? b , 1, a ? b ? 5}。
若 A ? B ,求实数 a , b 的值。 分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序

性,集合 A 中三个元素有且仅有一个为 1。椐此可求出 a ,进而求出 b 。 解 由 A ? B ,得1 ? A 。

a ? 2 ? 1 ? a ? ?1 ; ( a ? 1) a
2 2

? 1 ? a ? 0 或 a ? ?2 ;

? 3a ? 3 ? 1 ? a ? ?1 或 a ? ?2 .

由 集 合 A 中 三 个 元 素 有 且 仅 有 一 个 为 1 , 得 a ? 0 , A ? {1 , 2 , 3} ,

B ? {1 , b , 5 ? b } 。
由 A ? B ,得 b ? 2 或 b ? 3 。 因此,所求实数为 a ? 0 , b ? 2 或 a ? 0 , b ? 3 。 例2 集合 M ? { u | u ? 12 m ? 8 n ? 4 l ,

m, n,l? Z } p,q,r?Z}
( )

N ? { u | u ? 20 p ? 16 q ? 12 r ,
的关系是

A M ? N

B M ? N

N ? M

C M ? N

D M ? N

(1989 年全国高中联赛) 分 析 1 通过化简,认识这两个集合中元素的特征,进而作出判断。 解 1 12 m ? 8 n ? 4 l ? 4 ( 3 m ? 2 n ? l ) ,而 3 m ? 2 n ? l 可取任意整数,得集 合 M 表示 4 的倍数的集合,即 M ? { u | u ? 4 k , k ? Z } 。

20 p ? 16 q ? 12 r ? 4 ( 5 p ? 4 q ? 3 r ) , 设 p ? ? q ? k , r ? 0 , 得 N ? {u | u ? 4 k , k ? Z } 。
所以, M ? N ,应选 A 。

分析 2 本题供选择的结论中,均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的 一般方法是“若 a ? A ? a ? B ,则 A ? B ”;证明集合相等关系的一般方法是“若

?A ? B , 则 A ? B ”。 ? B ? A , ?
解 2 若 u ? M ? u ? 12 m ? 8 n ? 4 l 。 设 m ? r , n ? 2 q , l ? 5 p , 则

u ? 20 p ? 16 q ? 12 r ? N ? M ? N 。
若 u ? N ? u ? 20 p ? 16 q ? 12 r 。 设 p ? ? q ? 2 n ? l , r ? m , 则

u ? 12 m ? 8 n ? 4 l ? M ? N ? M 。
由?

?M ? N ?N ? M

? M ? N 。所以应选 A 。
2 2

例 3

已 知 M ? {( x , y ) | y ? x } , N ? {( x , y ) | x

? ( y ? a)

2

? 1} ,

A ? M ? N 。
(1) 若 | A | ? 3 ,求实数 a 的值; (2) 若 A ? ? ,求实数 a 的取值范围。 分析 首先应对题中的集合语言进行解读。M ? N ,意为由集合 M , N 分别表示的

两个方程组成的方程组的解集。 (1)是求实数 a 的值,使上述方程组有 3 解; (2)是求实数 a 的取值范围,使上述方程组无解。

?y ? x2 , ? 2 2 ? y ? ( 2 a ? 1) y ? a ? 1 ? 0 解 由? 2 2 ?x ? ( y ? a) ? 1, ?

(*)

? ? ( 2 a ? 1) ? 4 ( a
当a ?

2

2

? 1) ? 5 ? 4 a 。

5 4

时, ? ? 0 ,原方程组无解;

当a ?

5 4

时, y ?

3 4

? x ? ?

3 2

,原方程组有两解;

当a ?

5 4

时, ? ? 0 ,方程(*)有两个不等的实根 y 1 , y 2 。

由x

2

? y ? 0 ,得方程(*)两根中,一根为正数另一根为 0 时,原方程组有 3 解;方

程(*)两根均为负根时,原方程组无解。 由a
2

? 1 ? 0 ? a ? ? 1 ,经验算, a ? 1 时,原方程组有 3 解;

?? ? 0 ? 由 ? 2 a ? 1 ? 0 ? a ? ? 1 ,即 a ? ? 1 时,原方程组无解。 ? 2 ?a ? 1 ? 0
所以,若 | A | ? 3 ,实数 a ? 1 ; 若 A ? ? ,实数 a 的取值范围是 a ? ? 1 或 a ?

5 4



情景再现
1.已知数集{ 0 , ? 1 , 2 a } ? { a ? 1 , ? | a | , a ? 1} ,求实数 a 的值。 (1999 年第十届“希望杯”高一) 2.若 A ? { x | 0 ? x
2

? ax ? 5 ? 4 } 是单元素集合,则实数 a 的值为
( )

A

? 2 3

B

? 2

C

?3

D

不存在这样的实数

(1990 年江苏省数学竞赛) 3 . 数 集

X ? { x | x ? ( 2 n ? 1 )? , n ? Z }


与 )





Y ? { y | y ? ( 4 m ? 1)? , m ? Z } 之间的关系是 A X ? Y B X ?Y C X ?Y D

X ?Y

(1984 年全国高考题)

B 类例题 例 4 设集合 A , B , X 满足: A ? X ? B ? X ? A ? B ,

A? B ? X ? A? B。
若 A , B 为已知集合,求集合 X 。 分析 在研究集合之间的运算时,应理解集合运算的意义并注意应用运算的性质。 解1 由 A ? B ? X ? A ? B ? X ? A ? B 设 x ? X ? x ? A ? B ? x ? A 或x ? B 因为 x ? X ,得

?x ? A ?x ? B 或 ? ,即 x ? ( A ? X ) ? ( B ? X ) ? A ? B 。 ? x? X x? X ? ?
由 x ? X ? x ? A ? B ,得 X ? A ? B 。 又

A? X ? A? B ? A? B ? X

所以, X ? A ? B 。 解2 由 A ? B ? X ? A ? B ? X ? A ? B , 所以, X ? X ? ( A ? B ) ? ( A ? X ) ? ( B ? X ) ? A ? B 。 例 5 已知集合 A ? { x ? R | x
2

? ( a ? 2 ) x ? 2 a ? 4 ? 0} , ? ( 2 a ? 3) x ? 2 a
2

B ? {x ? R | x

2

? a ? 3 ? 0} ,

若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围 。 分析 由题意,两个一元二次方程
2

x

2

? (a ? 2) x ? 2a ? 4 ? 0 和

x

2

? ( 2 a ? 3) x ? 2 a

? a ? 3 ? 0 中,至少有一个方程有实数解。采用直接方法是求

两个方程有解集合的并集;或采用间接方法是求两个方程无解集合的交集的补集。 解 1 由二次方程 x
2 2

? ( a ? 2 ) x ? 2 a ? 4 ? 0 ,得
2

?1 ? (a ? 2) ? 4(?2a ? 4) ? a
由二次方程 x
2

? 4 a ? 12 ? 0 ? a ? ? 6 或 a ? 2 ;
2

? ( 2 a ? 3) x ? 2 a

? a ? 3 ? 0 ,得

? 2 ? ( 2 a ? 3) ? 4 ( 2 a

2

2

? a ? 3) ? ? 4 a

2

? 8 a ? 21 ? 0 ? ?

7 2

? a ?

3 2



由 A ? B ? ? ,得所求实数 a 的取值范围是

{ a | a ? ? 6 或 a ? 2} ? { a | ? ? {a | a ? ? 6 , ?
解2 由解 1,得

7 2

? a ?

3 2

}

7 2

? a ?

3 2

或 a ? 2} .

?? 6 ? a ? 2 ??1 ? 0 7 3 ? ? ? ? 7 3 ? M ? { a | ? 6 ? a ? ? 或 ? a ? 2} 。 2 2 ?? 2 ? 0 ?a ? ? 或 a ? ? 2 2
由 A ? B ? ? ,得所求实数 a 的取值范围是 [R M ? { a | a ? ? 6 , ?

7 2

? a ?

3 2

或 a ? 2} .

例 6 不大于 1000 的自然数中,既不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数共有多少个? 分析 若不大于 1000 的自然数集合为全集 I ,其中 3 的倍数的集合为 A ,5 的倍数的

集合为 B 。则要求的是|[I ( A ? B ) |。 解 设不大于 1000 的自然数集合为全集 I ,其中 3 的倍数的集合为 A ,5 的倍数的集

合为 B ,则

| A|?[

1000 3

] ? 333 , | B | ? [

1000 5

] ? 200 , | A ? B | ? [

1000 15

] ? 66 。

因此, | A ? B | ? | A | ? | B | ? | A ? B | ? 333 ? 200 ? 66 ? 467 。 所 以 , 不 大 于 1000 的 自 然 数 中 , 既 不 是 3 的 倍 数 , 也 不 是 5 的 倍 数 共 有 |[I ( A ? B ) | ? 1000

? | A ? B | ? 533 (个) 。

情景再现
4 . 已 知 A ? {x | x
2

? ax ? a

2

? 19 ? 0 } , B ? { x | x

2

? 5 x ? 6 ? 0} ,

C ? {x | x

2

? 2 x ? 8 ? 0 } ,且 A ? C ? ? ,

(1)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围。 5.若非空集合 A ? { x | 2 a ? 1 ? x ? 3 a ? 5} , B ? { x | 3 ? x ? 22 } ,则能使

A ? A ? B 成立的所有 a 的集合是
A { a | 1 ? a ? 9} B { a | 6 ? a ? 9}





C { a | a ? 9}

D ?

(1998 年全国高中数学联赛) 6.某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计:数学有 21 人优秀,物理有 19 人优秀,化学有 20 人优秀,数学和物理都优秀的有 9 人,物理和化学都优秀的有 6 个,数 学和化学都优秀的有 8 个。若该班有 7 人数学、物理、化学三科中没有一科优秀,试确定该 班总人数 S 的范围及仅数学一科优秀的人数 x 的范围。 C 类例题 例 7 设 a , b ? R , A ? {( x , y ) | x ? n , y ? an ? b

n ? Z},
2

B ? {( x , y ) | x ? m , y ? 3 m C ? {( x , y ) | x
2

? 15

m ? Z},

? y

2

? 144 } ,

是平面 XOY 内的点集,讨论是否存在 a , b 使得 (1) A ? B ? ? ; (2) ( a , b ) ? C 同时成立。 (1986 年全国高考题) 分析 首先应对题中的集合语言进行解读。 A ? B ? ? ,意为由集合 A , B 分别表示

的两个方程组成的方程组有整数解; ( a , b ) ? C ,则给出了 a , b 的允许值范围。 解 集 合 A , B 可 分 别 化 简 为 A ? {( x , y ) | y ? ax ? b
2

x ? Z} ,

B ? {( x , y ) | y ? 3 x
? y ? ax ? b ? 2 ? y ? 3 x ? 15

? 15

x ? Z}。

?

3x

2

? ax ? 15 ? b ? 0 ,

? ? a

2

? 12 (15 ? b ) ? 144 ? b 3 (a
2

2

? 180 ? 12 b ? ? ( b ? 6 )

2

仅当 b ? 6 且 a ? ? 6

?b

2

? 144 ) 时, ? ? 0 ,方程组有解。此时,原方

程组的解为 ?

?x ? ?

3 ,

? y ? 24 .

由于,原方程组的解不是整数解,所以满足条件的实数 a , b 不存

在。 例 8 一次会议有 2005 位数学家参加,每人至少有 1337 位合作者,求证:可以找到 4 位 数学家,他们中每两人都合作过。 分析 按题意,可以构造一种选法,找出符合条件的四位数学家。 解 由题意,可任选两位合作过的数学家 a , b ,设与 a 合作过的数学家的集合为

A ,与 b 合作过的数学家的集合为 B 。则 | A |? 1337 ,
| B |? 1337 。又 | A ? B |? 2005 。于是,

| A ? B | ? | A | ? | B | ? | A ? B | ? 1337 ? 1337 ? 2005 ? 669 。
因此,在集合 A ? B 中,有数学家且不是 a , b 。从中选出数学家 c ,并设与 c 合作过 的数学家的集合为 C 。则 | ( A ? B ) ? C |? 2005 , | C |? 1337 。于是,

| A ? B ? C |? | A ? B | ? | C | ? | (A ? B) ? C | ? 669 ? 1337 ? 2005 ? 1
因此,在集合 A ? B ? C 中 ,有数学家且不是 a , b , c 。又可从中选出数学家 d 。则 数学家 a , b , c , d ,他们中每两人都合作过。即原命题得证。

情景再现
7.设 f (x) ? x
2

? bx ? c ( b , c ? R ) , A ? { x | x ? f ( x ) , x ? R } ,

B ? { x | x ? f ( f ( x )) , x ? R } 。若集合 A 是单元素集,则 A ? B 。
8.计算不超过 120 的合数及 质数的个数。

习题 4
1.已知集合 M ? { x | x ? t
2

? 4t ? 2 , t ? R } , ? 4x ? 2 , x ? R },
2

N ?{y| y ? x

2

P ? { (x , y) | y ? x

? 4x ? 2 , x ? R },

则集合 M , N , P 的关系是



)[来源:Zxxk.Com]

A C

M ? N ? P M ? N ? P
能够推出

B D

M ? N ? P M ? N ? P
( )

2.由 P ? M ? P ? N

A C

M ? N P ? [I M ? P ? [I N

B D

P ? M ? P ? N [I P ? M ? [I P ? N
2

(1985 年上海数学竞赛) 3. a ? R, A ? { x ? R | | x ? a |? 1} , B ? { x ? R | | x ? 1 |? a } 。 A 不是 B 设 若 的真子集,则 a 的取值范围是
A ?1? a ?1 B a ? ?2 或 a ? 1

(

)
D ?2 ? a ? 0

C ?2 ? a ?1
2

4.已知 A ? {( x , y ) | y ? ax ? 1} , B ? {( x , y ) | y ? x } ,又 A ? B ? ? ,求实数

a 的取值范围。
5. 设 A ? { x | ? 2 ? x ? a } , B ? { y | y ? 2 x ? 3 , x ? A } ,

C ? { z | z ? x , x ? A } 且 C ? B ,求实数 a 的取值范围。
6. 设 M ? { a | a ? x
2

2

? y

2

, x , y ? Z } ,求证:

(1) 一切奇数属于 M ; (2) 形如 4 k ? 2 ( k ? Z ) 的数不属于 M ; (3)

M 中任意两个数的积仍属于 M 。

7. 设 A ? { n | 100 ? n ? 600 , n ? N } ,则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整 除的数的个数为__________。 (1994 年江苏省数学竞赛) [来源:学科网 ZXXK] 8.已知对任意实数 x ,函数 f ( x ) 都有定义,且 f
2

2

x 2 ( x ) ? 2 x f ( ) ,如果集合 2

A ? { a | f ( a ) ? a } 不是空集,试证明 A 是无限集。 (1994 年江苏省数学竞赛)
9.设 A , B 是坐标平面上的两个点集, C r ? {( x , y ) | x
2

? y

2

? r } ,若对任何

2

r ? 0

都有 C r ? A ? C r ? B ,则必有 A ? B 。 (1984 年全国数学联赛)

此命题是否正确?

10.设 S 为满足下列条件的有理数集合: (1)若 a ? S , b ? S ,则 a ? b ? S , ab ? S ; (2)对任意一个有理数 r ,三个关系 r ? S , ? r ? S , r ? 0 有且仅有一个成立。 证明: S 是由全体正有理数组成的集合。 (1972 年奥地利数学竞赛)

答案 情景再现[来源:学科网 ZXXK] 1. 设 a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ,经检验符合题意;

? | a | ? 0 ? a ? 0 ,经检验不合题意;
a ? 1 ? 0 ? a ? ? 1 ,经检验符合题意。
故所求的值为 a ? ? 1 。

? x 2 ? ax ? 5 ? 4 ? 2. 集合 A 表示不等式组 ? 的解集。当两个不等式的解集有共同的边界 ? x 2 ? ax ? 5 ? 0 ?
点,或者两个不等式的解集中,有一个是单元素集时,不等式组解集有可能为单元素集。 由此,不等式 x
2

? ax ? 5 ? 4 可化简为 x

2

? ax ? 1 ? 0 ,当 a ? ? 2 时 ,此不等

式的解集为单元素集。故应选 B 。 3. 由 2 n ? 1 ( n ? Z ) 与 4 m ? 1 ( m ? Z ) 都表示全体奇数,所以, X ? Y 。故应 选C 。 4.

B ? {x | x C ? {x | x

2

? 5 x ? 6 ? 0} ? { 2 , 3 } , ? 2 x ? 8 ? 0} ? { ? 4 , 2 } 。
,得 3 是集合 A 的元素。将 3 代入方程

2

(1) 由 A ? C ? ? 且 A ? B ? ?

x

2

? ax ? a

2

? 19 ? 0 , 得 a

2

? 3 a ? 10 ? 0 , 解 此 方 程 得 a ? ? 2 或

a ? 5 。经检验,所求实数 a 的值为 a ? ? 2 ;
(2) 由 A ? B ? A ? A ? B ,又 A ? C ? ? ,所以集合 A 为 ? 或 { 3} . 由 (1) A ? { 3} 不可能。当 A ? ? , 则 ,

? ? a

2

? 4(a

2

? 19 ) ? 0 ? a ? ?

2 57 3

或 a ?

2 57 3

.

因此,所求实数 a 的取值范围是 a ? ?

2 57 3

或 a ?

2 57 3



5.

A ? A ? B 即 A ? A ? B 。因此,
?2a ? 1 ? 3 ? ? 3 a ? 5 ? 22 ? 1 ? a ? 9 。所以,应选 A 。

6.



A ? {该班数学成绩优秀的学生} B ? {该班物理成绩优秀的学生}
C ? {该班化学成绩优秀的学生}



| A | ? 21 ,

| B | ? 19 ,

| C | ? 20 ,

| A? B |? 9,

|B ?C |? 6,

|C ? A|? 8 ,

| A? B ?C |? k .

| A? B ? C |? | A|? |B |? |C |? | A? B |? |B ? C |? |C ? A| ?| A? B?C | ? 21 ? 19 ? 20 ? 9 ? 6 ? 8 ? k ? 37 ? k .
由 A ? B ? C 是 A ? B , B ? C , C ? A 的子集,得[来源:Zxxk.Com]

k ? min{ 9 , 6 , 8 } ? 0 ? k ? 6 。
因此, 37 ? 0 ? 7 ? S ? 37 ? 6 ? 7 ? 44 ? S ? 50 。

x ? | A ? [I B ? [I C | ? | A ? [I (B ? C ) | ?| A? B ?C |?|B ?C | ? | A ? B ? C | ? (| B | ? | C | ? | B ? C |) ? 37 ? k ? (19 ? 20 ? 6 ) ? k ? 4
因此, 4 ? x ? 10 。 所以,该班总人数 S 的范围是 44 ? S ? 50 ;

仅数学一科优秀的人数 x 的范围是 4 ? x ? 10 。 7. 若集合 A 是单元素集,设 A ? {? } 即 f ( x ) ? x ? ( x ? ? ) ,则
2

f (x) ? (x ? ? ) ? x ,

2

f ( f ( x )) ? x ? [( x ? ? ) ? x ? ? ] ? ( x ? ? ) ? x ? x ? ( x ? ? ) [( x ? ? ? 1 ) ? 1 ] ? ? ?
8.
2 2

2

2

2

( x ? ? ? 1) ? 1 ? 0 f ( f ( x )) ? x ? 0 ? x ? ? . B ? {? } ? A .
120 ? 11 ,因此不超过 120 的合数必 定是质数 2,3,

2

不超过 120 的合数的质因数 ? 5,7 的倍数。

设 I ? { n ? N | 1 ? n ? 120 } ,

A ? { I 中 2 的倍数 C ? { I 中 5 的倍数

}, },

B ? { I 中 3的倍数 }, D ? { I 中 7 的倍数 } 。[来源:Zxxk.Com]

| A|?[


120 2 120 5

] ? 60 , ] ? 24 ,

|B |?[

120 3 120 7

] ? 40 , ] ? 17 ,
120 3?5

|C |?[

|D |?[

| A? B |?[

120 2?3 120

] ? 20 ,

|B ?C |?[

]? 8,

| A?C |?[

2?5 120 2?7

] ? 12 ,

|B ? D |?[

120 3? 7 120 5?7

]? 5,

| A? D |?[

]? 8,

|C ? D |?[

]? 3,

| A? B ?C |?[ | A?C ? D |?[ | A? B ? D |?[

120 2?3?5 120 2?5?7 120 2?3? 7
120 3?5? 7

]? 4, ]?1, ]? 2,

|B ?C ? D |?[

]?1, 120

| A? B ?C ? D |?[

2?3?5? 7

]? 0.

不超过 120 且是 2,3,5,7 的倍数共有

60 ? 40 ? 24 ? 17 ? 20 ? 12 ? 8 ? 8 ? 5 ? 3 ? 4 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 93 .
所以,不超过 120 的合数共有 93 ? 4 ? 89 (个) (除去四个质数) ; 不超过 120 的质数共有120 ? 89 ? 1 ? 30 (个) 不是质数) (1 。

习题 4 1. 由x
2

? 4 x ? 2 ? ( x ? 2)

2

? 2 ? ? 2 ,得 M ? N ? ( ? ? , ? 2 ] 。又集合

M , N 表示数集, P 表示点集,所以, M ? N ? P 。故应选 B 。
2. 解 1 设 P ? {1 , 2 , 3 , 4 } , 则P ? M ? P ? N 。 经验算, A , B , C 均不正确,所以,应选 D 。 解 2 由 P ? M ? P ? ([ I P ? M ) , 所以, [ I P ? M ? [ I ? N 。故应选 D 。 3.

M ? {1 , 5} ,

N ? { 2 , 5} ,

P ? N ? P ? ([ I P ? N ) ,

A ? { x ? R | | x ? a |? 1} ? [ a ? 1 , a ? 1] ,

B ? { x ? R | | x ? 1 |? a } ? [1 ? a , 1 ? a ].

2

2

2

?a ? 1 ? 1 ? a 2 , ?a ? 1 ? 1 ? a 2 , ? ? 或 ? 若 A 是 B 的真子集,则 ? ?a ? 1 ? 1 ? a 2. ?a ? 1 ? 1 ? a 2. ? ?
解得 a ? ? 2 或 a ? 1 。所以,若 A 不是 B 的真子集,则 ? 2 ? a ? 1 。故应选 C 。

4.

? y ? ax ? 1 由题意,方程组 ? 无解。 2 y ? x ? ? y ? ax ? 1 ?y ? x
2
2

由方程组 ?

?

x

2

? ax ? 1 ? 0 ,得

? ? a

?4 ? 0

?

? 2 ? a ? 2.

所以实数 a 的取值范围是 ? 2 ? a ? 2 。 5.

B ? { y | y ? 2 x ? 3 , x ? A} ? [ ? 1 , 2 a ? 3 ] ,

?[ a 2 , 4 ] , ? 2 C ? { z | z ? x , x ? A } ? ?[ 0 , 4 ] , ? 2 ?[ 0 , a ] ,
当 ? 2 ? a ? 0 时, 2 a ? 3 ? 4 ?

? 2 ? a ? 0, 0 ? a ? 2, a ? 2.

a ? ? 1 2

1 2

.

?

?

1 2

? a ? 0;

当 0 ? a ? 2 时, 2 a ? 3 ? 4 ? 当 a ? 2 时, 2 a ? 3 ? a
2

a ? ?

.

?

0 ? a ? 2;

? ?1? a ? 3.
1 2 ? a ? 3。

?

2 ? a ? 3.

综上,所求实数 a 的取值范围是 ?

6。 (1)奇数集合可表示为 P ? { a | a ? 2 n ? 1 ,

n ? Z}。

a ? P ? a ? 2 n ? 1 ? ( n ? 1)
(2)

2

?n

2

? a?M ;

x

2

? y

2

? ( x ? y )( x ? y ) 。
2

因为 x ? y 与 x ? y 同为奇数或同为偶数,所以, x

? y

2

或为

2 m ? 1 ( m ? Z ) ,或为 4 m ( m ? Z ) ,不可能为形如 4 k ? 2 ( k ? Z ) 的数。故
形如 4 k ? 2 ( k ? Z ) 的数不属于 M
2


2 2 2

(3) 设 p , q ? M ,则 p ? x1 ? y 1 , q ? x 2 ? y 2 所以,

x1 , x 2 , y 1 , y 2 ? Z ,

p ? q ? ( x1 ? y 1 )( x 2 ? y 2 ) ? ( x1 x 2 ? y 1 y 2 )
7. 设 B ? { b ? A | b ? 7 k ? 2 , k ? N } 。 则 | B |? [

2

2

2

2

2

? ( x1 y 2 ? x 2 y 1 ) ? M 。

2

600 ? 2 7

]?[

99 ? 2 7

] ? 85 ? 13 ? 72 ;

由100 ? 57 k ? 600

? 2 ? k ? 10 。

又 57 k ? 7 ? 8 k ? k ,故当 k ? 2 或 9 时, 57 k 被 7 除余 2。 所以,集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 72 ? 2 ? 70 (个) 。 8. 由题意,存在非零实数 x ? A ,得 f ( x ) ? x
2

? 0
2

f

2

x 2 (x) ? 2 x f ( ) ? 2 ? ? x

f
2

2

x 2 (x) ? 2 x f ( ) ? 2 f 2

x (x) f ( ) 2

x ? f (x) ? 2 f (x) f ( ) 2 x x
2

x 2 f( ) ? ? ( ) . 2 2 2
x x 2 f ( ) ? ( ) 。又非零实数 x 可无限平分,所以原命 2 2



由 f (x) ? x

2

?

题得证。 9. 命题不正确。反例如下: 取 A ? {( x , y ) | y ? x ,

? 1 ? x ? 1} ,

B ? {( x , y ) | y ? x ,

x ? 0 且 x ? R} ,

则集合 A , B 满足 C r ? A ? C r ? B ,但集合 A 不是集合 B 的子集。 10。 由(2)知, 0 ? S 。 对任意非零有理数 r ,由(2) ,得 r ? S 或 ? r ? S 。再由(1)

r ? r ? ( ? r )( ? r ) ? r

2

? S 。于特例中,取 r ? 1 ? 1 ? S 。

于(1)中,由1 ? S ? 1 ? 1 ? 2 ? S ? 1 ? 2 ? 3 ? S ? ? ,得全体正整 数都是集合 S 的元素。 设任意正有理数 r ?

p q

,

p , q ? N *,

( p, q) ? 1 。

由 p, q ? N * ? p, q ? S ?

pq ? S , 又

1 q

?Q ?

1 q
2

? S ,则

pq ?

1 q
2

?

p q

? S 。即全体正有理数都是集合 S 的元素。

又由(2) ,全体负有理数不可能是集合 S 的元素,所以集合 S 是由全体正有理数组 成的集合。

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