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人教版数学必修一第1章讲义


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必修一 第 1 章 集合与函数 一、集合: 1、 集合:某些有共同性质的对象集在一起就形成一个集合,简称集。 元素:集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 (1) 集合性质:确定性,互异性,无序性 例:已知 A ? a, a 2 , B ? ? 1, b? .A ? B, 求 a , b

?

?

(2)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作:a∈A 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A ,记作:a?A ⑶常用数集符号: 非负整数集(或自然数集):N 正整数集:N*或 N+ 整数集:Z 写出两整数比) :Q 实数集:R 例:用符号 ? 与 ? 填空:0

有理数集(能

N* ; 3 ?2

Q;

3

?2,3?; 3

??2,3??;

4 3

Q ?2,3?

??2,3??;

2、集合的表示方法:列举法: 如小于 5 的自然数集 A,A={0,1,2,3,4,5}, 描述法:x2-1=0 的实数根组成的集合 C,C={x∈R| x2-1=0}。 3、集合间关系:包含与被包含,集合 A 中任意一个元素都是 B 中元素,则 A 是 B 的子集, 记做 A ? B 或 B ? A。 子集性质: (1)反身性 A ? A, (2)传递性,若 A ? B,B ? C,则 A ? C 集合相等:若 A ? B 且 B ? A,则 A=B。 4、真子集:若 A ? B,但存在元素 x ? B, x ? A,则 A 为 B 的真子集,我们就说集合 A 是集合 B 的真子集,记做 A B 5、 不包含任何元素的集合称为空集,记为?。空集是任何非空集合的真子集。 6、易混符号: ①“ ? ”与“ ? ” :元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系 ②{0}与Φ :{0}是含有一个元素 0 的集合,Φ 是不含任何元素的集合 7、集合的基本运算:(1)并集:A ? B={x|x∈A,或 x∈B}.(2)交集 A ? B={x|x∈A,且 x∈B}, (3)补集:包含我们研究问题涉及的所有元素的集合为全集 U,A 的补集记为 CUA={x|x∈U,且 x?A}。 性质: Cs ?CS A? ? ; CS S ?
?

例:求满足 x | x 2 ? 1 ? 0, x ? R ? M ? x | x 2 ? 1 ? 0, x ? R 的集合M 的个数.
2 2 例:已知 A= ?3, a , a ?1 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a ? 1 ,若 A ? B ? ??3? ,求 A ? B

?

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; CS ? ?



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二、函数及其表示 1、A、B 是非空集合,按照某种对应关系 f,使对于 A 中任意一个数 x,B 中有唯一数 f(x) 与之对应,这样称从集合 A 到集合 B 的一个函数,记做 y=f(x) ,x∈A。自变量,因变量, 定义域,值域。

2、区间 [a,b], (a,b), (a,b], [a,b) 例 1、在下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,不可以确定 y 是 x 的函数的是( x (1) A ? Z , B ? Z ,对应关系 f : x ? y ? 3



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(2) A ? ?x | x ? 0 ? , B ? R ,对应关系 f : x ? y 2 ? 3x (3) A ? R , B ? R ,对应关系 f : x ? y : x 2 ? y 2 ? 25 (4) A ? R , B ? R ,对应关系 f : x ? y ? x 2 3、函数的基本性质 **单调性 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的

值 x1、x2,当 x1 ? x2 时都有 f(x1)< f(x2).那么就说 f(x)在这个区间上是增函数。减函数以此 类推。定义就是其判断方法! *设复合函数 y= f[g(x)],其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间,B 是映射 g : x→ u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增 (或减) 函数, y= f(u)在 B 上也是增 (或减) 函数, 则函数 y= f[g(x)] 在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增 (或减) 函数, 而 y= f(u)在 B 上是减 (或增) 函数, 则函数 y= f[g(x)] 在 A 上是减函数。 ** 奇偶性: 首先求定义域! (1 ) 具有奇偶性的函数定义域要关于原点对称 (2) 若 f(-x)=f(x), 为偶函数,若 f(-x)=-f(x)为奇函数,若都满足则既是奇也是偶,都不满足则非奇非偶(3) 若奇函数定义域包含 0,则 f(0)=0。 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 性质:设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:

** 最值:设 f(x)定义域 I,若存在实数 M 满足: (1)任意 x∈I,都有 f(x)<M,

(2)存在 x0∈I,使 f(x0)=M,则 M 为 y=f(x)最大值。
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值; ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处 有最大值 f(b) **周期性 (1) 定义: 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)= f(x), 则称 f(x)为周期函数; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最小的 2 2

正数,则称它为 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是周期 函数,且周期为

T |? |



例:已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 A.f(0)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(0)<f(2) C.f(-1)<f(2)<f(0) D.f(2)<f(-1)<f(0) 答案:A 例:给定函数:①y= (x≠0) ;②y=x2+1;③y=2x;④y=log2x;⑤y=log2(x+ x 2 ? 1 ). 在 这 五 个 函 数 中 , 奇 函 数 是 _________ , 偶 函 数 是 _________ , 非 奇 非 偶 函 数 是 __________. 答案:①⑤ ② ③④ 例:判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|;

1 x

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(2)f(x)=(x-1) · (3)f(x)=

1? x ; 1? x

1 ? x2 ; | x ? 2 | ?2

(4) f ( x) ?

a2 ? x2 (常数a ? 0); | x ? a | ?a

例:已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,对 x∈R 有 f(x)>0,且 f(5)=1,设 F(x)=

f(x)+

1 ,讨论 F (x)的单调性,并证明你的结论。 f ( x)


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