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第九章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系


第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系 (1)设圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线 l:Ax+By+C=0,圆心 C(a,b)到直线 l 的距离 为 d, 2 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =r , ? (2)由 ?Ax+By+C=0 ? 消去 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一元二次方程,其判别式为 Δ. 则直线与圆的位置关系如下表 方法 几何法 代数法 位置关系 d<r Δ>0 相交 相切 d=r Δ =0 d>r Δ<0 相离 2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 R,r,R>r,圆心距为 d,则两圆的位置关系可用下表来表示: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 R-r< 几何特征 d>R+r d=R+r d=R-r d<R-r d<R+r 无实 一组实 两组实 一组实 无实 代数特征 数解 数解 数解 数解 数解 4 3 2 1 0 公切线条数

1.圆的切线问题 (1)过圆 x2+y2=r2(r>0)上一点 M(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2; (2)过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点 N(a,b)引切线,有两条,求方程 的方法是待定系数法,切点为 T 的切线长公式为|NT|= |NC|2-r2(其中 C 为圆 C 的圆心,r 为其半径). 2.求圆的弦长的常用方法 l (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则( )2=r2-d2. 2 (2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式: 设直线与圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+k2|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]. 1.(必修 2 P132A 组 T1 改编)直线 4x-3y+10=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)相切,则 r=( A.1 B.2 C.5 D.10

)

10 =2.故选 B. 4 +?-3?2 2.(必修 2 P132 练习 T1 改编)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:选 C.由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, |a-0+1| ∴ 2 ≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1,故选 C. 1 +?-1?2 1 3.(必修 2 P132A 组 T5 改编)若直线 y=- x-2 与圆 x2+y2-2x=15 相交于点 A,B,则 2 弦 AB 的垂直平分线方程的斜截式为________. 解析:圆的方程可整理为(x-1)2+y2=16,所以圆心坐标为(1,0),半径 r=4,易知弦 1 AB 的垂直平分线 l 过圆心,且与直线 AB 垂直,而 kAB=- ,所以 kl=2. 2 由点斜式方程可得直线 l 的方程为 y-0=2(x-1), 即 y=2x-2. 答案:y=2x-2 4.(必修 2 P132A 组 T3 改编)直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x=2 相切,则该直线的 方程为________. 解析:选 B.由题意得 r=
2

? 3x-y+m=0, 解析:由? 2 2 ?x +y -2x-2=0,
得 4x2+2( 3m-1)x+m2-2=0, 因为直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切, 所以 Δ=4( 3m-1)2-16(m2-2)=0, 解得 m=-3 3或 m= 3.故所求直线的方程为 3x-y-3 3=0 或 3x-y+ 3=0. 答案: 3x-y-3 3=0 或 3x-y+ 3=0 5.(必修 2 P144A 组 T3 改编)已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0 与圆 C2:x2+y2+ 2x-2my+m2-3=0,若圆 C1 与圆 C2 相外切,则实数 m=________. 解析:圆 C1 和圆 C2 的标准方程为(x-m)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-m)2=4,圆心分别 为 C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为 3,2.当两圆外切时, ?m+1?2+?m+2?2=5,解得 m=2 或 m=-5. 答案:2 或-5

直线与圆的位置关系 (1)[直线与圆相离]已知 M 是直线 3x+4y-12=0 上一点,过点 M 作圆 x2+y2=1 的两切线,切点分别为 A,B,则四边形 OAMB 面积的最小值为________. (2)[直线与圆相切]已知圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0,O 为坐标原点,动点 P 在圆 C 外, 过 P 作圆 C 的切线,设切点为 M.若点 P 运动到(1,3)处,则切线 l 的方程为________. (3)[直线与圆相交](2015· 高考全国卷Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x 2 2 -2) +(y-3) =1 交于 M,N 两点. ①求 k 的取值范围; → → ②若OM· ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

[解] (1)如图,显然△OAM≌△OBM.

∴S 四边形 OAMB=2S△OAM=|AO|· |MA|=|MA|. 2 2 又|MA|= |MO| -|OA| = |MO|2-1. ∴当|MO|最小时,四边形 OAMB 面积最小. 而|MO|的最小值即点 O 到直线 3x+4y-12=0 的距离 d. |-12| 12 d= 2 2= 5 . 3 +4 12?2 119 119 此时 S 四边形 OAMB=|MA|= ? ? 5 ? -1= 5 .填 5 . (2)把圆 C 的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心为 C(-1,2),半径 r=2. 当 l 的斜率不存在时,此时 l 的方程为 x=1, C 到 l 的距离 d=2=r,满足条件. 当 l 的斜率存在时,设斜率为 k, 得 l 的方程为 y-3=k(x-1), 即 kx-y+3-k=0, |-k-2+3-k| 3 则 =2,解得 k=- . 2 4 1+k 3 ∴l 的方程为 y-3=- (x-1),即 3x+4y-15=0. 4 综上,满足条件的切线 l 的方程为 x=1 或 3x+4y-15=0.填 x=1 或 3x+4y-15=0. (3)①由题设可知直线 l 的方程为 y=kx+1. |2k-3+1| 4- 7 4+ 7 因为直线 l 与圆 C 交于两点,所以 <k< . 2 <1,解得 3 3 1+k 所以 k 的取值范围为?

?4- 7 4+ 7?. ? ? 3 , 3 ?

②设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 4?1+k? 7 所以 x1+x2= ,x1x2= . 1+k2 1+k2 4k?1+k? → → OM· ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1= +8. 1+k2 4k?1+k? 由题设可得 +8=12,解得 k=1,所以直线 l 的方程为 y=x+1. 1+k2 故圆心 C 在直线 l 上, 所以|MN|=2. (1)求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.若点 在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时 应注意斜率不存在的切线. (2)求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形, 利用勾股定理来解决问题. (3)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何

法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法. (4)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆 的位置关系的判断条件建立不等式解决. 1.过点 P(2,-2)作圆 C:x2+y2+2x=0 的切线,设切点为 Q,则|PQ|等于( A. 2 B.3 2 C. 6 D.2 3 解析:选 D.⊙C 的圆心 C(-1,0),半径为 1, )

∴|PC|= [2-?-1?]2+?-2-0?2= 13,∴|PQ|= |PC|2-r2 = ? 13?2-1=2 3,故选 D. 2.已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值 是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 解析:选 B.圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,圆心 C(-1,1),半径 r 满足 r2=2 2 -a,则圆心 C 到直线 x+y+2=0 的距离 d= = 2,所以 r2=4+2=2-a?a=-4. 1+ 1 3.已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. ? ?y=kx+1, 解:(1)证明:法一:由? 2 2 ??x-1? +?y+1? =12, ? 2 2 消去 y 得(k +1)x -(2-4k)x-7=0, 因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. 法二:∵直线 l:y=kx+1 恒过点 P(0,1),又∵点 P(0,1)在圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12 内. ∴不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)设直线与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB|= 1+k2|x1-x2| 8-4k+11k2 4k+3 =2 =2 11- , 1+k2 1+k2 4k+3 令 t= ,则 tk2-4k+(t-3)=0, 1+k2 3 当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 k∈R,所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4, 4 且 t≠0, 4k+3 故 t= 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k2

圆与圆的位置关系

(1)[圆与圆相切]若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m =( ) A.21 B.19 C.9 D.-11 (2)[圆与圆相交]已知圆 O1:(x-a)2+(y-b)2=4,O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1(a,b ∈R),则两圆的位置关系是( ) A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 2 [解析] (1)圆 C2 的标准方程为(x-3) +(y-4)2=25-m. 又圆 C1:x2+y2=1,∴|C1C2|=5. 又∵两圆外切,∴5=1+ 25-m,解得 m=9. (2)由 O1:(x-a)2+(y-b)2=4 得圆心坐标为(a,b),半径为 2;由 O2:(x-a-1)2+(y -b-2)2=1 得圆心坐标为(a+1,b+2),半径为 1,所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|= 12+22= 5,因为|2-1|=1< 5<2+1=3,所以两圆相交. [答案] (1)C (2)C (1)判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系, 一般不采用代数法. (2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长,只要把两圆方程相减消掉二 次项所得方程就是公共弦所在的直线方程, 再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦 长. 1.已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2=1 相外切,则 ab 的最大 值为( ) 6 3 A. B. 2 2 9 C. D.2 3 4 解析:选 C.由两圆相外切可得圆心(a,-2),(-b,-2)之间的距离等于两圆半径之和, 9 9 即(a+b)2=9=a2+b2+2ab≥4ab, 所以 ab≤ , 即 ab 的最大值是 (当且仅当 a=b 时取等号), 4 4 故选 C. 2.若⊙O1:x2+y2=5 与⊙O2:(x+m)2+y2=20(m∈R)相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________. 解析:由两圆在点 A 处的切线互相垂直,可知两切线分别过另一圆的圆心,即 AO1⊥ 2 5× 5 AO2,在直角三角形 AO1O2 中,(2 5)2+( 5)2=m2,∴m=± 5,|AB|=2× =4. 5 答案:4 3.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2 +(y-5)2=4. (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分 别与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等.试求 所有满足条件的点 P 的坐标.

解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y= k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3,所以 d |1-k?-3-4?| = 22-? 3?2=1.由点到直线的距离公式得 d= ,从而 k(24k+7)=0,即 k=0 1+k2 7 或 k=- ,所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0. 24 (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,则直线 l2 的方 1 程为 y-b=- (x-a).因为圆 C1 和 C2 的半径相等,直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被 k 圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相 等,即 ?5+1?4-a?-b? k ? |1-k?-3-a?-b| ? = , 2 1 1+k 1+ 2 k 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k =b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5, ? ? ?a+b-2=0, ?a-b+8=0, 因为 k 的取值有无穷多个,所以? 或? ?b-a+3=0 ?a+b-5=0, ? ?

?a=2, 解得? 1 ?b=-2

5

?a=-2, 或? 13 ?b= 2 .

3

5 1 3 13 ,- ?或点 P2?- , ?. 这样点 P 只可能是点 P1? 2? ?2 ? 2 2? 经检验点 P1 和 P2 满足题目要求.

一、选择题 1.(必修 2 P127 例 1 改编)直线 l:3x+y+m=0 被圆 C:x2+y2-2y-4=0 截得的弦长为 10,则 m 的值为( ) A.m=4 或 m=6 B.m=-4 或 m=6 C.m=4 或 m=-6 D.m=-4 或 m=-6 2 2 2 解析:选 C.圆 C:x +y -2y-4=0 化为 x +(y-1)2=5.圆心为(0,1),半径 r= 5. |3×0+1+m| |1+m| ∴ C(0,1) 到 l 的 距 离 d = = , ∴ 截 得 的 弦 长 为 2 r2-d2 = 10 32+12 ?1+m?2 5- = 10. 10 解得 m=4 或 m=-6,故选 C. 2.(必修 2 P133A 组 T7 改编)已知圆 C:x2+y2+mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3 =0 对称,则实数 m 的值为( ) A.8 B.4 C.6 D.2 m - ,0?, 解析: 选 C.圆上存在关于直线 x-y+3=0 对称的两点, 则 x-y+3=0 过圆心? ? 2 ? 2

m 即- +3=0,∴m=6. 2 3.(必修 2 P131 例 5 改编)已知 AC,BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条互相垂直的弦,且垂 足为 M(1, 2),则四边形 ABCD 面积的最大值为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 解析:选 A.如图,作 OP⊥AC 于 P,

OQ⊥BD 于 Q,则 OP2+OQ2=OM2=3,∴AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20. 又 AC2+BD2≥2AC· BD, 则 AC· BD≤10, 1 1 ∴S 四边形 ABCD= AC· BD≤ ×10=5, 2 2 当且仅当 AC=BD= 10时等号成立,∴四边形 ABCD 面积的最大值为 5.故选 A. 二、填空题 4.(必修 2 P133A 组 T8 改编)Rt△ABC 中,斜边|BC|=6,以 BC 的中点为圆心,半径为 2 的圆与 BC 分别交于 P,Q.则|AP|2+|AQ|2=________. 解析:以 BC 的中点 O 为原点,BC 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系,

则 P(-2,0),Q(2,0),设 A(m,n), 1 则由|OA|= |BC|=3,得 m2+n2=9. 2 2 |AP| =(m+2)2+n2=m2+4m+4+n2, |AQ|2=(m-2)2+n2=m2-4m+4+n2, ∴|AP|2+|AQ|2=2m2+2n2+8=2(m2+n2)+8=26,∴|AP|2+|AQ|2=26. 答案:26 5.(必修 2 P132A 组 T4 改编)圆心在直线 x-y-4=0 上,且经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点的圆的方程为________. 解析:设经过两圆的交点的圆的方程为 x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,即 x2+ 4+28λ 6 6λ y2+ x+ y- =0, 1+λ 1+λ 1+λ 3 3λ 3 3λ 其圆心坐标为(- ,- ),又圆心在直线 x-y-4=0 上,所以- + -4 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ =0,解得 λ=-7,故所求圆的方程为 x2+y2-x+7y-32=0. 答案:x2+y2-x+7y-32=0 三、解答题 6.(必修 2 P144B 组 T6 改编)已知⊙C:x2+y2-2x-4y-20=0,直线 l:(2m+1)x+(m +1)y-7m-4=0. (1)求证:直线 l 与⊙C 恒有两个交点; (2)若直线 l 与⊙C 的两个交点分别为 A、B,求线段 AB 中点 P 的轨迹方程,并求弦 AB

的最小值. 解:(1)证明: ∵⊙C:x2+y2-2x-4y-20=0, 即(x-1)2+(y-2)2=25,又∵直线 l:(2m +1)x+(m+1)y-7m-4=0 恒过定点 Q(3,1)且点 Q 在⊙C 内部, ∴直线 l 与⊙C 恒有两个交 点. (2)由题意知,设点 P(x,y)为弦 AB 的中点, → → 由(1)可知CP· QP=0, → → → → 而CP=(x-1,y-2),QP=(x-3,y-1),∴CP· QP=(x-1)(x-3)+(y-2)(y-1)=0, 化简得:x2+y2-4x-3y+5=0, 点 P 的轨迹方程为 x2+y2-4x-3y+5=0, 由圆的几何性质可知,当 Q(3,1)是弦 AB 的中点时,|AB|最小.|CQ|= ?1-3?2+?2-1?2 = 5,圆 C 的半径为 5,∴|AB|min=2 52-? 5?2=4 5.

一、选择题 1. 若直线 3x-4y=0 与圆 x2+y2-4x+2y-7=0 相交于 A, B 两点, 则弦 AB 的长为( ) A.2 B.4 C.2 2 D.4 2 [导学号 03350739] 解析: 选 D.圆 x2+y2-4x+2y-7=0 的标准方程为(x-2)2+(y+1)2 |6+4| =12,则圆心为(2,-1),半径 r=2 3,又圆心到直线 3x-4y=0 的距离 d= =2,所 5 以弦 AB 的长为 2 r2-d2=2 12-4=4 2.故选 D. 2.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点, 则|MN|的最小值是( ) 9 A. B.1 5 4 13 C. D. 5 5 [导学号 03350740] 解析:选 C.圆心(-1,-1)到点 M 的距离的最小值为点(-1,-1) |-3-4-2| 9 4 到直线的距离 d= = ,故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1= .故选 C. 5 5 5 2 2 3.直线 kx+y-2=0(k∈R)与圆 x +y +2x-2y+1=0 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.与 k 值有关 |-k+1-2| [导学号 03350741] 解析:选 D.圆心为(-1,1),所以圆心到直线的距离为 = 1+k2 |k+1| ,所以直线与圆的位置关系和 k 值有关,故选 D. 1+k2 4.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 [导学号 03350742] 解析:选 B.由点 M 在圆外,得 a2+b2>1,所以圆心 O 到直线 ax 1 +by=1 的距离 d= 2 <1=r,则直线与圆 O 相交.故选 B. a +b2 5.已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(- 4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B.4 2 C.6 D.2 10

[导学号 03350743] 解析:选 C.由于直线 x+ay-1=0 是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴,∴圆心 C(2,1)在直线 x+ay-1=0 上,∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,- 1). ∴|AC|2=36+4=40.又 r=2,∴|AB|2=40-4=36.∴|AB|=6. 1 2 6.若直线 ax+by-1=0(a,b∈(0,+∞))平分圆 x2+y2-2x-2y-2=0,则 + 的最 a b 小值是( ) A.4 2 B.3+2 2 C.2 D.5 [导学号 03350744] 解析:选 B.由题意可得直线 ax+by-1=0(a,b∈(0,+∞))经过 1 2 a+b 2a+2b b 2a 圆 x2+y2-2x-2y-2=0 的圆心(1,1),∴a+b=1,∴ + = + =3+ + ≥3 a b a b a b +2 2, b 2a 当且仅当 = 时等号成立. a b 1 2 故 + 的最小值是 3+2 2,故选 B. a b 7.在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与 直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) 4 3 A. π B. π 5 4 5 C.(6-2 5)π D. π 4 [导学号 03350745] 解析:选 A.由于 A,B 分别在 x 轴、y 轴上,故以 AB 为直径的圆 C 过点 O.又圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,故把点 O 到直线 2x+y-4=0 的距离作为圆 C 的 4 直径时,圆的面积最小.点 O 到直线 2x+y-4=0 的距离 d= ,∴圆 C 面积的最小值是 5 2 4 π·? ?2= π.故选 A. ? 5? 5 8.若圆 x2+y2=a2 与圆 x2+y2+ay-6=0 的公共弦长为 2 3,则 a 的值为( ) A.± 2 B.2 C.-2 D.无解 [导学号 03350746] 解析:选 A.圆 x2+y2=a2 的圆心为原点 O,半径 r=|a|. 将 x2+y2=a2 与 x2+y2+ay-6=0 左右分别相减, 可得 a2+ay-6=0,即得两圆的公共弦所在直线方程为 a2+ay-6=0. 6 ? 原点 O 到直线 a2+ay-6=0 的距离 d=? ?a-a?, 6 ?2 根据勾股定理可得 a2=( 3)2+? ?a-a? , ∴a2=4,∴a=± 2.故选 A. 2 2 9. 若圆 x +y -4x-4y-10=0 上至少有三个不同点到直线 l: ax+by=0 的距离为 2 2, 则直线 l 的斜率的取值范围是( ) A.[2- 3,1] B.[2- 3,2+ 3] 3 C.? , 3? D.[0,+∞) ?3 ? [导学号 03350747] 解析:选 B.由已知得,圆心为(2,2),半径为 3 2.根据题意知,只 有圆心到直线的距离 d≤3 2-2 2时,圆上至少有三个不同点到直线的距离为 2 2,即 |2a+2b| ≤ 2,所以 a2+4ab+b2≤0.① a2+b2 当 b=0 时有 x=0,此时圆心到直线 x=0 的距离为 2> 2,不成立; 当 a=0 时有 y=0,此时圆心到直线 y=0 的距离为 2> 2,不成立;

a a a2 a 当 a≠0 且 b≠0 时, 直线 y=- x, 则 k=- , 将①式两边同时除以 b2, 得 2+4· +1≤0, b b b b 2 即 k -4k+1≤0,解得 2- 3≤k≤2+ 3. 综上,直线 l 的斜率的取值范围是[2- 3,2+ 3].故选 B. 10.已知圆 C:(x-2)2+y2=4,圆 M:(x-2-5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R),过圆 M → → 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE,PF,切点分别为 E,F,则PE· PF的最小值是( ) A.5 B.6 C.10 D.12 [导学号 03350748] 解析:选 B.圆 C:(x-2)2+y2=4 的圆心为 C(2,0),半径等于 2, 圆 M:(x-2-5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1,圆心 M(2+5cos θ,5sin θ),半径等于 1.

∵|CM|=5>2+1,故两圆相离. → → → → 如图所示,设直线 CM 和圆 M 交于 H,G 两点,则PE· PF的最小值是HE· HF. CE 1 |HC|=|CM|-1=5-1=4,|HE|= HC2-CE2= 16-4=2 3,sin∠CHE= = ,∴ CH 2 1 cos∠EHF=cos 2∠CHE=1-2sin2∠CHE= , 2 1 → → → → ∴HE· HF=|HE|· |HF|cos∠EHF=2 3×2 3× =6,故选 B. 2 二、填空题 11.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为________. [导学号 03350749] 解析:将圆 x2+y2-6x-8y=0 化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2= 25,从而可得最长弦为直径,即|AC|=10,最短弦长 |BD|=2 52-[?3-3?2+?5-4?2]=4 6, 1 1 且 AC⊥BD,所以 S 四边形 ABCD= |BD|· |AC|= ×4 6×10=20 6. 2 2 答案:20 6 12.圆 x2+y2-4x+6y=0 和圆 x2+y2-6x=0 交于 A,B 两点,则 AB 的垂直平分线的 方程为________. [导学号 03350750] 解析:由题意,圆:x2+y2-4x+6y=0 和圆:x2+y2-6x=0 交于 A,B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程,就是两个圆的圆心的连线方程. 圆:x2+y2-4x+6y=0 的圆心为(2,-3),圆:x2+y2-6x=0 的圆心为(3,0),所以所求 y+3 x-2 直线方程为 = ,即 3x-y-9=0. 3 3-2 答案:3x-y-9=0 13.过点 P(2,1)的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 交于 A,B 两点,当∠ACB 最小时,直 线 l 的方程为________. π d |CP| 2 π [导学号 03350751] 解析:显然 0<∠ABC< ,sin∠ABC= ≤ = ,∴∠ABC≤ , 2 r r 2 4 π π ∴∠ACB=π-2∠ABC≥π-2× = , 4 2 当且仅当 CP⊥l 时,等号成立, 故 l 的方程为 x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 14.已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的

三角形的面积等于________. [导学号 03350752] 解析:因为点 A(1,2)在圆 x2+y2=5 上,故过点 A 的圆的切线方程 5 为 x+2y=5,令 x=0,得 y= . 2 1 5 25 令 y=0,得 x=5,故 S= × ×5= . 2 2 4 25 答案: 4 三、解答题 15.已知圆 C 经过点 A(2,-1),和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=-2x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)已知直线 l 经过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程. [导学号 03350753] 解:(1)设圆心的坐标为 C(a,-2a),则 ?a-2?2+?-2a+1?2 = |a-2a-1| . 2 化简,得 a2-2a+1=0,解得 a=1. ∴C(1,-2),半径 r=|AC|= ?1-2?2+?-2+1?2= 2. ∴圆 C 的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=0,此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2,满足条件. |k+2| 3 ②当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=kx, 由题意得 解得 k=- , 2=1, 4 1+k 3 ∴直线 l 的方程为 y=- x. 4 3 综上所述,直线 l 的方程为 x=0 或 y=- x. 4 16.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上.

(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. [导学号 03350754] 解:(1)由题设知,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解 得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过点 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3. |3k+1| 3 由题意,得 2 =1,解得 k=0 或 k=- . 4 k +1 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y). 因为|MA|=2|MO|,所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2. 化简得 x2+y2+2y-3=0, 即 x2+(y+1)2=4. 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意知,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1, 即 1≤ a2+?2a-3?2≤3. 整理,得-8≤5a2-12a≤0.

由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ . 5 12 0, ? . 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为? 5? ?


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