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河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研考试 数学文试题 Word版含答案


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2013~2014 学年度上学期五调考试 高三年级数学(文科)试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (每小题 5 分,共

60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号 填涂在答题卡上) 1.设 i 是虚数单位,则复数 A. i 2 i 的虚部是( -1+i C. 1 2 ) D.- i 2 )

1 B.- 2

2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 B.命题 p ? q 是真命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题 3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m), 该几何体的体积为( ) m3 .

A.

7 3 7 2

B.

9 2

C.

D.

9 4
)

4.以下四个命题:其中真命题为(

①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1;

? =0.2x+12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量平均增加 ③在回归直线方程 y

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0.2 个单位; ④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系”的把握 程度越大. A.①④ 5.程序框图如图所示: B.②④ C.①③ D.②③
2

如果上述程序运行的结果 S=1320,那么判断框中应填入( A.K<10? 6.已知 y ? x A. ?
2

) D.K≤11?

B.K≤10?

C.K<9? )

? 1 则 cos(? ?
B. ?

2? ) 等于( 3

4 5

3 5

C.

4 5

D.

3 5

7. 已知菱形 ABCD 的边长为 4, ?ABC ? 150 ,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离
0

大于 1 的概率( ) A. 1 ?

?
8
2

B. 1 ?
2

?
6

C.

? 8

D.

? 6

8. 已知双曲线 C1:

x y ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的焦距是实轴长的 2 倍.若抛物线 C2: x 2 ? 2 py (p>0)的焦点 2 a b
) D.x =16y
2

到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 2 A.x = y 3 B.x =
2

16 3 y 3
*

C.x =8y

2

9. 已知 an=log(n+1)(n+2)(n∈N ).我们把使乘积 a1·a2·a3·?·an 为整数的数 n 叫做“优数”,则在 区间(1,2004)内的所有优数的和为( A.1024
2

) C.2026 D.2048

B.2003
2

10. 能够把圆 O : x ? y ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 “和谐函数”,下列函数不是 圆 O 的“和谐函数”的是( .. A. f ( x) ? 4 x ? x
3



5? x x x ?x C. f ( x) ? tan D. f ( x) ? e ? e 5? x 2 | a | ? | b | ? a ? b ? 2 ( a ? c ) ? ( b ? 2 c) ? 0 ,则 | b ? c | 的最小值为( 11.已知向量 a,b,c 满足 ,
B. f ( x) ? 1n



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A.

3 ?1 2

B.

7? 3 2

C.

3 2

D.

7 2

12.已知函数 f (x ) ?

x 3 mx 2 ? (m ? n )x ? 1 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , x2 ? (1, ? ?) ,点 ? 3 2

P(m, n) 表示的平面区域为 D ,若函数 y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取
值范围是( A. (1,3] )

1,3) B. (

+? ) C. [3,

D. (3, +? )

第Ⅱ卷

非选择题

(共 90 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置) 13.如图是甲、乙两名篮球运动员 2013 年赛季每场比赛得分的 茎叶图,则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 14.在 ?ABC 中,已知内角 A ? 则 ?ABC 的面积 S 的最大值为 . 甲 7 2 8 6 4 5 1 2 3 乙 2 6 3 1 9 1 2

?
3

,边 BC ? 2 3 , .

15.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AC1、A1B1 的中点.点 P 在正方体的表面上 运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 16.已知数列 {an } 满足 a1 ? .

1 a a , an ?1 ? an ? n ?1 n (n ? 2) ,则该数列的通项公式 an ? _________. 2 n(n ? 1)

三、解答题(共 70 分。解答应写在答卷纸的相应位置,并写出必要的文字说明、推理过程) 17. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |? 把函数 f ( x) 的图像向右平移

?
2

)的图象如图所示,

? 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像. 4 ? (1)若直线 y ? m 与函数 g ( x) 图像在 x ? [0, ] 时有两个公共点,其横坐标分别为 x1 , x2 , 2
求 g ( x1 ? x2 ) 的值; ( 2)已知 ?ABC 内角 A 、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且

?? c ? 3, g (C ) ? 0 . 若向量 m ? (1,sin A) 与

? n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

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18. (本小题满分 12 分)2013 年 9 月 20 日是第 25 个全国爱牙日。某区卫生部门成立了调查小组,调查 “常吃零食与患龋齿的关系” ,对该区六年级 800 名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总 数据:不常吃零食且不患龋齿的学生有 60 名,常吃零食但不患龋齿的学生有 100 名,不常吃零食但患 龋齿的学生有 140 名. (1)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下,认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系? (2)4 名区卫生部门的工作人员随机分成两组,每组 2 人,一组负责数据收集,另一组负责数据处理.求 工作人员甲分到负责收集数据组,工作人员乙分到负责数据处理组的概率.

附: k ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k 0 )

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

19. (本小题满分 12 分)如图,正△ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B. (1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求棱锥 E-DFC 的体积;

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(3)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP⊥DE?如果存在,求出 如果不存在,请说明理由.

BP 的值; BC

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x . (1)当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的图像在点 P(1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (3)当 a ? 1 时,对 x ? ,直线 y ? k ( x ? 1)恒在函数y ? f ( x) 的图像下方.求整数 k 的最大值. ( 1 , ? ?)

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆的离心率为 且椭圆 C 经过点 P(1, ) . (1)求椭圆 C 的标准方程;

1 , 2

3 2

(2)若线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦,且 PF2 ? ? F2 Q ,求 ?PF1Q 内切圆面积最大时实数 ? 的值.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选修 4-1:几何证明选讲 22. (本小题满分 10 分) 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD , 过点 A 作 AD ? CD 于 D ,交圆于点 E , DE ? 1 .

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(Ⅰ)求证: AC 平分 ?BAD ; (Ⅱ)求 BC 的长.

选修 4 - 4:坐标系与参数方程选讲 23.(本小题满分 10 分)在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ? 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 P( 3, 为? ?

? ? x ? 5 cos ? ? ? y ? 15 sin ?

( ? 为参数) 。

?
2

) ,直线 l 的极坐标方程

3 2 cos(? ? ) 6

?

.

(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A、B,求 | PA | ? | PB | 的值.

选修 4 - 5:不等式选讲 24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8; (2)若 | a |? 1, | b |? 1, a ? 0 .求证: f (ab) ?| a | f ( ) . 2013~2014 学年度上学期五调考试 BCCDA CADCD BB13. 高三年级数学(文科)试卷 参考答案

b a

54 14. 3 3 15. 2 ? 5 16.

n 3n ? 1

17. 解析: (1)由函数 f ( x) 的图象, T ? 4( 又 2?

?
3

? ? ? ? ,? ? ?

?
3

7? ? 2? ,得 ? ? 2 , ? )? 12 3 ?

,所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?

由图像变换,得 g ( x) ? f ( x ?

?

) ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ????????4 分 4 6

?

3

) ????????2 分

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由函数图像的对称性,有 g ( x1 ? x2 ) ? g ( (Ⅱ)∵ f (C ) ? sin(2C ? ∵

?
6

2? 3 )?? 3 2

????????6 分

) ?1 ? 0 ,

即 sin(2C ?

?

0?C ?? ,?

?
6

? 2C ?

?
6

?

∴ 2C ? ∵

????????7 分 ? ,∴ C ? . 6 2 3 ?? ? m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .

?

?

?

11? , 6

6

) ?1

由正弦定理

a b , 得 b ? 2a, ? sin A sin B
2 2

①????????9 分

∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos 解方程组①②,得 ?

?
3

, ②???????11 分

?a ? 3 . ?b ? 2 3
常吃零食 100 500 600

????????12 分

18. 解: (1)由题意可得列联表: 不常吃零食 不患龋齿 60 患龋齿 140 总计 200
2

总计 160 640 800

800 (60 ? 500 ? 100 ? 140 ) 2 ? 16.667 ? 10.828 。 因为 k ? 160 ? 640 ? 200 ? 600
所以能在犯错率不超过 0.001 的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。 (2)设其他工作人员为丙和丁,4 人分组的所有情况如下表 小组 1 2 3 4 5 6 收集数据 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 处理数据 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 分组的情况总有 6 中,工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种, 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是 P ?

2 1 ? 。 6 3

19. 解: (1)AB∥平面 DEF,理由如下: 如图:在△ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF∥AB, 又 AB?平面 DEF,EF?平面 DEF.∴AB∥平面 DEF.

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(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD,将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B. ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面 BCD 取 CD 的中点 M,这时 EM∥AD

∴EM⊥平面 BCD,EM=1,

1 1 3 V E - DFC? ? ( S ?ABC ) ? EM ? 3 4 3
(3)在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE 证明如下:在线段 BC 上取点 P.使 BP=BC/3, 过 P 作 PQ⊥CD 于 Q, ∵AD⊥平面 BCD ∴PQ⊥平面 ACD ∴DQ=DC/3=2√3/3, ∴tan∠DAQ=DQ/AD═(2√3/3)/2=√3/3, ∴∠DAQ=30° 在等边△ADE 中,∠DAQ=30° ∵PQ⊥平面 ACD ∴AP⊥DE.AQ∩AP=A ∴DE⊥平面 APQ, ∴AP⊥DE. 此时 BP=BC/3, 20. 解: (1) ∴BP/BC=1/3. ,当 时.切线 y ? 1 ? 2( x ? 1),? y ? 2 x ? 1 ?2 分
?a

∴AQ⊥DE

(2) f ( x) ? 0 ? a ? ln x ? 0,? x ? (0, e ) ?????4 分 (3)当 x ? 时,直线 y ? k ( x ? 1)恒在函数y ? f ( x) 的图像下方,得 ( 1, ? ?) 问题等价于 k ? 当 令 时,令 ,

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立. x ?1


?????5 分



故 在 上是增函数 由于 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 所以存在 ,使得 h( x0 ) ? x0 ? 2 ? ln x0 ? 0 .

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? ?)时,h( x) ? 0 , 则 x ? (1, x0 )时,h( x) ? 0 ; x ? ( x0, ? ?)时,g ?( x) ? 0 即 x ? (1, x0 )时,g ?( x) ? 0 ; x ? ( x0,


? ?) 在 (1, x0 ) 递减, ( x0, 递增
????10 分 又 , ,所以 =3. ?????? 12 分

3 ( )2 c 1 3 1 2 2 2 21.(1) e ? ? , P(1, )满足 2 ? 22 ? 1 ,又 a ? b ? c a 2 2 a b
a 2 ? 4, b 2 ? 3,? x2 y 2 ? ? 1 ????4 分 4 3

(2)显然直线 PQ 不与 x 轴重合 当直线 PQ 与 x 轴垂直时,| PQ |=3, | F1 F2 |? 2 , S ?PF1Q ? 3 ;??????5 分 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时,设直线 PQ : y ? k ( x ? 1), k ? 0 代入椭圆 C 的标准方程, 整理,得 (3 ? 4k ) y ? 6ky ? 9k ? 0,
2 2 2

? ? 0. y1 ? y 2 ?

? 6k ? 9k 2 , y ? y ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

??????7 分

S ?PF1Q

1 k2 ? k ? ? | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 |? ... ? 12 2 (3 ? 4k 2 ) 2
2 2

令 t ? 3 ? 4k ,? t ? 3, k ?

t ?3 4
2

所以 S ?PF1Q ? 3 ? 3( ? ) ? 由上,得 S ?PF1Q ? (0,3]

1 t

1 3

4 1 1 ? 0 ? ? ? S ?PF1Q ? (0,3) 3 t 3

所以当直线 PQ 与 x 轴垂直时 S ?PF1Q 最大,且最大面积为 3 设 ?PF1Q 内切圆半径 r ,则 S ?PF1Q ? 即 rmax ?

?????10 分

1 (| PF1 | ? PF2 | ? | PQ |) ? r ? 4r ? 3 2

3 ,此时直线 PQ 与 x 轴垂直, ?PF1Q 内切圆面积最大 4
??????12 分

所以, PF2 ? F2 Q, ? ? 1

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22.解: (Ⅰ)连结 AC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OAC ? ?OCA ,???2 分 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC ? CD ,又因为 AD ? CD ,所以 OC ∥ AD , 所以 ?OCA ? ?CAD , ?OAC ? ?CAD ,所以 AC 平分 ?BAD .???4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? CE , ??6 分 连结 CE ,因为 ABCE 四点共圆, ?B ? ?CED ,所以 cos B ? cos ?CED , 所以

DE CB ,所以 BC ? 2 .???10 分 ? CE AB

23.解: (1)直线 l : 2 ? cos(? ?
?
?

?
6

) ? 3 即 3? cos ? ? ? sin ? ? 3

直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 , 点 P(0, 3 ) 在直线 l 上。

? 5?

1 ? x?? t ? 2 ? (2)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 3 ?y ? 3 ? t ? ? 2
曲线 C 的直角坐标方程为

x2 y2 ? ?1 5 15

将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 有 3(? t ) ? ( 3 ?
2

1 2

3 2 t ) ? 15,? t 2 ? 2t ? 8 ? 0 , 2

设两根为 t1 , t2 ,? PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? ?8 ? 8

?10?

? ?-2x-2,x<-3, -3≤x≤1, 24.解: (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ? 2 x + 2 , x>1. ?
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. ?4 分 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( 因为|a|<1,|b|<1, ?5 分 ?6 分

b ),即|ab-1|>|a-b|. a

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所以|ab-1| -|a-b|
2 2

2

2

=(a b -2ab+1)-(a -2ab+b ) =(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立. …………10 分
2 2

2

2


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