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飞行器空气动力计算


第一章
1.1 飞行器几何参数

飞行器基本知识

飞行器通常由机翼、机身、尾翼以及动力装置等部件组成。对于气动正问题 及气动分析而言,已知飞行器几何外形,求其气动参数。要解决这一问题首先要 计算出飞行器各部件及组合体的几何参数。 当机翼和机身组合成一体时,机翼中间一部分面积为机身所遮蔽。它外露在 气流中的部分两边合起来,所构成的

机翼为外露翼,由下标“ wl ”表示 在组合体中把外露翼根部的前后缘向机身内延长并交于机身纵对称面, 这样 的机翼成为毛机翼。

第二章 机翼的气动特性分析
2.1 机翼几何参数
2.1.1 翼型的几何参数

翼型的前缘点与后缘点的连线称为弦线。他们之间的距离称为弦长,用符号 b 表示,是翼型的特征长度。可以想象翼型是由厚度分布 yc (x) 和中弧线分布

y f (x) 叠加而成的,对于中等厚度和弯度的翼型,上下翼面方程可以写成
yU ,L ( x) ? y f ( x)? y c ( x)
(2—1)

式中的正号用于翼型上表面,负号用于下表面。 x ? x / b , y ? y / b 分别为纵、横 向无量纲坐标。相对厚度和相对弯度 c ? c / b , f ? f / b 。最大厚度位置和最大 弯度位置分别用 xc 和 x f 或用无量纲量 xc / b 和 x f / b 表示。 翼型前缘的内切圆半径 叫做前缘半径,用 rL 表示,后缘角τ 是翼型上表面和下表面在后缘处的夹角。 2.1.2 机翼的几何参数

1.机翼平面形状:根梢比、展弦比和后掠角 机翼面积 S 是指机翼在 xOz 平面上的投影面积,即
S=

ò

l 2 l 2

-

b( z )dz

(2—2)

式中,b(z)为当地弦长。几何平均弦长 bpj 和平均气动弦长 bA 分别定义为

bpj = S / l
l 2 2 2 bA = ò0 b ( z )dz S

(2—3)

(2—4)

显然,bpj 是面积和展长都与原机翼相等的当量矩形翼的弦长;而 bA 是半翼面心所在的 展向位置的弦长,通常取 bA 作为纵向力矩的参考长度。除了上述几何参数外,还有根梢比、 梢根比和展弦比。根梢比 h 和梢根比 e 定义为

h = b0 / b1 , e =1/ h
展弦比 l 是机翼展向伸长程度的量度,定义为

(2—5)

l = l / bpj = l 2 / S

(2—6)

梯形后掠翼前缘与 z 轴的夹角叫做前缘后掠角,用 c 0 表示,常用的还有 1/4 弦线、1/2 弦线和后缘线的后掠角,分别用 c 1/ 4 , c 1/ 2 和 c 1 表示。如图 2—2 所示。

2.2 翼型的低速气动特性
2.2.1 翼型的升力和力矩特性
黏性对失速前翼型升力特性的影响是可以忽略的。此外,只要翼型相对厚度 c 和相对弯 度 f 都很小,并且翼型的迎角也不大,那么翼型表面上压强的合力大小和方向就只受到厚

度分布的轻微影响。 对于这样的微弯薄翼, 翼型的升力和力矩特性可以用气流绕它的中弧线 流动而求得,可以用薄翼理论来计算。 2.2.1.1 压强和载荷 根据伯努利方程,流动中某点的压强系数与该点的速度有如下关系:

C p = 1- (

v 2 ) v?

(2—7a)

式中,v= (v? + vx ) i+ vy j, vx 和 vy 为扰动速度, v? 为来流速度。对于小扰动情况,即

vx , vy ? v? ,略去二阶小量后式(2—7a)简化为
Cp = 2vx v?
(2—7b)

弦向点 x 处下翼面与上翼面的压强 pL 与 pU 之差为载荷,用符号 Dp( x) 表示,为

Dp( x) = pL ( x) - pU ( x) = DCp ( x) q?
式中 DC p ( x) 为载荷系数, qゥ =

(2—8)

1 r v2 。 2

对于薄翼,整个翼型是由厚度分布和中弧线叠加而成的,图 2—3。在小迎角情况下, 根据线化方程和边界条件,翼型的压强系数可以表示成由厚度和弯度(包括迎角)贡献的叠 加,即

Cp = Cpc + Cpf + Cpa
式中, C pc 为当迎角 a = 0 和弯度 f = 0 时,由厚度产生的压强系数; Cpf + Cpa 为中弧线 和迎角产生的压强系数。

2.2.1.2 升力和力矩特性 薄翼理论的结果。

翼型的升力系数和绕翼型前缘的力矩系数为

Cy =

Y 1 b = ò Dp( x)dx qゥb q b 0 M - 1 b ò Dp( x) xdx 2 = qゥb q b2 0

(2—9)

mzL.E . =

(2—10)

式中,规定力矩使翼型前缘抬头为正,载荷与环境密度 g ( x) 的关系为

Dp( x) = r ゥv g ( x)
由薄翼理论有

(2—11)

1+ cos q g ( x) = 2v? ( A0 + sin q
由式(2—9)至式(2—12)得

?
n= 1

?

An sin nq )

(2—12)

Cy = 2p A0 + p A1
mzL.E . = 用升力系数表示的力矩系数可写成

(2—13) (2—14a)

1 1 p ( A0 + A1 - A2 ) 2 2 1 1 C y + p ( A2 - A1 ) 4 4

mzL.E . = -

(2—14b)

式(2—12)至式(2—14)中的多项式系数 An 与中弧线方程 y f ( x) 的关系为

A0 = a 2 p

1 p

ò

p

dy f ( x) dx

0

dq

An =

ò

p

dy f ( x) dx

0

cos nq dq
b (1- cos q ) 2

(n = 1 , 2 , . . . )

(2—15)

x=
1. 翼型的升力特性

将式(2—15)的系数代入式(2—13) C y 改写为 ,

Cy = 2p (a - a 0 )
a0 = 1 p

ò

p

dy f ( x) dx

0

(1- cos q )dq

(2—16)

式中, a 0 为零升迎角,它代表零升力线与弦线的夹角,图 2—4。它仅与中弧线形状有 关。此式说明翼型的升力系数随几何迎角 a 成线性变化。

将 C y 对 a 求导,得薄翼理论的升力线斜率
a Cy = 2p

(2—17)

2.翼型的力矩特性 对于给定的翼型, (2—14b) 式 等号右边的第二项 成线性关系,可将式(2—14b)改为

1 p ( A2 - A1 ) 为常量, mzL.E . 与 C y 故 4

ü C mzL.E . = mz 0 + mz y C y ? ? ? p mz 0 = ( A2 - A1 ) ? 4 ? ? 1 C mz y = ? ? 4

(2—18)

式中,mz 0 是零升力矩系数, 它与翼型的升力或迎角无关, 仅是翼型弯度分布 y f ( x) 的函数;

mz y 是力矩系数对升力系数的导数。
如果对翼型的 1/4 弦点取力矩,并利用式(2—18) ,可得

C

mz1/ 4 = mzL. E . +

1 c = mz 0 4 y

(2—19)

显然,对于薄翼理论而言,1/4 弦点力矩系数与升力系数(或迎角)无关,它就等于零 升力矩系数。 在翼型上有两个重要的特性点,一个是焦点(或称气动中心) ,另一个是压力中心。 1)翼型上存在这样一个点, 该点的力矩系数与升力系数无关, 这一点称为翼型的焦点。 焦点的弦向相对量用 x F 表示。既然绕焦点的力矩与升力系数无关,故它是升力增量的作用 点。因此,对于前缘力矩系数又可写成

mzL.E. = mz 0 - x F C y
将式(2—20)与式(2—18)的第一式相比较,可得基于薄翼理论的焦点位置

(2—20)

x F = - mz y =

C

1 4

(2—21)

2) 翼型的升力作用线与弦线的交点称为压力中心, 压力中心的弦向相对位置用 x P 表示。 根据上述定义,将前缘力矩系数除以升力系数,可得

xP = -

mz 0 p ( A2 - A1 ) C - mz y = x F Cy 4 Cy

(2—22)

从方程 (2—15) 知,A 和 A2 都与迎角无关, 至取决于中弧线形状, 故压力中心将随 C y 1 变化。对于对称翼型(弯度分布 y f ( x) = 0 ) A2 = A =0,薄翼理论 压力中心与焦点重合, , 1 即 xP = xF =

1 。 4
2

【例 2—1】某一翼型的弯度分布 y f ( x) = 4 f ( x - x ) , 试求该翼型的升力和力矩特性。 解 该翼型的弯度分布沿 x 的变化率为

d y f ( x) dx
由式(2—15)得

= 4 f (1- 2 x) = 4 f cos q

A0 = a , A1 = 4 f , An = 0
于是根据式(2—16)~式(2—22)有

(n ? 2 )

a 0 = - 2 f , C y = 2 p (a + 2 f ) mz1/ 4 = mz 0 = - p f , mzL.E . = 1 p (a + 4 f ) 2 ?? 1 1 f xF = , xP = + 4 4 2(a + 2 f )
1 ,当迎角 a 或 C y 增 2

由最后一个式子可以看出,在零迎角下该翼型的压力中心 x P = 大时,它将移向焦点。

2.4.2 超声速薄翼型的线性化位流理论
超声速线化速势方程为
2 抖 j 2 抖x 2

b2
2 2

2

j =0 y

(2—31)

式中, b = Ma? - 1。流动方程式(2—31)的通解为

j = f ( x - b y) + g ( x + b y)
式中,f 和 g 是自变量为 ( x - b y) 和 ( x + b y) 的任意函数。可以看到

(2—32)

x - b y = 常量,x + b y = 常量

(2—33a)

的两族直线对于 x 轴的倾角分别为 arctan 的两族马赫波,如下图所示。

1 1 和 arctan(因此它们正好代表来流 Ma? ), b b

在翼型的上半平面流场中,函数 f ( x - b y) 代表翼型上表面所发出的扰动沿马赫线

x - b y = 常量向下游传播到流场点(x,y)所产生的扰动速度位 j ;而 g ( x + b y ) 代表翼
型下表面发出的扰动沿马赫线 x + b y = 常量 向下游传播到流场点(x,y)所产生的扰动 速度位 j 。在超声速流场中,有意义的解是往下游传播的,而且,受到扰动的区域也只局 限于前后缘马赫波之间。所以对上、下半平面的流场的小扰动速度位分别是

j = f ( x - b y) , j = g ( x + b y)

(2—34a)

可见, 沿着翼型上表面的马赫波 x - b y = 常量) ( 或沿下表面的马赫波 x + b y = 常 (

量) j 为常量,而且,流场上沿着马赫波的两扰动速度分量 vx = 流动参数也都是常量。

?j ?j 和 vy = 以及其他 ?x ?y

函数 f ( x - b y) 和 g ( x + b y ) 科根据翼型绕流边界条件确定。设翼型的上表面方程为

yU ( x) ,由线化边界条件有
dy ( x) 1 ?j ( )U = ( U ) v? ? y dx
对于上表面令 x - b y = z ,则有 (2—35)

(
线化压强系数公式为

?j df dz )U = = - b f ' ( x - b y) ?y dz dy

(2—36)

C pU = -

2 ?j 2 ' = f ( x - b y) vゥ ? x v

(2—37)

联立式(2—35)(2—36)和(2—37) 、 。得

C pU =
类似地,如果翼型下表面方程为 yL ( x) ,则

2 dyU b dx

(2—38)

C pL =

2 dyL ( x) b dx

(2—39)

根据线化理论,翼型表面上任一点的压强系数与该点翼面对于来流方向的斜率成正比。 由于物面上任一点相对于来流方向 倾角 q ( x) 都很小,所以该点物面斜率科表示为

dy( x) / dx = tan q
这样,式(2—38)和(2—39)科合并成

q ( x)

Cp =

2q ( x) Ma?2 - 1

(2—40)

式(2—38)至式(2—40)就是线化、二维超声速的基本关系。式(2—40)表明,物面上。 任一点的压强系数与该点相对于来流的倾角成正比。相对于来流为压缩的物面倾角 q ( x) 取 正直,为膨胀的物面倾角 q ( x) 则取负值。

2.4.3 翼型的超声速气动特性
对于薄翼,来流迎角很小,可认为翼型的整个气动力是由厚度、弯度和迎角产生的气 动力的代数和。如图 2—19 所示,将 x 轴沿着翼弦方向,y 轴与 x 轴垂直,则上、下翼面相 对于来流的倾角 q ( x) 可表示成

qU ( x) = e c ( x) + e f ( x) - a q L ( x) = e c ( x) - e f ( x) + a

(2—41)

式中, e c , e f 分别代表厚度( yc ( x) )翼型和弯度( y f ( x) )翼型表面上某一点的倾角,即

e c ? dyc ( x) / dx e f ? dy f ( x) / dx
将式(2—41)代入式(2—40) ,得任意形状翼面上下表面压强分布

(2—42)

C pU = C pL =

2 Ma?2 - 1 2 Ma?2 - 1

[e c ( x ) + e f ( x ) - a ]
(2—43)

[e c ( x ) - e f ( x ) + a ]

由式(2—34)可见,对于任意形状的翼型,它的表面压强系数可认为是厚度分布、弯度分 布和来流迎角所产生的压强系数的代数和。

1.升力特性 从图 2—19 可见,作用在翼型微元上的升力为

dY = qゥ[CpL ( x)dSL cos q L ( x) - CpU ( x)dSU cos qU ( x) ? q [CpL ( x) CpU ( x)]dx
式中, dSU 和 dS L 分别为翼型上下表面微元长度。翼型微元升力系数为

dC y =

dY x ? [C pL ( x) C pU ( x)]d ( ) q? b b

(2—44)

将式(2—43)代入式(2—44) ,得

dC y =

x [a - e f ( x)]d ( ) b Ma?2 - 1

4

(2—45)

由于在翼型前后缘 yU = yL = 0 ,因此有

蝌e
b 0

f

x d( ) ? b

( 0

b

dy f

x )d ( ) dx b

1 b

x= b x= 0

dy f = 0

(2—46)

将式(2—45)对 x 从零积分到 b,并应用是(2—46) ,得

Cy =

4a Ma?2 - 1

(2—47)

从式(2—47)可见,在超声速线化理论中,薄翼型的升力系数与厚度和弯度分布无关,升 力系数与迎角成正比。 2.波阻力特性 从图 2—19 可见,翼型微元上的阻力位

dX b = q? [CpL ( x)dSL sin q L ( x) + CpU ( x)dSU sin qU ( x)]
因为对于薄翼 dS ? sin q

dS 坊 q tan q cos

q dx ,所以上式可写为

dCxb = 2

dX b ? q? b
2 c

2 Ma - 1
2 f 2 ?

[(e c
2

x e f + a ) 2 + (e c + e f - a ) 2 ]d ( ) = b
(2—48)

x [2(e + e + a ) - 4ae f ]d ( ) b Ma?2 - 1

利用式(2—46) ,可以看出式(2—48)中 4ae f 的积分为零,所以翼型的波阻力系数可表 示为

Cxb = 4a
2

2 Ma - 1 +
2 ?

ò [2(e
b 0

2 c

x + e 2 + a 2 )]d ( ) = f b
(2—49)
b 2 c 2 f

2 Maゥ - 1

x ò0 [e + e ]d ( b ) 2 Ma - 1

4

对于给定翼型 e c , e f 都是知道的,令

x e c2 d ( ) b b 2 x K f f = ò0 e 2 d ( ) f b Kc c =
2

ò

b

0

(2—50)

式中, c, f 分别为翼型的相对厚度和相对弯度; Kc , K f 分别是与翼型厚度分布和弯度分布 有关的几何常数。 利用式(2—50) ,式(2—49)可改写为

Cxb =

4a 2
2 Maゥ - 1

+

4 Ma 2 - 1

[Kc c + K f f ]

2

2

(2—51)

式(2—51)等号右边第二项与迎角无关,仅与翼型厚度分布和弯度分布有关,对于弯度为 零的翼型。零升波阻力系数为

(Cxb )0 =

4 Ma - 1
2 ?

Kc c

2

(2—53)

表 2—2 给出了几种超音速对称翼型的 K c 值,按式(2—50)计算,或由经验给出。菱 形翼型的波阻系数是最小的。 翼剖面 简 图

Kc

正弦形

p /8

四角形

1/4 xc (1- xc )

六角形

1/(1-a/b)

菱形

1

圆弧或抛物线形

4/3

亚声速翼剖面

2.5—4

3.力矩特性 如果忽略压强弦向分量和其他高阶小量对俯仰力矩的贡献,那么对翼型前缘点的微元 俯仰力矩 dM zL.E 可表示为

dM zL.E. = - q? [CpL ( x) - CpU ( X )]xdx
将式(2—43)代入上式,得翼型俯仰力矩系数

mzL.E . = Cy 2 +

蝌q b
b 0 ?

dM zL.E .
2

=b

4 Ma - 1
2 ?

b 0

x x (a - e f ) d ( ) = b b
(2—54)

x x ò0 e f b d ( b ) 2 Ma? - 1

4

由式(2—47)和式(2—54)可见,由于厚度产生的压强对翼弦是上下对称的,所以 厚度对升力和力矩都无贡献。力矩系数是迎角和弯度作用的代数和,它们分别是

( mzL.E. ) a = ( mzL.E . ) f =
对于给定的翼型 e f ? 参数,它的表达式为

2a Ma?2 - 1

=-

1 C 2 y
2 Ma 2 - 1 Km

(2—55)

4 Ma - 1
2 ゥ

ò

b

0

ef

x x d( )= b b

(2—56)

dy f dx

,式(2—56)中 K m 只是与翼型的弯度分布函数 y f ( x) 有关的

K m = 2ò0 e f
b

x x d( ) b b

(2—57a)


b dy f x x x 1 b K m = 2蝌 贩 d ( ) = 2[ 2 y丨 f 0 0 dx b b b b b 0

x 2 yf d( )= b b

b

0 f

x y d ( ) (2—57b) b

压力中心距前缘的相对距离为

xp = -

mzL.E. 1 K = (1- m ) Cy 2 a

(2—58)

翼型焦点距前缘的相对距离为

xp = -

?mzL.E. 1 = ?Cy 2

(2—59)

在低速时,翼型的焦点 x p = 1/ 4 ;而在超声速时 x p = 1/ 2 。由此可见,从低速到超声 速焦点位置显著后移了,这是研究飞行器的稳定性与操作性时必须注意的一个问题。 由式(2—58)和(2—59)可见,由线化理论给出的压力中心位置和焦点位置仍然不 随马赫数变化而变化,这与低、亚声速是相同的。 【例 2—2】 有一双凸面的翼型如图 2—20 所示,该翼型的上下表面方程分别为

x2 yU ( x) = 0.28( x ) b



x2 yL ( x)= 0 . 1 2- ( x b

)

试用线化理论计算该翼型在 Ma? = 1.72 时的升阻和力矩系数以及压力中心位置。

解 设翼型的迎角为 a ,并由给定的翼型表面方程,根据式(2—41)和式(2—42) , 上下表面任一点切线与来流方向的倾角分别为

x q U = 0.28(1- 2 ) - a b x q L = 0.12(1- 2 ) + a b
(1) 升力系数。升力系数仅与迎角有关,故

Cy =
(2)

4a Ma?2 - 1

= 2.86a

波 阻 系 数 。 该 翼 型 的 厚 度 分 布 函 数 yc = ( yU + yL ) / 2 , 弯 度 分 布 函 数

y f = ( yU - yL ) / 2 ,所以零升波阻系数为
禳 b 2x 2 2x 2 x 睚 [0.20(1)] + [0.08(1)] d = ò0 b b b Ma - 1 铪 2
2 ゥ

( Cxb ) 0 =

0.0619 Ma 2 - 1

= 0.0442

该翼型的总波阻系数

Cxb = ( 4a 2 + 0 . 0 6 ) 9 Ma? 21 /

= 1

a .28 6 2 +

0.0442

(3) 力矩系数。与该翼型的弯度分布函数相对应的任一点倾角 e f ( x) 为

e f ( x) ?

dy f ( x ) dx

0.08(1-

2x ) b

将上式代入式(2—56) ,得到弯度产生的绕前缘力矩系数

( mzL.E . ) a =

4 Ma - 1
2 ゥ

ò

b

0

0.08(1-

2x x x ) d( )= b b b

0.16 0.32 )= 2 Ma - 1 2
2

2

(

0.0534 Ma 2 - 1

该翼型总力矩系数为

mzL. E . = (mzL.E . ) f + (mzL.E . )a = 压力中心位置

2 Ma?2 - 1

(a + 0.0267) = - 1.43a - 0.0381

xp = -

mzL.E. 0.0135 = 0.5+ Cy a

(4) 升阻比。升力 Y 与阻力 X 之比。在位流理论中,翼型的阻力就等于波阻力,故

Cy Y a = = 2 X Cxb a + 0.155

第三章
机身的几何参数列出如下:

机身的气动特性分析
3.1 机身几何参数

(1) Lsh 为机身总长度; Ltb 为机身头部长度; Lwb 为机身尾部长度; bmax 为机身最大 宽度; hmax 为机身最大高度; (2) Dmax 为旋成体机身最大直径; R ( x ) 为旋成体半径; (3) l sh =

Lsh Ltb L 是旋成体长细比; l tb = 为旋成体头部长细比; l wb = wb 为 Dmax Dmax Dmax Ddb 是旋成体尾部收缩比; Dmax

旋成体尾部长细比; h wb = -

(4)d h =

hmax b 为机身相对高度;d b = max 为机身相对宽度; f 为机身中轴线距机身 Lsh Lsh

纵轴线的距离。

旋成体头部母线有各种形式,常用的头部母线方程介绍如下: (1) 锥形头部

R = x tan dtb
式中, d tb 为头部半顶角。 (2) 蛋形头部
2 l tb R x 2 = 2( l tb + 0.25)[(- 2 )( - 1)2 - 1]+ 1 Rmax l tb + 0.25 Ltb

(3—1)

(3—2)

(3) 抛物线头部

R x x = (2 ) Rmax Ltb Ltb
(4)

(3—3)

R 1 = Rmax p
式中, j = arccos(1-

j -

1 sin 2j 2

(3—4)

2x ) Ltb

(5) 哈克形头部

R x x 3 = [ (2)]4 Rmax Ltb Ltb
(6)指数形头部

(3—5)

R x 3 = ( )4 Rmax Ltb

(3—6)

以上介绍的母线方程是弹箭常用的头部形状,也是导弹和旋成体机身头部常用的形状。 除上述几何参数外, 机身的体积和机身表面积也是气动力计算中常用到的, 对于旋成体 机身来说,其体积可表示为

V = p ò0 R 2 ( x )dx
Lsh

(3—7)

其表面积为

Sb = 2p ò0 R ( x ) 1+ (
Lsh

dR 2 ) dx dx

(3—8)

例如对于旋成抛物体积分可得

V=
式中, S sh 为机身最大横截面积。

8 L S 15 sh sh

(3—9)

旋成体机身表面积与最大横截面积之比可近似表示为

Sb ? 2[2 l sh Ssh

l tb (1- h tb ) - l wb (1- h wb )]

(3—10)

式中, h tb 为机身头部有进气道时引入的头部收缩比, h tb = 在处的机身直径。

Df Dmax

, D f 为头部进气道口所

3.3 细长旋成体小迎角气动特性
3.3.1 压强分布
1.旋成体 C p 公式 对于像机翼那样扁平物体,在一阶近似的情况下,物面压强系数表示为

Cp = 式中, j

2 j n?

x

(3—12)

x

=

?j 为 x 方向扰动速度,它与来流方向平行, j 是扰动速度位。 ?x

对于旋成体,若用式(3—12) ,则不精确,还必须考虑扰动速度的平方项,以柱坐标表 示为
2 j x + j r2 + j 2 Cp = j nゥ x n2 2 q

1 r2

(3—13)

对于细长旋成体,式中 x 方向扰动速度 j x 比 r 方向及 q 方向扰动速度 j r , j 故常略去,式(3—13)可简化为

q

要小,

Cp = -

2 j nゥ x

j r2 + j n2

2 q

1 r2

(3—14)

该式是在速度坐标系内的,在实用中常用机体坐标系内的关系式,以(x,y,z)(x,r,q ) , 表示体轴坐标,以( x , y , z )( x , r , q )表示风轴坐标系,两者之间的换算关系为 ,
' ' ' ' ' '

x = x' cos a - y ' sin a - y 'a y = y ' cos a + x' sin a + x'a
两个坐标系下扰动速度的关系式为
' j x= j

x

抖 x +j 抖' x

y

y +j x'

z

z = j x + j ya x'

j y = j r cos q -

1 j sin q r q

式中, j r = j r' , j

q

= j q' 。请注意式中带撇量为风轴系,不带撇量为体轴系。将以上转换

关系代入式(3—14)中,并注意式(3—14)中各物理量,此时都应该理解为是带撇量,最 后可得

1 j r2 + j q2 2 2 2a 1 r Cp = j (j r cos q - j q sin q ) nゥ x n r n2
将上式配方,加上

n?2 a 2 2 2 ,则可写成 2 (cos q + sin q - 1) n?
2 1 1 j x - 2 [(nゥa cos q + j r )2 + (n a sin q - j q )2 - n 2 a 2 (3—15) nゥ n r
q

Cp = -

式(3—15)表明,只要求得旋成体绕流流场中的三个扰动分速度 j x , j r 和 j

,就可以求

得任一 a 下的 C p 。式(3—15)还表明,旋成体 C p 与扰动速度是非线性关系,一般情况下, 求流场中某点 C p ,不能应用叠加原理,而只有对十分细长体求物面 C p 的特殊情况,才存在 有叠加性,后面将会介绍。 理论上处理旋成体绕流计算采用小扰动假设,将来流 v? 以小迎角绕旋成体流动看成是 两种流动的叠加:一是来流以速度 vゥ cos a = v 零迎角绕旋成体的流动,称之为轴向流; 另一是来流以 vゥ sin a ? v a 垂直于旋成体轴线绕旋成体流动,称之为横向流。 2.细长旋成体轴向流的物面压强分布 对于轴向流旋成体(即 a = 0 )物面上所有母线上的 C p 分布是一致的,这时是轴对称 流动,j
q

= 0 。根据细长旋成体理论可以求得细长旋成体轴向亚声速流动的扰动速度 j x 和

j r ,因而可求得轴向绕流时的压强分布 C p1 。
1 d 2S dR 2 1 L - 2 x dS d 2S C p1 = ln R - ( ) + { + [ln 2 x( L - x) - 1- ln b ] 2 } (3—16) p dx 2 dx p 2 x( L - x) dx dx
式中,

dR d 2S 为旋成体半 2 为旋成体横截面面积 S 沿轴线 x 的二阶导数;R 是旋成体半径; dx dx
1- Ma?2 。
无关,这最后可视

径对 x 的导数;L 是旋成体长度; b =

式(3—16)中仅等号右边最后一项与马赫数有关,其他项与 Ma?

d 2S 为压缩性修正项。由式(3—16)知,压缩性影响不但与 Ma? 有关,而且和 2 有关,在 dx d 2S = 0 的地方则不存在压缩性影响。图 3—11 给出了长细比为 10 的旋成体亚声速轴向流 dx 2
动时 C p1 分布。可见压缩性影响在物面上各点不同,且前后对称,所以旋成体不但不受升力 作用,也不受轴向力作用,但超声速则不同。 超声速轴向流绕过细长旋成体时,有如下表达式:

j

x1 = -

vゥ d 2 S v d x d 2S 2 ln( )ln( x - x )d x ò 2p dx 2 b R 2p dx 0 d x 2
j
r1

(3—17)

=-

v? dS 2p R dx

(3—18)

式(3—17)中 b = 于两式求得 j
x1

Ma?2 - 1 ,其中符合与式(3—16)相同。旋成体体面形状已知时,由

, j r1 ,再通过式(3—15)即可求得 C p1 ,需要注意轴向流动 q = 0, vq = 0 。

图 3—12 给出长细比为 10 的旋成体抛物体的超声速轴向流扰动时的 C p1 分布,可见尽管旋 成体前后对称, C p1 分布前后不均匀, 但 这就是轴向力的存在, 这种力正是厚度波阻的成因。 3.细长旋成体横向流动的压强分布 对于细长旋成体的横向流动常采用简单细长体理论, 就该理论而言, 不管来流是亚声速 还是超声速,在小迎角下就其横流速度 v? a 来说都是不可压流动,按简单的细长体理论求 得横向流时物面上的三个扰动速度为

j

x2

= 2v? a cos q

dR dx

(3—19) (3—20) (3—21)

j

r2

= - v? a cos q

j q = - v? a sin q

将以上三个分速度代入式(3—15) ,可求得以 v? a 横向流绕细长旋成体物面上的压强分布

C p2 为
C p 2 = - 4a dR cos q + a 2 (1- 4sin 2 q ) dx
(3—22)

式中, q 为旋成体母线子午角(见图 3—5) 。 需提出注意的是,求流场中任一点 C p 不存在叠加性。对于非细长旋成体来说也不存在

C p 的叠加性,这时只能求出横向流与轴向流的速度 j x1, j

x2

,j

x1

,j

x2

然后对速度叠加,再

将合速度代入(3—15)中求出总的压强系数 C p 。


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