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高中数学北师大版必修四学业分层测评:第2章 3.1 数乘向量 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.(2016· 蜀山高一检测)如图 2-3-2,已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中 → → → 线,若AB=a,AC=b,则AM等于( )

图 2-3-2 1 A.2(a-b) 1 C.2(a+b) 【解析】 【答案】 1 B.-2(a-b) 1 D.-2(a+b) → 1 ∵M 是 BC 的中点,∴AM=2(a+b). C )

→ 3→ → 2.点 C 在线段 AB 上,且AC=5AB,则AC等于( 2→ A.3BC 2→ C.-3BC 【解析】 【答案】 3→ B.2BC 3→ D.-2BC

2→ 3→ → 3→ → → ∵AC=5AB,∴BC=-5AB,∴AC=-2BC. D

3.已知 O 是直线 AB 外一点,C,D 是线段 AB 的三等分点,且 AC=CD= → → → DB,如果OA=3e1,OB=3e2,则OD=( A.e1+2e2 2 1 C.3e1+3e2 【解析】 )

B.2e1+e2 1 2 D.3e1+3e2 → → → ∵AB=OB-OA=3(e2-e1),

→ 2→ ∴AD=3AB=2(e2-e1), → → → ∴OD=OA+AD=3e1+2(e2-e1)=e1+2e2. 【答案】 A )

→ → → 4.设 P 是△ABC 所在平面内一点,BC+BA=2BP,则(

图 2-3-3 → → A.PA+PB=0 → → C.PC+PA=0 【解析】 → → B.PB+PC=0 → → → D.PA+PB+PC=0

→ → → 法一:∵BC+BA=2BP,

→ → → → ∴(BC-BP)+(BA-BP)=0, → → 即PC+PA=0. → → → 法二:∵BC+BA=2BP, ∴点 P 为 AC 的中点, → → ∴PA+PC=0. 【答案】 C

→ → → 1→ → 5.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD=3CA+λCB, 则 λ=( 2 A.3 2 C.5 【解析】 ) 2 B.-3 1 D.3 → → → 由题意知CD=CA+AD,①

→ → → CD=CB+BD,② → → 且AD+2BD=0.

→ → → ①+②×2 得 3CD=CA+2CB, 2 → 1→ 2→ 所以CD=3CA+3CB,所以 λ=3. 【答案】 二、填空题 1 6.化简12[2(2a+8b)-4(4a-2b)]的结果是________. 【解析】 1 原式=12[2(2a+8b)-4(4a-2b)] A

1 =12(4a+16b-16a+8b) 1 =12(-12a+24b) =2b-a. 【答案】 2b-a

→ → → 7.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λAO, 则 λ=________. 【导学号:66470046】

图 2-3-4 【解析】 → → → 如图所示,AB+AD=AC.

→ → 又 O 为中点,所以AC=2AO,λ=2. 【答案】 2

→ → → 8.(2016· 北海高一检测)已知在△ABC 中,点 M 满足MA+MB+MC=0.若 → → → 存在实数 m,使得AB+AC=mAM成立,则 m 的值为________. 【解析】 → → → ∵MA+MB+MC=0,

∴点 M 是△ABC 的重心. 3→ → 3→ → → → → → → 如图,AD=2AM,而AB+AC=2AD,故AB+AC=2×2AM=3AM,∴m= 3.

【答案】 三、解答题

3

→ → → 9.设 a,b 是不共线的两个向量,已知AB=2a+kb,BC=a+b,CD=a- 2b,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值. 【解】 → → ∵A,B,D 三点共线,∴AB与BD共线,

→ → 则必存在实数 λ,使AB=λBD, → → → 而BD=BC+CD=(a+b)+(a-2b)=2a-b, ∴2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb, ?2=2λ, ?λ=1, 于是? ?? 所以 k=-1. ?k=-λ ?k=-1, 10.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时, 1 a,tb,3(a+b)三向量的终点在同一条直线上. 【解】 → → → 1 设OA=a,OB=tb,OC=3(a+b),

2 1 → → → 1 ∴AC=OC-OA=3(a+b)-a=-3a+3b, → → → AB=OB-OA=tb-a. → → 要使 A,B,C 三点共线,只需AC=λAB, 2 1 即-3a+3b=λ(tb-a). 1 ? ?3=λt, 又非零向量 a,b 不共线,∴? 2 ? ?-λ=-3, 1 ∴当 t=2时,三向量终点在同一条直线上. 1 ? ?t=2, ∴? 2 ? ?λ=3,

[能力提升] → 1. (2016· 高陵高一检测)已知平行四边形的对角线 AC 和 BD 相交于 O, 且OA → → → → =a,OB=b,且满足BE=EC,则AE=( A.b-3a 3 1 B.-2a+2b 1 3 C.2a+2b 1 1 D.2a-2b → → 【解析】 如图所示,因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以OC=-OA= 1 → → → → → → 1→ -a,所以BC=OC-OB=-a-b,因为BE=EC,所以BE=2BC=-2(a+b). )

→ → → 又因为AB=OB-OA=b-a, 1 → → → 所以AE=AB+BE=b-a-2(a+b) 3 1 =-2a+2b. 【答案】 B )

2.已知 e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则 a 与 b 共线的条件是( A.λ=0 C.e1∥e2 B.e2=0 D.e1∥e2 或 λ=0

【解析】 (1)当 e1∥e2 时,a=e1+λe2,不妨设 e1=μe2,μ∈R,所以 a=(λ +μ)e2,b=2μe2,故 a 与 b 共线. (2)当 e1 与 e2 不共线时,设 a=μb,μ∈R, 则 e1+λe2=2μe1,即(1-2μ)e1+λe2=0, 1 ? ?μ= , ?1-2μ=0, 2 所以? 即? ?λ=0, ? ?λ=0, 所以 a 与 b 共线的条件 λ=0.

综上知 a 与 b 共线的条件是 e1∥e2 或 λ=0. 【答案】 D

→ 1→ 1 → → 3→ → 3. 如图 2-3-5, 设 P 为△ABC 内一点, 且AP=4AB+5AC, BM=4BA, CN 4→ =5CA,则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于________. 【导学号:66470047】

图 2-3-5 【解析】 → 1→ → 1 → → → → 由题可知,AM=4AB,AN=5AC,则AP=AM+AN,由平行四

→ → S△PMB |AN| |BM| 1 3 3 → → 边形法则,可知NP∥AB,所以 = · = × = . S△ABC → → 5 4 20 |AC| |BA| 【答案】 3 20

→ 4.如图 2-3-6 所示,点 P 在直线 AB 上,O 为直线外任意一点,且OP= → → λOA+μOB(λ,μ∈R),求证:λ+μ=1.

图 2-3-6 【证明】 ∵点 P 在直线 AB 上,

→ → → → ∴AP∥AB,设AP=xAB, → → → → → → ∵AP=OP-OA,AB=OB-OA, → → → → ∴OP-OA=x(OB-OA), → → → ∴OP=(1-x)OA+xOB.

→ → → 又OP=λOA+μOB,∴λ=1-x,μ=x,∴λ+μ=1.



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