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北京市西城区高一年级数学必修1 模块测试题+答案


北京市西城区高一年级数学必修 1 模块测试题
一、选择题 1. 已知集合 M ? {a,0}, N ? {1,2} ,有 M ? N ? {1},那么 M ? N 等于( A. {a,0,1,2} B. {1,0,1,2} C. {0,1,2} ) C. D. 不能确定 )

2. 若 3 a ? 4 ,则 log3 2 的值等于( A. 2a B.

a

a 2


D.

a 4

3. 下列函数中,在区间 (0,1) 上为增函数的是( A. y ? 2 x 2 ? x ? 3
2
x B. y ? ( )

1 3

C. y ? x 3

D. y ? log 1 x
2

x x 4. 为了得到函数 y ? 3 ? ( ) 的图象,可以把函数 y ? ( ) 的图象(

1 3

1 3



A. 向左平移 3 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度 C. 向左平移 1 个单位长度 D. 向右平移 1 个单位长度
3 5. 用二分法求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 上的实根,取区间中点 x0 ? 2.5 ,则下一个有根

区间是(

) B. [2.5,3] C. [ ,

A. [2,2.5]

5 11 ] 2 4


D. 以上都不对

6. 函数 f ( x) ? log4 x 与 f ( x) ? 4 x 的图象( A. 关于 x 轴对称 C. 关于原点对称

B. 关于 y 轴对称 D. 关于直线 y=x 对称

7. 已知 A,B 两地相距 150km,某人开汽车以 60km/h 的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1h 后再以 50km/h 的速度返回 A 地,把汽车离开 A 地行驶的路程 x(km)表示为时间 t(h)的函数表 达式是( ) A. x ? 60t B. x ? 60t ? 50t C. x ? ?

(0 ? t ? 2.5) ? 60t ?50t ? 25, (t ? 3.5)

1/7

(0 ? t ? 2.5) ? 60t , ? (2.5 ? t ? 3.5) D. x ? ? 150, ?50t ? 25, (3.5 ? t ? 6.5) ?
8. 定义域为 R 的奇函数 f ( x) 是减函数,当不等式 f (a) ? f (a 2 ) ? 0 成立时,实数 a 的取值范围 是( ) B. ? 1 ? a ? 0 D. a ? ?1或a ? 1

A. a ? ?1或a ? 0 C. a ? 0或a ? 1 二、填空题

9. 函数 y ? (1 ? x) 0 ? 1 ? x 的定义域是 10. 2 log5 10 ? log5 0.25 = 。



? 1 ? x 2 , ( x ? 0) 11. 设函数 f ( x) ? ? 1 ,若 f (a ) ? 2 ,则实数 a= x ?( ) , ( x ? 0) ? 2



12. 定义域为 R 的函数 f ( x) 对于任意实数 x1 , x 2 满足 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 的解 析式可以是 。 (写出一个符合条件的函数即可) 。

13. 偶函数 f ( x) 在 (??,0) 内是减函数,试比较 f ( 2) 与 f (?3) 的大小关系

14. 已知集合 A ? {x | log2 x ? 2} , B ? (??, a) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 (c,??) ,那 么,其中 c= 三、解答题 15. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} 。 (1) 求 A ? B ; (2) 求 (CU A) ? B 。 。

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16. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,设 g ( x) ?

1 ? f ( x ? 1) 。 x

(1) 求函数 g ( x) 的表达式及定义域。 (2) 判断函数 g ( x) 的奇偶性,并证明。

17. 已知函数 f ( x ) ? 4 x ?

1 。 x

(1) 求函数 y ? f ( x) ? 4 的零点; (2) 证明函数 f ( x) 在区间 ? ,?? ? 上为增函数。

?1 ?2

? ?

18. 已知函数 f ( x) ? log( x?3) ( x ? 4x ? 3) 。
2

(1) 求 f ( x) 的定义域。 (2) 解不等式 f ( x) ? 1 。

19. 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3 在区间 [0,1] 上的最大值是 g (a ) ,最小值是 p (a ) 。
2

(1) 写出 g (a ) 和 p (a ) 的解析式。 (2) 当函数 f ( x) 的最大值为 3、最小值为 2 时,求实数 a 的取值范围。

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【试题答案】
一、选择题 1. C 2. C 3.C 4.D 5. A 6. D 7.D 8.A 提示: 5. 令 f ( x) ? x 3 ? 2 x ? 5 ,∴ f (2) ? ?1 ? 0 , f (3) ? 16 ? 0 , f (2.5) ? 5.625 ? 0 ,故下一个 有根区间是 [2,2.5] 。 8. 由 f (a) ? f (a 2 ) ? 0 ,得 f (a 2 ) ? ? f (a) ,因为 f ( x) 为奇函数,所以 f (a 2 ) ? f (?a) ,
2 又因为 f ( x) 在 R 上是减函数,所以 a ? ?a ,解得 a ? ?1 或 a ? 0 。

二、填空题 9. {x | x ? 1且x ? ?1} 10. 2 11. 4 或-1

12. 答案不唯一,如 f ( x) ? 0. f ( x) ? 2 x 等 13. f (2) ? f (?3) 14. 4 提示: 13. 因为 f ( x) 为偶函数,所以 f (?2) ? f (2) , 又因为函数 f ( x) 在 (??,0) 内是减函数,所以 f (?3) ? f (?2) 。 故 f (?3) ? f (2) 。 14. ? log2 x ? 2,? x ? 4 , 故集合 A ? {x | x ? 4},又? B ? (??, a) ,且 A ? B ,

? a ? 4 ,又? a 的取值范围为 (c,??) ,? c ? 4 。
三、解答题 15. 解:
2 (1)由 x ? 3x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 ,解得 x ? 2 ,或 x ? 1 。

A ? B ? {x | ?1 ? x ? 3} ? {x | x ? 2, 或x ? 1} ? {x | ?1 ? x ? 1或2 ? x ? 3} 。
(2)? CU A ? {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,

? (CU A) ? B ? {x | x ? ?1, 或x ? 3} ? {x | x ? 2, 或x ? 1}

4/7

? {x | x ? 2, 或x ? 1} 。
16. (1)解:由 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,得 f ( x ? 1) ? x 2 ? 1 。 所以 g ( x) ?

1 x2 ?1 ? f ( x ? 1) ? 。 x x

定义域为 {x | x ? R且x ? 0}。 (2)结论:函数 g ( x) 为奇函数。 证明:? g (? x) ? 17.

( ? x) 2 ? 1 ? ? g ( x) ,∴函数 g ( x) 为奇函数。 ?x

1 1 ? 4 ,令 f ( x) ? 4 ? 0 ,得 4 x ? ? 4 ? 0 , x x 1 2 即 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 。 2 1 所以函数 y ? f ( x) ? 4 的零点是 。 2 1 (2)证明:设 x1,x2 是区间 ( ,?? ) 上的任意两个实数,且 x1 ? x 2 , 2
(1)解:因为 f ( x) ? 4 ? 4 x ? 则 f ( x1 ) ? f ? x 2 ? ? 4 x1 ? 由 x1 ? x 2 ?

1 1 ? (4 x 2 ? ) ? 4( x1 ? x 2 ) x1 x2

x1 x 2 ? x1 x 2

1 4,

1 1 ,得 x1 x2 ? , 2 4

又由 x1 ? x 2 ,得 x1 ? x2 ? 0 ,所以 4( x1 ? x 2 ) 于是 f ( x1 ) ? f ?x2 ? , 所以函数 f ( x) 在区间 ( ,?? ) 上为增函数。 18. 解:

x1 x 2 ? x1 x 2

1 4 ? 0,

1 2

? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0, ? x ? 3或x ? 1, ? ? (1)根据对数定义,知 ? x ? 3 ? 0, 即 ? x ? ?3, ? x ? ?2, ? x ? 3 ? 1, ? ?
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所以函数定义域为 {x | ?3 ? x ? 1且x ? ?2, 或x ? 3} 。 (2)不等式 log( x?3) ( x ? 4x ? 3) ? 1 ? log( x?3) ( x ? 4x ? 3) ? log( x?3) ( x ? 3)
2 2

? x ? 3 ? 1, ?0 ? x ? 3 ? 1, ? ? ? x 2 ? 4x ? 3 ? x ? 3 或 ? 2 ? x ? 4 x ? 3 ? x ? 3, ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0, ?
? ?3 ? x ? ?2 ,或 0 ? x ? 1 ,或 3 ? x ? 5
所以不等式的解集为 {x | ?3 ? x ? ?2, 或0 ? x ? 1, 或 3 ? x ? 5} 。 19. 解: (1) f ( x) ? ( x ? a) 2 ? 3 ? a 2 。

1 时, g (a) ? f ( x) max ? f (1) ? 4 ? 2a ; 2 1 当 a ? 时, g (a) ? f ( x) max ? f (0) ? 3 ; 2 1 ? ?4 ? 2a, (a ? 2 ), 所以 g (a) ? ? 1 ? 3, (a ? ) 2 ?
当a ? 当 a ? 0 时, p(a) ? f ( x) min ? f (0) ? 3 ; 当 0 ? a ? 1 时, p(a) ? f ( x) min ? 3 ? a 2 ; 当 a ? 1 时, p(a) ? f ( x) min ? f (1) ? 4 ? 2a ;

?3 ? 2 所以 p ( a ) ? ? 3 ? a , ?4 ? 2 a , ?
(2)当

(a ? 0), (0 ? a ? 1), (a ? 1).

1 ? a ? 1 时, g (a) ? f ( x) max ? f (0) ? 3 , p(a) ? f ( x) min ? 3 ? a 2 ? 2 , 2
解得 a ? 1 ; 当 a ? 1 时,g (a) ? f ( x) max ? f (0) ? 3 , p(a) ? f ( x) min ? 4 ? 2a ? 2 ,解得 a ? 1 (舍) 。 当a ?

1 时,验证知不符合题意。 2

所以 a ? 1 就是所求值。

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