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2011年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)word精校版


2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(B 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 一、填空题(每小题8分,共64分) 8:00—9:20
. 1.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2010 ? S1 ? 1 ,则 S2011 ?

2.已知复数 z 的模为 1 ,若 z ? z1 和 z ? z2 时 z

? 1 ? i 分别取得最大值和最小值,则

z1 ? z2 ?
3.若正实数 a , b 满足

.
1 1 ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ? a b

.

4.把扑克牌中 A, 2,?, J , Q, K 的分别看作数字 1, 2,?,11,12,13 .现将一副扑克牌中的黑桃、红桃 各 13 张放在一起, 从中随机取出 2 张牌, 其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_____.

t n 5. 若 ?ABC 的角 A, C 满足 5(cos A ? cos C ) ? 4(cos A cos C ? 1) ? 0 , 则a

A a t n? 2

C ? 2

.

6.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 6 , M , N 分别是 BB 1M ? B 1N ? 2 , 1, B 1C1 上的点, B

S , P 分别是线段 AD, MN 的中点,则异面直线 SP 与 AC1 的距离为
7. 在 ?ABC 中, E , F 分别是 AC, AB 的中点,AB ? 8. 抛物线 y ? 2 p ( x ?
2



2 BE AC .若 ? t 恒成立, 则 t 的最小值是 __ . 3 CF

p )( p ? 0) 上动点 A 到点 B(3, 0) 的距离的最小值记为 d ( p ) , 满足 d ( p) ? 2 2


的所有实数 p 的和为

二、解答题(共三小题,56分)
2 2 2 9. (本题满分 16 分)已知实数 x, y, z 满足: x ? y ? z , x ? y ? z ? 1 , x ? y ? z ? 3 .求实数 x

的取值范围.

1

10. (本题满分 20 分)已知数列 ?an ? 满足:

a1 ? 2t ? 2(t ? R且t ? ?1) , an?1 ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

( 2 t n?1 -1 )an (n ? N *) . an ? 2tn ? 2
(2)若 t ? 0 ,试比较 an ?1 与 an 的大小.

2 11. (本题满分 20 分)已知 A 1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), A 3 ( x3 , y3 ) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上不同的三 2 点, ?A 1, 2,3? , 1 A2 A 3 有两边所在的直线与抛物线 x ? 2qy(q ? 0) 相切,证明:对不同的 i, j ??

yi y j ( yi ? y j ) 为定值.

2

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(B 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日上午 9:40—12:10

? x3 ? y 3 ? z 3 ? 3xyz ? 2011 ? x ? 15 一、 (本题满分 40 分)求所有三元整数组 ( x, y, z ) ,使其满足 ? ? y ? 15 ?

3

二、 (本题满分 40 分) 如图, 过 ? O 外一点 A 作 ? O 的两条切线, 切点分别为 B, C .点 D 在线段 BC

CD ? 的延长线上,

1 BC . P 为 AD 的中点, 过点 P 作 ? O 的两条切线, 切点分别为 Q, R , QR 2

与 BC 交于点 E .点 M 在线段 CB 的延长线上, BM ? BC . N 为 AM 的中点,过点 N 作 ? O 的两条切线,切点分别为 J , K , JK 与 BC 交于点 L 证明: (1) A, R, Q, D 四点共圆; . (2)

MC BE ? . CL CE

三、 (本题满分 50 分)设实数 a, b, c ? 1 ,且满足
4

abc ? 2a2 ? 2b2 ? 2c2 ? ca ? cb ? 4a ? 4b ? c ? 28 ,求 a ? b ? c 的最大值

四、 (本题满分 50 分) 给定 n 个不同实数, 其所有全排列组成的集合为 An .对于 (a1 , a2 ,?, an ) ? An ,

5

若恰有两个不同的整数 i, j ?{1, 2,?, n ? 1} 使得 ai ? ai ?1 , a j ? a j ?1 成立,则称该排列为“好排 列”.求 An 中“好排列”的个数. .

6


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