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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二课堂达标 1.6.2.1直线与平面垂直的性质]


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课堂达标·效果检测
1.垂直于同一平面的两条直线( A.平行 B.垂直 ) C.相交 D.异面

【解析】选 A.根据直线与平面垂直的性质定理,垂直于同一平面的两条直线平 行. 2.直线 l

垂直于平面α ,m ? α ,则有( A.l∥m C.l 和 m 相交 )

B.l 和 m 异面 D.l 和 m 不平行

【解析】选 D.直线 l 垂直于平面α,则直线 l 与平面α内的所有直线垂直,l 和 m 可以相交垂直,也可以异面垂直但不会平行. 3.已知直线 a 与 b,平面α ,则下列说法错误的是( A.若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b C.若 a⊥α ,b∥α ,则 a⊥b )

B.若 a⊥α ,a∥b,则 b⊥α D.若 a⊥α ,a⊥b,则 b∥α

【解析】选 D.由线面垂直的性质定理知 A 正确.对于 B,设 n 是α内的任意一条 直线,a⊥α,则 a⊥n,而 a∥b,则 b⊥n.所以 b⊥α,故 B 正确.对于 C,b∥ α,b 必与α内的直线(设为 n)平行,若 a⊥α,则 a⊥n,所以 a⊥b,C 正确. 对于 D,不正确,b 也可能在α内. 4. 已知 AF ⊥平面 ABCD , DE ⊥平面 ABCD ,如图所示,且 AF=DE , AD=6 ,则 EF=________.

【解析】因为 AF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD,所以 AF∥DE,又 AF=DE,所以四 边形 AFED 是平行四边形,故 EF=AD=6. 答案: 6 5.已知直线 a,b 和平面α ,a?α ,且 a⊥b,b⊥α ,则 a 与α 的位置关系是 ________. 【解析】(1)若直线 a 与 b 相交,如图所示,设 a∩b=P, 则由 a,b 可确定平面β,设β∩α=a′,则由 b⊥α知 b⊥a′,在平面β内,由 b⊥a,b⊥a′,知 a∥a′.由 a?α,a′ ? α,所以 a∥α. (2)若 a 与 b 不相交,如图所示,在直线 b 上任取一点 P, 过 P 作直线 a′∥a(在 点 P 和直线 a 确定的平面内,过 P 作 a′∥α),

因为 a⊥b,所以 a′⊥b,同理,设过 a′和 b 的平面β∩α=a″, 则 a′∥a″,所以 a∥a″,又 a?α,a″ ? α, 所以 a∥α.

答案:a∥α 6.如图所示,正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,EF 与异面直线 AC,A1D 都垂直相交. 求证:EF∥BD1.

【证明】如图所示: 连接 AB1,B1D1,B1C,BD. 因为 DD1⊥平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD,所以 DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以 AC⊥平面 BDD1B1. 又 BD1 ? 平面 BDD1B1, 所以 AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C. 又 B1C∩AC=C, 所以 BD1⊥平面 AB1C. 因为 EF⊥AC,EF⊥A1D, 又 A1D∥B1C,所以 EF⊥B1C.又 AC∩B1C=C, 所以 EF⊥平面 AB1C,所以 EF∥BD1.

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