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2012年普通高等学校招生全国统一考试(文科数学)试题及答案-北京卷


2012 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项。 (1)已知集合 A

? {x ? R | 3x ? 2 ? 0} , B ? {x ? R | ( x ? 1)( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ? (A) (??, ?1) (B) ( ?1, ? )

2 3

(C) (? ,3)

2 3

(D) (3, ??)

(2)在复平面内,复数 (A) (1,3)

10i 对应的点的坐标为 3?i
(C) (?1,3) (D) (3, ?1)

(B) (3,1)

(3)设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的 0? y?2 ?

距离大于 2 的概率是 (A) (C)

? 4 ? 6

(B) (D)

? ?2
2 4 ?? 4

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 (5)函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为
x 1

1 2

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

(6)已知 {an } 为等比数列,下面结论中正确的是 (A) a1 ? a3 ? 2a2 (C)若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2
2 2 2 (B) a1 ? a3 ? 2a2

(D)若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

(7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 (A) 28 ? 6 5 (C) 56 ? 12 5 (B) 30 ? 6 5 (D) 60 ? 12 5

(8)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所 前记录的结果看,前 m 年的年平均产量最高, m 的值为 (A)5 (B)7 (C)9 (D)11 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)直线 y ? x 被圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 截得的弦长为__________。 (10)已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 a1 ?

示, 从目

1 , S2 ? a3 ,则 a2 ? ____________, 2

Sn ? _________________。
(11)在 ?ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?A ? ,则 ?C 的大小为_________。 3 (12)已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a 2 ) ? f (b2 ) ? _____________。 ??? ??? ? ? ???? ???? (13) 已知正方形 ABCD 的边长为 1 , E 是 AB 边上的动点, DE ? CB 的值为_______;DE ? DC 点 则 的最大值为_______。 (14)已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 。若 ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是_________。 三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递减区间。

(16) (本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt ? ABC 中, ?C ? 90 , D, E 分别为
?

A A1 D F C B C
图1

AC, AB 的中点, F 为线段 CD 上的一点, ?ADE 沿 点 将 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1F ? CD ,如图 2。
(Ⅰ)求证: DE // 平面 A1CB ; (Ⅱ)求证: A1F ? BE ; (Ⅲ)线段 A B 上是否存在点 Q ,使 AC ? 平面 DEQ ? 1 1 说明理由。

E D F
图2

E B

(17) (本小题共 13 分) 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三 类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱 中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) : “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 100 100 厨余垃圾 30 240 30 可回收物 20 20 60 其他垃圾 (Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误的概率; (Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c ,其
2 中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 。当数据 a, b, c 的方差 s 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明) ,并

求此时 s 的值。 (注: s ?
2

2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ??? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为数据 x1, x2 , ???, xn 的平均数) n
2 3

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1(a ? 0) , g ( x) ? x ? bx 。 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线,求 a , b 的值; (Ⅱ)当 a ? 3, b ? ?9 时,若函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值为 28 ,求 k 的取值范围。

(19)(本小题共 14 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(2, 0) ,离心率为 , 直线 y ? k ( x ?1) 与 2 a b 2 椭圆 C 交于不同的两点 M , N 。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 10 (Ⅱ)当 ?AMN 的面积为 时,求 k 的值。 3
已知椭圆 C : (20) (本小题共 13 分) 设 A 是如下形式的 2 行 3 列的数表,

c e f d 满足性质 P : a, b, c, d , e, f ?[?1,1] ,且 a ? b ? c ? d ? e ? f ? 0 。 记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之和 (i ? 1, 2), c j ( A) 为第 j 列各数之和 ( j ? 1, 2,3) ;记 k ( A) 为

a

b

| r1 ( A) | , | r2 ( A) | , | c1 ( A) | , | c2 ( A) | , | c3 ( A) | 中的最小值。 (Ⅰ)对如下数表 A ,求 k ( A) 的值 1 1 ?0.8 ?1 0.1 ?0.3
(Ⅱ)设数表 A 形如

1 d
其中 ?1 ? d ? 0 。求 k ( A) 的最大值;

1 d

?1 ? 2d
?1

(Ⅲ)对所有满足性质 P 的 2 行 3 列的数表 A ,求 k ( A) 的最大值


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