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正弦定理(第二课时)


(第二课时)

1

复习回顾 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等.



a sin A

?

b sin B

?

c sin C

正弦定理可以解决两类问题:

/>①已知两角和一边求另外两边;
②已知两边和其中一边的对角求其余边和角.

复习回顾

一般地,把三角形的三个角 A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形

的元素.已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫做解三角形.

应用举例
题型一 已知三角形的两角及一边,解三角形 例1 (1)已知△ABC中,a=20,A=30°,C=45°,

求B及边b,c.
(2)在△ABC中, A ? 30 ? , B ? 60 ? , a ? b ? 6 ? 6 3 ,

求边长c.

应用举例
解:(1) ∵ A=30°,C=45°, ∴B=180°-(A+C)=105°.
由正弦定理
20 ? ?

a sin A
2

?

b sin B

?

c sin C



c?

asinC sinA

2 ? 20 2 b ? asinB ? 20 sin105 ? 1 sinA sin 30 ? 2
20( ? 2 2 ? 1 2 1 2 ? 2 2 ? 3 2 ) ? 10( 6 ? 2 ).

?

20 sin (45 ? ? 60 ?) sin 30 ?

应用举例
(2)解法一:
? A ? 30 , B ? 60 , ? C ? 180 ? ( A ? B ) ? 90 .
? ?
? ?

?a?b ? 6?6 3 ?

c ? sin A sin C
?

?

c ? sin B sin C
?

? 6 ? 6 3 ? c ? sin 30 ? c ? sin 60

?c ?

6?6 3 1 2 ? 3 2

? 12.

应用举例
(2)解法二: ? A ? 30 ? , B ? 60 ? ,
? C ? 180 ? ( A ? B ) ? 90 .
? ?

由正弦定理

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

可得

?

a?b sinA ? sinB

? 1 2 ?

c sinC 3 2

?c

? 6 ? 6 3 ? c(

)

? c ? 1 2.

应用举例
题型二 已知两边和其中一边的对角求其余边和角. 例2 在△ABC中,根据下列条件解三角形. (1)a=
2

,b=2,A=30°;

(2)a=5,b=2,B=120°.

应用举例
解:(1) 由
a sin A ?
? , 得 sinB ? bsinA ? 2 sin 30 ? 2 . sin B a 2 2

b

∵a<b,∴B>A=30°.∴B为锐角或钝角 (或∵bsinA<a<b,∴B为锐角或钝角). ∴B=45°或B=135°.

当B=45°时,C=180°-(A+B) =180°-(30°+45°)=105°,

应用举例
又 c sin C
?c ? asinC sinA

?

a sin A
?

,
2 sin105 sin 30
? ?

?

2 sin 75 sin 3 0
?

?

2? ?

6? 4 1 2

2 ? 3 ? 1.

当 B ? 135 ?时 , C ? 180 ? ? ? A ? B ? ? 180 ? ? ? 30 ? ? 135 ? ? ? 15 ?,

?c ?

asinC sinA

?

2 sin15 sin 30
?

?

2? ?

6? 4 1 2

2 ? 3 ? 1.

? B ? 45 ? , C ? 105 ? , c ?

3 ? 1或 B ? 135 ? , C ? 15 ? , c ?

3 ? 1.

应用举例

? 2 ? 解 法 一 :由
得 sinA ? asinB b

a sin A
?

?

b sin B
?

,
5? 3 2 ? 5 3 ? 1, 2 4

5 sin120 2

?

? A 不 存 在 ,? 此 题 无 解 .

应用举例
解法二:∵a=5,b=2,B=120°,b<a,

∴A>B=120°,∴A+B>240°
与A+B+C=180°矛盾,因此本题无解. 解法三:∵a=5,b=2,B=120°,

asinB=5sin120°=
∴此题无解.

5 3 2

?b ,

规律技巧
(1)已知三角形中的两边a、b及其中一边的对角A

时,三角形的解可能无解?一解或两解.
(2)一般地,若a>b,A≥90°有一个解; 若A<90°有一

解;
若a=b,A≥90°无解; 若A<90°有一解; 若a<b,A≥90°无解;A<90°时,若 bsinA=a有一解,若bsinA>a无解,bsinA<a有两解.

思考交流
a sin A ? b sin B
C

?

c s in C

??

b
A

a c
B

思考交流 a
sin A

?

b sin B

?
C

c s in C

??

b A

a D B

c

思考交流 a b c ? ? ?? sin A sin B s in C
D
C a b

E
c
B

A

正弦定理
a sin A ? b sin B ? c s in C ? 2R

(R为△ABC的外接圆半径)

正弦定理
正弦定理的常见变形:
a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C( 边 化 角 公 式 )

sin A ?

a 2R

, sin B ?

b 2R

, sin C ?

c 2R

(角化边公式)

a : b : c ? sin A : sin B : sin C

正弦定理

课堂练习

(1)在 ? ABC 中,一定成立的等式是( C )
A .   a sin A ? b sin B C .   a sin B ? b sin A B .   a cos A ? b cos B D .   a cos B ? b cos A
? b cos B 2 ? c cos

(2)在 ? ABC 中,若

a cos A 2

,则 ? ABC 是( D ) C
2

A.等腰三角形
C.直角三角形

B.等腰直角三角形
D.等边三有形

正弦定理

课堂练习

(3)在 ? ABC 中,求证:
a (sin B ? sin C ) ? b (sin C ? sin A ) ? c (sin A ? sin B ) ? 0

证明:由于正弦定理:令
a ? k sin A , B ? k sin B , c ? k sin C

代入左边得: 左边= k (sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C
? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B ) ? 0

=右边

∴ 等式成立

正弦定理

课堂练习

(4) 在△ABC中,若acosA=bcosB.
求证:△ ABC是等腰三角形或直角 三角形.

三角形的面积公式
S ? ABC ? ? ? 1 2 1 2 1 2 ac sin B bc sin A ab sin C

正弦定理

典例剖析

例 4 在 ? A B C 中 , a ? 3, b ? 5, cos C 为 方 程 10 x ? 29 x ? 21 ? 0的 根 ,
2

求 ? A B C的 面 积 .
例 5 在 ? A B C 中 , A B ? 2, B C ? 5, S ? A B C ? 4, 求 sin B 2 的值.

正弦定理
正弦定理 1、
a sin A ?

课堂小结
b sin B ? c sin C ? 2R

2、正弦定理的应用 3、三角形的面积

正弦定理

书面作业

1.P49 练习2

1、2、3、4 第1题

2.P52 习题2-1A组

3.课时作业


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