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排列组合之几何概型—复习归纳(教师用)


π π 1 1.在区间[- , ]上随机取一个数 x,cosx 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2 1 A. 3 1 C. 2 B. 2 π

(

)

2 D. 3

π π π π 解析:∵当 x∈[- ,- ]∪[ , ]时, 2 3 3 2 π 2× 6 1 1 cosx∈[0, ]

,∴P= = . 2 π 3 2.如图,在半径为 R 的圆内随机撒一粒黄豆,它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概 率是 A. C. 3 4 3 4π ( ) 3 3 B. 4 3 3 D. 4π

1 3 3 2 解析:∵S 圆=πR2,S△=3× R2sin120° = R, 2 4 3 3 2 R 4 3 3 ∴P= = . πR2 4π 3.如图,A 是圆上一定点,在圆上其他位置任取一点 A′,连结 AA′,得到一条弦,则 此弦的长度小于或等于半径长度的概率为 1 A. 2 1 C. 3 B. 3 2 ( )

1 D. 4

π 解析:当 AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′= ,A′点左右各一,构造 3 2π 3 1 出与角度有关的几何概型,故由几何概型的概率公式得 P= = . 2π 3 4.有一杯 2 升的水,其中含一个细菌,用一个小杯从水中取 0.1 升水,则此

小杯中含有这个细菌的概率是 ________. 解析:P= 0.1 1 = =0.05. 2 20

5.如图,一不规则区域内,有一边长为 1 米的正方形,向 区域内随机地撒 1000 颗黄豆,数得落在正方形区域内(含 边界)的黄豆数为 375 颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________ 平方米. 解析:根据题意可设该不规则图形的面积为 x 平方米,向区域内随机地撒 1000 颗黄豆,数 得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375 颗, 所以可知 8 解得 x= . 3 375 1 = , 1000 x

1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为 2.几何概型的概率公式 在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下: P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

(

或 .

)

考点一

与长度有关的几何概型

在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,求弦长超 过圆内接等边三角形边长的概率. [自主解答] 记事件 A={弦长超过圆内接 等边三角形的边长},如图,不妨在过等边 三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取 一点 F 作垂直于直径的弦,当弦为 CD 时, 就是等边三角形的边长,弦长大于 CD 的

1 ×2 2 1 充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF,由几何概型公式得 P(A)= = . 2 2

思考:若在例

1 的已知圆中,从圆周上任取两点,连接两点成一条弦,求弦长超过此圆

内接正三角形边长的概率. 解:记 A={弦长超过圆内接正三角形边长}. 如图, 取圆内接正三角形的顶点 B 作为弦的一个端点,当另一个端点 E 在劣弧 |BE|>|BC|,而劣弧

? CD 上时,

? CD 的长恰为圆周长的1.由几何概型公式有 P(A)=1. 3 3

3 在集合 A={m|关于 x 的方程 x2+mx+ m+1=0 无实根}中随机 4 的取一元素 x,恰使式子 lgx 有意义的概率为________.

3 解析:由于 Δ=m2-4( m+1)<0,得-1<m<4,若使 lgx 有意义,必须使 x>0.在数轴上表示 4



4 ,故所求概率为 . 5

考点二

与面积(或体积)有关的几何概型

(2011·惠州模拟)已知集合{(x,y)|x∈[0,2],y∈[-1,1]}. (1)若 x,y∈Z,求 x+y≥0 的概率; (2)若 x,y∈R,求 x+y≥0 的概率. [自主解答] (1)设事件“x+y≥0,x,y∈Z”为 A, x,y∈Z,x∈[0,2],即 x=0,1,2,y∈[-1,1],即 y=-1,0,1. 则基本事件如下表. 1 0 -1 y+x + 0 - 0 + + 0 1 + + + 2

m 8 基本事件总和 n=9,其中满足“x+y≥0”的基本事件 m=8,P(A)= = . n 9 8 故 x,y∈Z,x+y≥0 的概率为 . 9 (2)设事件“x+y≥0,x,y∈R”为 B,x∈[0,2],y∈[-1,1].基本事件用下图四边形 ABCD 区域表示, SABCD=2×2=4.事件 B 包括的区域如阴影部分, 1 1 7 S 阴影=SABCD- ×1×1=4- = , 2 2 2 7 S阴影 2 7 7 P(B)= = = ,故 x,y∈R,x+y≥0 的概率为 . SABCD 4 8 8

已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x,y). (1)求当 x,y∈R 时,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概率; (2)求当 x,y∈Z 时,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概 率.

解:(1)如图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部 (含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的点的区域为以 (2,2)为圆心,2 为半径的圆面(含边界). 1 π×22 4 π ∴所求的概率 P1= = . 4×4 16

(2)满足 x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2 的点(x,y)有 25 个, 满足 x,y∈Z,且(x-2)2+(y-2)2≤4 的点(x,y)有 6 个, ∴所求的概率 P2= 6 . 25

考点三

几何概型的综合应用

设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将线段 AB 分成了三条线段, (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. [自主解答] (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度所有可能情况是 1,1,4;1,2,3;2,2,2,共 3 种情况,其中只有三条线段长为 2,2,2 时,能构成三角形,故构成 1 三角形的概率为 P= . 3 (2)设其中两条线段长度分别为 x,y,则第三条线段长度为 6-x-y,故全部试验结果所构成的区域为

?0<x<6 ? ?0<y<6 , ?0<6-x-y<6 ? ?0<x<6 ? 即?0<y<6 ,所表示的平面区域为△OAB. ?0<x+y<6 ?
若三条线段 x,y,6-x-y 能构成三角形,

?x+y>6-x-y ? 则还要满足?x+6-x-y>y ?y+6-x-y>x ?

?x+y>3 ? ,即为?x<3 , ?y<3 ?

所表示的平面区域为△DEF, S△DEF 由几何概型知,所求概率为 P= S△AOB

1 = . 4

甲、乙两人约定上午 7∶00 至 8∶00 之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有 3 班公共汽 车,它们开车时刻分别为 7∶20,7∶40,8∶00,如果他们约定,见车就乘,求甲、乙同乘 一车的概率.

解:设甲到达汽车站的时刻为 x, 乙到达汽车站的时刻为 y,则 7≤x≤8,7≤y≤8,即甲乙两人到达汽车站的时刻(x,y)所对应

的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形.将三班车到站的时刻在图形中画 1 1 1 2 1 2 出,则甲乙两人要想同乘一班车,必须满足 7≤x≤7 ,7≤y≤7 ;7 ≤x≤7 ,7 ≤y≤7 ; 3 3 3 3 3 3 2 2 7 ≤x≤8,7 ≤y≤8.即(x,y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内,所以由几何概型 3 3 1 ? ?2×3 3 1 1 的计算公式得,P= = .即甲、乙同乘一车的概率为 . 12 3 3

以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本 内容的热点考法,特别是与面积有关的几何概型是高考的重点内容,2010 年福建高考将几 何概型同立体几何相结合考查,是高考的一个重要考向. [考题印证] (2010·福建高考)(12 分) 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, H 分别是棱 A1B1, E, D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合), 且 EH∥A1D1.过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G. (1)证明:AD∥平面 EFGH; (2)设 AB=2AA1=2a, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点, 记该点取自几何体 A1ABFE -D1DCGH 内的概率为 P.当点 E, 分别在棱 A1B1, 上运动且满足 EF=a, P 的最小值. F B1B 求 [规范解答] 法一:(1)证明:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥A1D1. 又∵EH∥A1D1,∴AD∥EH. ∵AD?平面 EFGH,EH? 平面 EFGH, ∴AD∥平面 EFGH.??????????????(4 分) 幻灯片 37 (2)设 BC=b,则长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积 V=AB· AA1=2a2b, BC· 几何体 EB1F-HC1G 的体积 1 b V1=( EB1· 1F)· 1C1= B B 2 2 EB1· 1F.???????????????????(6 分) B ∵EB2+B1F2=a2, 1 EB2+B1F2 a2 2 1 ∴EB1· 1F≤ B = ,当且仅当 EB1=B1F= a 时 2 2 2 等号成立. 从而 V1≤ a2b .?????????????????(9 分) 4

a2b 4 V1 7 2 ∴P=1- ≥1- 2 = ,当且仅当 EB1=B1F= a 时等号成立. V 2a b 8 2

7 所以 P 的最小值等于 .?????????????(12 分) 8 法二:(1)同法一.………………………………………(4 分) (2)设 BC=b,则长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积 V=AB· AA1=2a2b,几何体 EB1F- BC· 1 b HC1G 的体积 V1=( EB1· 1F)· 1C1= EB1· 1F.………………………(6 分) B B B 2 2 设∠B1EF=θ(0°≤θ<90°),则 EB1=acosθ,B1F=asinθ. a2 a2 故 EB1· 1F=a2sinθcosθ= sin2θ≤ ,当且仅当 sin2θ=1,即 θ=45° B 时等号成立. 2 2 从而 V1≤ a2b .……………………………………………(9 分) 4

a2b 4 V1 7 ∴P=1- ≥1- 2 = ,当且仅当 sin2θ=1,即 θ=45° 时等号成立. V 2a b 8 7 所以 P 的最小值等于 .………………………………(12 8 分)

1.几何概型的两个特点: 一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是 无限的;二是等可能性,即每一个基本事件发生的可能 性是均等的. 2.几何概型概率公式的应用 对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式,关键在于能否将问题几何化;也可根据实 际问题的具体情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一个 结果一一对应于该坐标系中的一个点,使得全体结果构成一个可度量区域.

1. (2011· 皖南八校联考)在区间[0,1]上随机取两个数 m, 则关于 x 的一元二次方程 x2- n· n, x +m=0 有实根的概率为 7 A. 8 1 C. 2 1 B. 3 1 D. 8 ( )

解析:由题易知(m,n)与图中正方形内(包括边界)的点一一对应,若方程 x2- n· x+m=0

?n-4m≥0 ? S阴影 1 有实根,则?0≤m≤1 ,其表示的区域为图中的阴影部分,且阴影部分面积为 ,则 8 S正方形 ?0≤n≤1 ?
1 1 = ,即关于 x 的方程 x2- n· x+m=0 有实根的概率为 . 8 8 2.在棱长为 2 的正方体 ABCD- 1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 A ABCD- 1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 A π A. 12 π C. 6 B.1- π 12 π 6 ( )

D.1-

解析:正方体的体积为:2×2×2=8,以 O 为球心,1 为半径且在正方体内部的半球的体 2 π 3 1 4 1 4 2 1 积为: × πr3= × π×13= π,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为:1- =1- π. 2 3 2 3 3 8 12

3.设一个小物体在一个大空间中可以到达的部分空间与整个空间的体积的比值为可达 率.现用半径为 1 的小球扫描检测棱长为 10 的正方体内部,则可达率落在的区间是 ( ) A.(0.96,0.97) B.(0.97,0.98) C.(0.98,0.99) D.(0.99,1) 解析:当小球在正方体的顶点附近,即与过顶点的三个面相切时,小球未扫描部分的体积 14 4 V1=1- ·π,又正方体共有八个顶点,所以 8V1=8- π;当小球在正方体的侧棱附近,即 83 3 1 与棱所在的两个侧面相切时,小球未扫描部分的体积 V2=(1- π)·8=8-2π, 又正方体共有 4 1 12 个棱,所以 12V2=12· (1- π)·8=96-24π; 4 76 104- π 3 103-8V1-12V2 所以可达率为: =1- ≈0.9755∈(0.97,0.98). 103 103 4.(2010·湖南高考)在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则|x|≤1 的概率为________. 1-?-1? 2 解析:由|x|≤1 得,-1≤x≤1,故易知所求概率为 = . 2-?-1? 3 5.(2010·新课标全国)设函数 y=f(x)在区间[0,1]上的图象是 连续不断的一条曲线,且恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线 y=f(x) 及直线 x=0,x=1,y=0 所围成部分的面积 S.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀 随机数 x1,x2,?,xN 和 y1,y2,?,yN,由此得到 N 个点(xi,yi)(i=1,2,?,N).再 数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1,2,?,N)的点数 N1,那么由随机模拟方法可得 S 的近似值

为________. 解析:这种随机模拟的方法,是在[0,1]内生成了 N 个点,而满足几条曲线围成的区域内的 S N1 点是 N1 个,所以根据比例关系 = ,而正方形的面积为 1,所以随机模拟方法得到的 S正方形 N N1 面积为 . N 6.设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率. 解:设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”, 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2),其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P(A)= 9 3 = . 12 4

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}, 1 3×2- ×22 2 构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},故所求的概率为 P(A)= 3×2 2 = . 3


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