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2014学年第一学期高二期末数学(理)模拟试卷


2014 学年第一学期高二期末数学(理)模拟试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1. 若两个球的体积之比为 8 : 1 ,则它们的表面积之比为 A. 8 : 1 B. 4 : 1 C. 2 2 : 1 D. 2 : 1 ( D. 2 条件 ( ) ) ( )

/>2. 若抛物线 y ? ax2 的焦点为 F (0,1) ,则 a 的值为 A. 1
4

B. 4

C. 1
2

3. m ? 0 是方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 表示圆的 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要

D.既不充分也不必要 ( )

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? A.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 C.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? ( ) B.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 D.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0

5.命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ”的否定是

2 1 左视图

6. 已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形,则该三 棱锥的体积为 A. 3
3

主视图 2 3

( B. 2 3
3



C. 3
2

D. 2 3
俯视图

7.双曲线 x

2

a2

?

x y y2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0,m ? b ? 0) 的离心率互为倒数,则 m b b2

2

A. a ? b ? m

B. a 2 ? b 2 ? m2

C. a 2 ? b 2 ? m2

D. a 2 ? b 2 ? m 2





8.一个动圆与定圆 F : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 相内切,且与定直线 l : x ? 3 相切,则此动圆的圆心 M 的 轨迹方程是 A. y 2 ? 8x
2

B. y 2 ? 4x
2 2

C. y 2 ? ?4x

D. y 2 ? ?8x

( (

) )

9.直线 y ? x ? 2 与曲线 y ? x x ? 1 的交点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

10.三棱锥 O ? ABC 中, OA, OB, OC 两两垂直且相等,点 P, Q 分别是线段 BC 和 OA 上移动, 且满足 BP ? 1 BC , AQ ? 1 AO ,则 PQ 和 OB 所成角余弦值的取值范围是
2 2





A. [

3 2 5 , ] 3 5

B. [

3 2 , ] 3 2

C. [

6 2 5 , ] 6 5

D. [

6 2 , ] 6 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) . 11.双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 16 的渐近线方程是_________________. 12.在空间直角坐标系中,若 A(3,?4,0), B(?3,4, z ) 两点间的距离为 10,则 z ? __________. 13.直线 x ? y ? 1 的倾斜角的余弦值为______________________.
2 4

14.如图,已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分,光源安装在焦 点 F 上,且灯的深度 EG 等于灯口直径 AB ,且为 64 cm ,则光源安装的 位置 F 到灯的顶端 G 的距离为____________ cm . 15.在正方体 AC1 中,直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成角的大小为____________. 16.若圆 x 2 ? y 2 ? 25 与圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? m ? 0 的公共弦的长为 8,则 m ? ___________. 17.对于曲线 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 有以下判断: (1)它表示圆; (2)它关于原点对称; (3)它关 于直线 y ? x 对称; (4) x ? 1, y ? 1 .其中正确的有________(填上相应的序号即可). 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 52 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 18. (本题满分 12 分) 如图, 已知长方形 ABCD 的两条对角线的交点为 E (1,0) , 且 AB 与 BC 所在的直线方程分别为 x ? 3 y ? 5 ? 0与ax ? y ? 5 ? 0 . (1)求 AD 所在的直线方程; (2)求出长方形 ABCD 的外接圆的方程.

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a .设 p : 方程 f ( x) ? 0 有实数根; (1)若 q : 函数 f ( x) 在区间 [1,2] 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 q : 函数 f ( x) 在区间 [1,2] 上是增函数, 且 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

20. (本题满分 14 分)矩形 ABCD 所在平面垂直于三角形 ABE 所在平面,AB=2AE=3,AD=2,

?ABE ? 30? ,点 F 为线段 BE 靠近点 E 的一个三等分点,点 P 在线段 CD 上移动。 (1)求证:平面 PAE ? 平面 BCE ;
(2)设 DP ? ? PC ,当 ? 为何值时, CF 平面 PAE ; (3)在第(2)小题的条件下,求二面角 P ? EF ? A 的余弦值。

2 2 21.(本题满分 14 分) 已知椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F , M 为上顶点, O 为坐标 2 2

a

b

原点,若△ OMF 的面积为 1 ,且椭圆的离心率为 2 .
2

2

(1)求椭圆的方程; (2)是否存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点, 且使点 F 为△ PQM 的垂心?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

高二期末考试数学(理科)参考答案 2014.1
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分 1 2 3 4 5 6 题号 答案 B A A C D B 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) . 11. y ? ?2 x 12. 0 13. ? 7 B 8 D 9 B 10 C

5 5

14. 4

15.

? 6

16. ? 55 或 5

17. (2) 、 (3)

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 52 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 18. 解: (1) 由于 AB ? BC , 则a ? 3 2分 ???????????????

由于 DA // BC ,则可设直线 DA 的方程为: 3x ? y ? m ? 0(m ? 5) ,

又点 E 到 BC 与 DA 的距离相等,则

3? m 10

?

8 10



因此, m ? ?11 ,或 m ? 5 (舍去) , 则直线 DA 所在的方程为

3x ? y ? 11 ? 0 .

????????????????6 分

(2)由直线 AB, BC 的方程解出点 B 的坐标为 (?1,2) 则 EB ? 2 2 即为长方形 ABCD 的外接圆半径 故长方形 ABCD 的外接圆的方程为 ????10 分

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8 .
2

????????????????12 分

19.解: p : ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0, 或a ? 4 ;????????????????? 2 分

q:

a ? 1 ? a ? 2 .???????????????????????????3 分 2

若 p 真 q 假,则 ?

?a ? 0, 或a ? 4, ? a ? 4; ?a ? 2,

若 p 假 q 真,则 ?

?0 ? a ? 4, ? 0 ? a ? 2 .???????????????? 7 分 ?a ? 2,

所求实数 a 的取值范围为 ?0,2? ? ?4,??? ??????????????????? 8 分

20. 20. (本题满分 14 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 AA1 B1 B ? 底面ABC , 600 , ?BAA 1 ?

E 是线段 BC1 上一点, 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 其重心为 G 点, 且 BE ? 1 BC 1 . AA1 ? 2 ,
3

(1)求证: GE // 侧面 AA1 B1 B ; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值.

A1 C1

B1

E A G C B

解: (1)证明:连接 B1 E 并延长与 BC 交于 D 点,则由题意及相似关系可知点 D 为 BC 的中 点, 所 以

A, G, D







线











GE // AB1 ,
因 此

????????????????4 分

GE //

侧 ????????????6 分



AA1 B1 B .

( 2 ) 经 过 B1 点 作 AB 的 垂 线 与 AB 的 延 长 线 交 于 点 F , 则

A1 C1

B1

B1 F ? 平面ABC ,经过 F 点作 AD 的垂线与 AD 的延长线交于点 H ,
则 B1 H ? AD ,所以 ?B1 HF 即为所求二面角的平面角??????? 10 分 且 ?B1 BF ? 600 , 则 B1 F ? 3, AF ? 3 , 并 由 相 似 关 系 得 :
A G D

E B H F

3 2 3 HF ? , 故 tan?B1 HF ? ,即为所求二面角的正切 2 3
值.????????14 分 21.解: (1)由题意可得 解 得

C

1 1 c 2 ,??????????2 分 bc ? , ? 2 2 a 2


b ?1

a? 2















x2 ? y 2 ? 1. 2

????????????????6 分

(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQM 的垂心, 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因 为

M (0,1)



F (1,0)





k PQ ? 1 .
于是设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

????????????????7 分

由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 ? x ? 2 y ? 2,
??0
, 得



m2 ? 3





x1 ? x 2 ? ?

4m 2m 2 ? 2 , x1 x 2 ? . 3 3

????????????9 分

由题意应有 MP ? FQ ? 0 ,又 MP ? ( x1, y1 ?1), FQ ? ( x2 ?1, y2 ) , 故 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,得 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)(x1 ? m ? 1) ? 0 . 即

2x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 .
???11 分 整理得 2 ?

???????????

2m 2 ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 .Ks5u 3 3

解得 m ? ?

4 或 m ? 1 .经检验,当 m ? 1 时,△ PQM 不存在,故舍去 m ? 1 .Ks5u 3 4 当 m?? 时 , 所 求 直 线 l 存 在 , 且 直 线 l 的 方 程 为 3 4 y ? x? . ?????????14 分 3


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